?第12章全等三角形12.3角的平分線的性質【簡答題專練】
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、解答題
1．如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，P是對角線AC上一點，

求證：PB=PD．
【答案】證明見解析.
【解析】
試題分析：易證△ABC和△ADC均為直角三角形，即可證明RT△ABC≌RT△ADC，可得∠BAC＝∠DAC，即可證明△BAP≌△DAP，可得PB＝PD，即可解題．
試題解析：
∵AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，AC=AC
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴CB=CD（全等三角形的對應邊相等）
∴AC平分∠BAD（在一個角的內部， 到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上）
∵AB=AD，∠BAP=∠ADP，AP=AP
∴△APB≌△APD.(SAS)
∴PB=PD. （全等三角形的對應邊相等）
點睛：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應角相等的性質，本題中求證RT△ABC≌RT△ADC和△BAP≌△DAP是解題的關鍵．
2．如圖，在△ABC中，D是BC邊上的點（不與點B，C重合），連結AD

（1）如圖1,當點D是BC邊上的中點時，則S△ABD:S△ACD=_________（直接寫出答案）
（2）如圖2，當AD是∠BAC的平分線時，若AB=m，AC=n，S△ABD:S△ACD=_________ (用含m,n的代數式表示)．
（3）如圖3，AD平分∠BAC，延長AD到E，使得AD=DE,連結BE，如果AC=2,AB=4,S△BDE =6,求△ABC的面積．
【答案】（1）1：1；（2）m∶n；（3）9
【解析】
【分析】
（1）過A作AE⊥BC于E，根據三角形面積公式求出即可；
（2）過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根據角平分線性質求出DE=DF，根據三角形面積公式求出即可；
（3）根據已知和（1）（2）的結論求出△ABD和△ACD的面積，即可求出答案．
【詳解】
解：（1）過A作AE⊥BC于E，
∵點D是BC邊上的中點，
∴BD=DC，
∴SABD：S△ACD=（×BD×AE）：（×CD×AE）=1：1，
故答案為：1：1；

（2）過D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD為∠BAC的角平分線，
∴DE=DF，
∵AB=m，AC=n，
∴SABD：S△ACD=（×AB×DE）：（×AC×DF）=m：n；

（3）∵AD=DE，
∴由（1）知：S△ABD：S△EBD=1：1，
∵S△BDE=6，
∴S△ABD=6，
∵AC=2，AB=4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S△ABD：S△ACD=AB：AC=4：2=2：1，
∴S△ACD=3，
∴S△ABC=3+6=9，
故答案為：9．

【點睛】
本題考查了角平分線性質和三角形的面積公式，能根據（1）（2）得出規(guī)律是解此題的關鍵．
3．已知，直線AB∥DC，點P為平面上一點，連接AP與CP．

（1）如圖1，點P在直線AB、CD之間，當∠BAP=60°，∠DCP=20°時，求∠APC度數．
（2）如圖2，點P在直線AB、CD之間，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，寫出∠AKC與∠APC之間的數量關系，并說明理由．
（3）如圖3，點P落在CD外，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，∠AKC與∠APC有何數量關系？并說明理由．
【答案】（1）80°；（2）詳見解析；（3）詳見解析
【解析】
【分析】
（1）過P作PE∥AB，根據平行線的性質即可得到∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，再根據進行計算即可；
（2）過K作KE∥AB，根據KE∥AB∥CD，可得∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，得到∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，再根據角平分線的定義，得進而得到
（3）過K作KE∥AB，根據KE∥AB∥CD，可得∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，進而得到∠AKC=∠AKE?∠CKE=∠BAK?∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP?∠DCP，再根據角平分線的定義，得出進而得到
【詳解】
解：(1)如圖1,過P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，
∴
(2)

理由：如圖2,過K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，
∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，
過P作PF∥AB，
同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，
∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，
∴
∴
(3)
理由：如圖3,過K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，
∴∠AKC=∠AKE?∠CKE=∠BAK?∠DCK，
過P作PF∥AB，
同理可得，∠APC=∠BAP?∠DCP，
∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點K，
∴
∴
【點睛】
考核知識點：平行線判定和性質綜合.添輔助線，靈活運用平行線性質是關鍵.
4．如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

（1）說明BE=CF的理由；
（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的長．
【答案】（1）見解析；（2）AE=4，BE=1.
【解析】
【分析】
（1）連接DB，DC，證明Rt△BED≌Rt△CFD，再運用全等三角形的性質即可證明；
（2）.先證明△AED≌△AFD得到AE=AF，設BE=x，則CF=x， 利用線段的和差即可完成解答.
【詳解】
（1）證明：連接BD，CD，

∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD=CD，
在Rt△BED與Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；
（2）解：在△AED和△AFD中，

∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，
設BE=x，則CF=x，
∵AB=5，AC=3，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，
∴5﹣x=3+x，解得：x=1，
∴BE=1，即AE=AB﹣BE=5﹣1=4．
【點睛】
本題主要考查三角形全等的判定和性質，掌握三角形全等的判定方法和靈活運用全等三角形的性質是解題本題的關鍵
5．直線，與的平分線交于點C，過點C作一條直線分別與直線PA，QB相交于點D，E．
（1）如圖（1），當直線l與PA垂直時，求證：．
（2）如圖（2），當直線l與PA不垂直且點D，E在AB同側時，（1）中的結論是否成立？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．
（3）當直線l與PA不垂直且點D，E在AB異側時，（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請證明；如果不成立，請寫出AD，BE，AB之間的數量關系（不用證明）．

【答案】（1）證明見解析；（2）成立，證明見解析；（3）不成立，．
【解析】
【分析】
（1）根據各線段之間的長度，先猜想AD＋BE＝AB；
（2）在AB上截取AG＝AD，連接CG，利用三角形全等的判定定理可判斷出AD＝AG．同理可證BG＝BE，即AD＋BE＝AB；
（3）畫出直線l與直線MA不垂直且交點D、E在AB的異側時的圖形，分兩種情況討論：①當點D在射線AM上、點E在射線BN的反向延長線上時；②點D在射線AM的反向延長線上，點E在射線BN上時；得到AD，BE，AB之間的關系．
【詳解】
（1）如圖，過點C作于點F．

平分，BC平分，
，．
，，
，
，
，
．
，
．
在△與中，，
，
．
同理可得．
，
；
（2）成立．證明：如圖，在AB上截取，連接CG．

平分，
．
在與中，，
，
．
，
．
，BC平分，
，
，
，即．
，
，．
在與中，，
，
，
，
；
（3）不成立．當點D在射線AP上，點E在射線BQ的反向延長線上時，如圖（3），；

延長BC交AM于F，
∵AD∥BN，
∴∠4=∠AFB=∠3，∠FDC=∠CEB，
∴AF=AB，
∵∠1=∠2，
∴AC⊥BF，CF=BC，
在△CDF和△CEB，
∴△CDF≌△CEB（AAS），
∴DF=BE，
∴AD-BE=AD-DF=AF=AB，
∴；
當點D在射線AP的反向延長線上，點E在射線BQ上時，如圖，，

∵AC和BC分別為∠FAB和∠ABE的角平分線，
∴∠FAC=∠BAC，∠ABC=∠EBC，
∵AF∥BE，
∴∠AFC=∠EBC，
∴∠ABC=∠AFC，
在△AFC和△ABC中，
∴△AFC≌△ABC，
∴AF=AB，FC=BC，
∵AF∥BE，
∴∠AFC=∠EBC，
∴在△DFC和△EBC中，
∴△DFC≌△EBC，
∴DF=BE，
∴DF-AD=BE-AD=AF=AB，
即．
【點睛】
本題考查了全等三角形的判定和性質，平行線的性質，角平分線的定義，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
6．如圖，OD平分，，P為OD上一點，于點M，于點N．求證：．

【答案】見解析
【解析】
【分析】
由已知容易求證△OBD≌△OAD（SAS），可得∠3=∠4，再根據角平分線的性質定理，可證PM=PN．
【詳解】
∵OD平分∠AOB，

∴∠1=∠2．
在△OBD和△OAD中，
，
∴△OBD≌△OAD（SAS）．
∴∠3=∠4．
∵PM⊥BD，PN⊥AD，
∴PM=PN．
【點睛】
本題主要考查了全等三角形的判定和性質，角平分線性質定理及其逆定理，由已知能夠證明△OBD≌△OAD是解決的關鍵．
7．如圖，BD平分，AD平分的外角，與AC相交于點N，與AB相交于點M，已知，，則MN的長為________．

【答案】3cm
【解析】
【分析】
如圖，作于，于，連接DC，作，交BC的延長線于點P．結合角平分線與平行線的性質證明，過點N作于點Q．證明過點M作于點F．證明從而可得答案．
【詳解】
解：如圖，作于，于，連接DC，作，交BC的延長線于點P．
平分，
．
平分，
，
，
平分，
．
，
，，
．
過點N作于點Q．

，，，
，
．
平分，
．
，
．
過點M作于點F．
，，，
，
，
．
【點睛】
本題考查的是三角形全等的判定，角平分線的性質定理與判定定理，掌握作出恰當的輔助線構建全等三角形是解題的關鍵．
8．如圖，AB∥CD，以點A為圓心，小于AC長為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F兩點，再分別以E，F為圓心，大于EF長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點P，作射線AP，交CD于點M．

（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度數；
（2）若CN⊥AM，垂足為N，求證：△ACN≌△MCN．
【答案】（1）33°（2）證明見解析
【解析】
（1）解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°．
又∵∠ACD=114°，∴∠CAB=66°．
由作法知，AM是∠ACB的平分線，∴∠AMB=∠CAB=33°．
（2）證明：∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠MAB，
∵AB∥CD，∴∠MAB=∠CMA．∴∠CAN=∠CMN．
又∵CN⊥AM，∴∠ANC=∠MNC．
在△ACN和△MCN中，
∵∠ANC=∠MNC，∠CAN=∠CMN，CN=CN，∴△ACN≌△MCN（AAS）．
（1）由作法知，AM是∠ACB的平分線，由AB∥CD，根據兩直線平行同旁內角互補的性質，得∠CAB=66°，從而求得∠MAB的度數．
（2）要證△ACN≌△MCN，由已知，CN⊥AM即∠ANC=∠MNC=90°；又CN是公共邊，故只要再有一邊或一角相等即可，考慮到AB∥CD和AM是∠ACB的平分線，有∠CAN="∠MAB" =∠CMN．
從而得證．
9．證明命題“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，要根據題意，畫出圖形，并用符號表示已知和求證，寫出證明過程．下面是小明同學根據題意畫出的圖形，并寫出了不完整的已知和求證．

已知：如圖，∠AOC=∠BOC， 點P在OC上．
①______________．
求證：②______________．
請你補全己知和求證，并寫出證明過程．
【答案】①PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E；②PD=PE；證明見解析
【解析】
【分析】
根據題意、結合圖形寫出已知和求證，證明△OPD≌△OPE，根據全等三角形的性質即可得到結論．
【詳解】
解：①PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E．
②PD=PE．
證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°
在△PDO和△PEO中，
，
∴△PDO≌△PEO（AAS）
∴PD=PE．
【點睛】
本題主要考查了角平分線的性質和全等三角形的性質及判定，利用圖形寫出已知條件和求證是解答此題的關鍵．
10．如圖，在ABC 中，∠C = 90°，AC=BC．AD 平分∠CAB 交BC于點D．DEAB于點E，且AB=6 cm．求ΔBDE的周長．

【答案】6cm
【解析】
【分析】
本題易證Rt△ADC≌Rt△ADE，得到AC=AE=BC，DE=CD，則△BDE的周長=DE+DB+EB=BC+EB=AE+EB=AB．
【詳解】
解：根據題意能求出△BDE的周長．
∵∠C=90°，∠DEA=90°，
又∵AD平分∠CAB，
∴DE=DC．
在Rt△ADC和Rt△ADE中，DE=DC，AD=AD，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL）．
∴AC=AE，
又∵AC=BC，
∴AE=BC．
∴△BDE的周長=DE+DB+EB=BC+EB=AE+EB=AB．
∵AB=6cm，
∴△BDE的周長=6cm．
【點睛】
本題主要考查了全等三角形的性質，對應邊相等，正確證明Rt△ADC≌Rt△ADE是解題關鍵．
11．已知：如圖，∠XOY＝90°，點A、B分別在射線OX、OY上移動（不與點O重合），BE是∠ABY的平分線，BE的反向延長線與∠OAB的平分線相交于點C．
（1）當∠OAB＝40°時，∠ACB＝　 　度；
（2）隨點A、B的移動，試問∠ACB的大小是否變化？如果保持不變，請給出證明；如果發(fā)生變化，請求出變化范圍．

【答案】（1）45;(2) ∠ACB的大小不發(fā)生變化．
【解析】
【分析】
（1）先利用角平分線得出∠CAB＝∠OAB，∠EBA＝∠YBA，再利用三角形的外角的性質即可得出結論；
（2）先利用角平分線得出∠CAB＝∠OAB，∠EBA＝∠YBA，再利用三角形的外角的性質即可得出結論．
【詳解】
解：（1）∵∠XOY＝90°，∠OAB＝40°，
∴∠ABY＝130°，
∵AC平分∠OAB，BE平分∠YBA，
∴∠CAB＝∠OAB＝20°，∠EBA＝∠YBA＝65°，
∵∠EBA＝∠C+∠CAB，
∴∠C＝∠EBA﹣∠CAB＝45°，
故答案為45；
（2）∠ACB的大小不變化．
理由：∵AC平分∠OAB，BE平分∠YBA，
∴∠CAB＝∠OAB，∠EBA＝∠YBA，
∵∠EBA＝∠C+∠CAB，
∴∠C＝∠EBA﹣∠CAB＝∠YBA﹣∠OAB＝（∠YBA﹣∠OAB），
∵∠YBA﹣∠OAB＝90°，
∴∠C＝×90°＝45°，
即：∠ACB的大小不發(fā)生變化．
【點睛】
此題主要考查了角平分線定理，三角形的外角的性質，解本題的關鍵是得出∠YBA﹣∠OAB＝90°．
12．分別畫出已知鈍角和平角的平分線．

【答案】見解析
【解析】
【分析】
根據角平分線的作法，分別作出兩角的角平分線即可．
【詳解】
解：如鈍角中，以O為圓心，任意長度為半徑作弧，分別交OA、OB于點M、N，然后分別以M、N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點C，作射線OC，如圖所示，射線OC即為角平分線；
如平角中，以O為圓心，任意長度為半徑作弧，分別交OA、OB于點M、N，然后分別以M、N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點C，作射線OC，如圖所示，射線OC即為角平分線．

【點睛】
此題考查的是作一個角的角平分線，掌握利用尺規(guī)作圖作角平分線是解決此題的關鍵．
13． 已知：如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF；求證：AD平分∠BAC．

【答案】見解析
【解析】
【分析】
根據已知條件證明△BDE≌△CDF，得到DE=DF，再根據角平分線的判定定理即可得到結論.
【詳解】
證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
【點睛】
此題考查三角形全等的判定及性質，角平分線的判定定理，正確理解題意證明∴Rt△BDE≌Rt△CDF是解題的關鍵.
14．如圖，在△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．

（1）求證：∠ACD=∠B；
（2）若AF平分∠CAB分別交CD、BC于E、F，求證：∠CEF=∠CFE．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【解析】
試題分析：（1）由于∠ACD與∠B都是∠BCD的余角，根據同角的余角相等即可得證；
（2）根據直角三角形兩銳角互余得出∠CFA=90°-∠CAF，∠AED=90°-∠DAE，再根據角平分線的定義得出∠CAF=∠DAE，然后由對頂角相等的性質，等量代換即可證明∠CEF=∠CFE．
試題解析：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B；
（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°-∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED=90°-∠DAE．
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAE，
∴∠AED=∠CFE，
又∵∠CEF=∠AED，
∴∠CEF=∠CFE．
考點：直角三角形的性質．
15．如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）求證：△BCE≌△DCF；
（2）求證：AB+AD=2AE.

【答案】詳見解析
【解析】
【分析】
（1）由角平分線定義可證△BCE≌△DCF（HL）；（2）先證Rt△FAC≌Rt△EAC，得AF=AE，由（1）可得AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
【詳解】
（1）證明：∵AC是角平分線，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴△BCE≌△DCF；
（2）解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠F=∠CEA=90°，
在Rt△FAC和Rt△EAC中，，
∴Rt△FAC≌Rt△EAC，
∴AF=AE，
∵△BCE≌△DCF，
∴BE=DF，
∴AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
【點睛】
本題考查了全等三角形的判定、性質和角平分線定義，注意：全等三角形的對應角相等，對應邊相等，直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．

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12.3 角的平分線的性質

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