一、選擇題


1.已知△ABC內(nèi)一點M,如果點M到兩邊AB、BC的距離相等,那么點M( )


A. 在AC邊的高上 B. 在AC邊的中線上 C. 在∠ABC的平分線上 D. 在AC邊的垂直平分線上


2.如圖， OP 平分 ∠MON ， PA⊥ON ， PB⊥OM ，垂足分別為 A 、 B ，若 PA=3 ，則 PB= ( )





A. 2 B. 3 C. 1.5 D. 2.5


3.如圖，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F.若S△ABC=12，DF=2，AC=3，則AB的長是（ ）





A. 2 B. 4 C. 7 D. 9


4.現(xiàn)要在一塊三角形的草坪上建一涼亭供大家休息,要使涼亭到草坪三條邊的距離相等,涼亭的位置應(yīng)選在（ ）


A. △ABC的三條中線的交點 B. △ABC三邊的垂直平分線的交點


C. △ABC三條角平分線的交點 D. △ABC三條高所在直線的交點


5.如圖，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分線AP，BP相交于點P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列結(jié)論：(1)PE=PF；(2)點P在∠COD的平分線上；(3) ∠APB=90°-∠O，其中正確的有（ ）





A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個


6.如圖，在△ABC中，∠A=64°，∠ABC與∠ACD的平分線交于點A1 ， 得∠A1；∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點A2 ， 得∠A2；……：∠An-1BC與∠An-1CD的平分線交于點An ， 要使∠An的度數(shù)為整數(shù)，則n的最大值為( )





A. 4 B. 5 C. 6 D. 7


7.如圖，在 Rt△ABC 中， ∠C=90° ，以頂點 A 為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交 AC,AB 于點 M,N ，再分別以點 M,N 為圓心，大于 12MN 的長為半徑面弧，兩弧交于點 P ，作射線 AP 交邊 BC 于點 D ，若 CD=4,AB=14 ，則 △ABD 的面積是（ ）





A. 14 B. 28 C. 42 D. 56


8.已知△ABC ， (1)如圖①，若P點是∠ABC和∠ACB的角平分線的交點，則∠P＝90°＋ 12 ∠A；(2)如圖②，若P點是∠ABC和外角∠ACE的角平分線的交點，則∠P＝90°－∠A；(3)如圖③，若P點是外角∠CBF和∠BCE的角平分線的交點，則∠P＝90°－ 12 ∠A.上述說法正確的個數(shù)是( )





A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個


二、填空題


9.如圖，在 ΔABC 中， BD 是邊 AC 上的高， CE 平分 ∠ACB ，交 BD 于點 E ， DE=2 ， BC=5 ，則 ΔBCE 的面積為________.





10.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以頂點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M、N，再分別以點M、N為圓心，大于 12 MN的長半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP，交邊BC于點D，若CD=4，AB=15，則△ABD的面積是________.





11.如圖， BD 平分 ∠ABC,DE⊥AB 于 E,DF⊥BC 于 F ， AB=3,BC=4 若 S△ABC=7 ，則 DE= ________.





12.如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為30、40、50．其三條角平分線交于點O，則S△ABO ：S△BCO ：S△CAO =________。





13.如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥BC，垂足為E.△ABC的面積為21，AB=8，BC=6，則DE的長為________.





14.如圖，R△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分線AE與AC的中線BD交于點F，P為CE中點，連結(jié)PF，若CP=2，S△BFP=15，則AB的長度為________。





15.如圖，AB丄CD于點E,且AB = CD = AC,若點I是三角形ACE的角平分線的交點，點F是BD的中點.下列結(jié)論：①∠AIC= 135°;②BD = BI,③S△AIC = S△BID ；④IF⊥AC.其中正確的是________（填序號）.





16.如圖，在∠AOB 的邊 OA、OB 上取點 M、N，連接 MN，P 是△MON 外角平分線的交點， 若 MN=2，S△PMN=2，S△OMN=7．則△MON 的周長是________；





三、解答題


17.如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分別為E、F，且BE=CF．


求證：AB=AC．





18.如圖，在 △ABC 中，∠ABC的平分線與∠ACE平分線相交于點D， ∠BDC=20° .求∠BAD的度數(shù).





19.如圖，在△ABC中，BD是AC邊上的高，垂足為D，BE平分∠ABC．∠A=30°，∠ACB=126°。


求∠DBE的度數(shù)。





20.如圖，在△ABC中，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F．





（1）求證：∠EFA=90°- 12 ∠B；


（2）若∠B=60°，求證：EF=DF．


21.如圖（a），∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°





（1）求證：AD∥CE


（2）如圖（b），AG、CG分別平分∠BAD、∠BCE，BF∥AG交GC的延長線于F，判斷∠ABC與∠F的數(shù)量關(guān)系，并證明；


（3）如圖（c），AN平分∠HAB，BP平分∠ABC，BQ∥AN，CM平分∠BCT交BQ的反向延長線于M，① ∠QBP∠ABC 的值不變，② ∠QMC∠ABC 的值不變；其中只有一個結(jié)論正確，請擇一證明．





答案


一、選擇題


1. C


2. B


3. D


4. C


5. C


6. C


7. B


8. C


二、填空題


9. 5


10. 30


11. 2


12. 3：4：5


13. 3


14. 15


15. ①


16. 11


三、解答題


17.證明：∵AD平分∠EAD，DE⊥AB，DF⊥AC，


∴DE=DF，


∵在Rt△AED與Rt△AFD中，


{DE=DFAD=AD ，


∴△AED≌△AFD，


∴AE=AF，


∵BE=CF，


∴AB=AC.


18. ∵∠ABC的平分線BM與△ACB的外角∠ACE的平分線CD相交于點D，


∴∠DCE= ∠ACE，∠DBC= ∠ABC，


∵∠DCE是△BCD的外角，


∴∠BDC=∠DCE-∠DBC= 12 ∠ACE- 12 ∠ABC= 12 （∠BAC+∠ABC）- 12 ∠ABC= 12 （∠BAC+ ∠ABC- ∠ABC）= 12 ∠BAC，


∵∠BDC=20°，


∴∠BAC=2×20°=40°，


過D點分別作DE⊥BE交于E點，DG⊥AC交于G點，DF⊥BF交BA的延長線于F點，





∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，


∴DE=DF，DE=DG，


∴DF =DG；


在Rt△DGA與Rt△DFA中，


∵DF =DG，DA=DA，


∴Rt△DGA≌Rt△DFA（HL），


∴∠DAG=∠DAF，


又∵∠BAC=40°，


∴∠CAF=140°，


∴∠CAD=70°，


∴∠BAD=∠BAC+∠CAD =110°.


19. 解：在△ABC中，∵∠A=30°，∠ACB=126°，


∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=24°，


∵BE平分∠ABC，∴∠ABE= 12 ∠ABC=12°，


∵BD是AC邊上的高，∴∠ADB=90°，


在Rt△ADB中，∠ABD=90°-∠A=60°，


∴∠DBE=∠ABD-∠ABE=48°，故∠DBE的度數(shù)是48°．


20. （1）證明：∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B，


又∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，


∴∠FAC= 12 ∠BAC，∠FCA= 12 ∠BCA，


∴∠FAC+∠FCA= 12 ×（180°-∠B）=90°- 12 ∠B，


∵∠EFA=∠FAC+∠FCA，


∴∠EFA=90°- 12 ∠B．





（2）證明：如圖，過點F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M．





∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，


∴FG=FH=FM，


∵∠EFH+∠DFH=120°，


∠DFG+∠DFH=360°-90°×2-60°=120°，


∴∠EFH=∠DFG，


在△EFH和△DFG中，


{∠EHF=∠DGF=90°∠EFH=∠DFGFG=FH ，


∴△EFH≌△DFG（AAS），


∴EF=DF．


21. （1）解：過B作BF∥AD，





則∠DAB+∠ABF=180°，


∵∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，


∴∠FBC+∠BCE=360°﹣180°=180°，


∴BF∥CE，


∴AD∥CE.





（2）解：∠ABC=2∠F


證明：過點G作GH∥AD，





則GH∥AD∥CE，


∴∠DAG=∠AGH，∠HGC=∠GCE，


∵AG、CG分別平分∠BAD、∠BCE，


∴∠AGC= 12 （∠DAB+∠BCE），


∵∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°，


∴ 12 （∠DAB+∠ABC+∠BCE）=180°，


即∠AGC+ 12 ∠ABC=180°，


∵AG∥BF，


∴∠F+∠AGC=180°，


∴∠ABC=2∠F.





（3）解：② ∠QMC∠ABC 的值不變．


證明：由上面結(jié)論可得，∠ABC=∠HAB+∠TCB，


又∵AN平分∠HAB，BP平分∠ABC，CM平分∠BCT，


∴∠ABP=∠NAB+∠MCB，


∵BQ∥AN，


∴∠NAB=∠ABQ，


∴∠QBP= 12 ∠ABP= 12 ∠CBP= 12 ∠BCT=∠MCB，


∵∠QBC是△BCM的外角，


∴∠QBC=∠M+∠MCB，


∴∠M=∠QBC﹣∠MCB=∠QBC﹣∠QBP=∠PBC= 12 ∠ABC，


即 ∠QMC∠ABC 的值為 12 ．


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12.3 角的平分線的性質(zhì)

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