矩　　形一、選擇題(每小題4分,共12分)1.(包頭中考)如圖,四邊形ABCD和四邊形AEFC是兩個(gè)矩形,點(diǎn)B在EF邊上,若矩形ABCD和矩形AEFC的面積分別是S1,S2,則S1,S2的大小關(guān)系是(　　)A.S1>S2　  B.S1=S2　  C.S1<S2　  D.3S1=2S22.(南充中考)如圖,把矩形ABCD沿EF翻折,點(diǎn)B恰好落在AD邊的B'處,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,則矩形ABCD的面積是(　　)A.12   B.24   C.12   D.163.如圖,∠MON=90°,矩形ABCD的頂點(diǎn)A,B分別在邊OM,ON上,當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí),A隨之在OM上運(yùn)動(dòng),矩形ABCD的形狀保持不變,其中AB=2,BC=1,運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為(　　)A.+1  B.   C.   D.二、填空題(每小題4分,共12分)4.(北京中考)如圖,O是矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn),M是AD的中點(diǎn),若AB=5,AD=12,則四邊形ABOM的周長(zhǎng)為　　　　　.5.(漳州中考)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn),DE⊥AC,垂足為E,若DE=2,CD=2,則BE的長(zhǎng)為　　　　.6.如圖,四邊形ABCD是矩形,點(diǎn)E在線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上,連接DE交AB于點(diǎn)F,∠AED=2∠CED,點(diǎn)G是DF的中點(diǎn),若BE=1,AG=4,則AB的長(zhǎng)為　　　　.三、解答題(共26分)7.(8分)(湘西中考)如圖,在矩形ABCD中,E,F分別是邊AB,CD的中點(diǎn),連接AF,CE .(1)求證:△BEC≌△DFA.(2)求證:四邊形AECF是平行四邊形.8.(8分)已知:如圖,矩形ABCD中,AC,BD相交于點(diǎn)O,AE平分∠BAD,若∠EAO=15°,求∠BOE的度數(shù).【拓展延伸】9.(10分)閱讀以下短文,然后解決下列問(wèn)題:[來(lái)源:學(xué)?？?。網(wǎng)Z。X。X。K]如果一個(gè)三角形和一個(gè)矩形滿(mǎn)足條件:三角形的一邊與矩形的一邊重合,且三角形的這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在矩形這邊的對(duì)邊上,則稱(chēng)這樣的矩形為三角形的“友好矩形”.如圖①所示,矩形ABEF即為△ABC的“友好矩形”.顯然,當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí),其“友好矩形”只有一個(gè).(1)仿照以上敘述,說(shuō)明什么是一個(gè)三角形的“友好平行四邊形”.(2)如圖②,若△ABC為直角三角形,且∠C=90°,在圖②中畫(huà)出△ABC的所有“友好矩形”,并比較這些矩形面積的大小.(3)若△ABC是銳角三角形,且BC>AC>AB,在圖③中畫(huà)出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周長(zhǎng)最小的矩形并加以證明.  答案解析1.【解析】選B.矩形ABCD的面積S1=2S△ABC,而S△ABC=S2,所以S1=S2.2.【解析】選D.由兩直線(xiàn)平行,內(nèi)錯(cuò)角相等,知∠DEF=∠EFB=60°,∴∠AEF=∠A'EF=120°,∴∠A'EB'=60°,A'E=AE=2,求得A'B'=2,∴AB=2,矩形ABCD的面積為S=2×8=16.【歸納整合】解決矩形中折疊問(wèn)題的兩個(gè)思路(1)運(yùn)用矩形的對(duì)邊相等、對(duì)角線(xiàn)相等、四個(gè)角是直角等性質(zhì).(2)運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì),找出折疊前后相等的角、線(xiàn)段.3.【解析】選A.取AB的中點(diǎn)E,連接OE,DE,OD,則OE=AB=1,AE=1,∴DE=,當(dāng)D,E,O三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),OD=OE+DE,否則OD<OE+DE,∴OD長(zhǎng)的最大值是+1.4.【解析】由勾股定理得AC=13,∵BO為直角三角形斜邊上的中線(xiàn),∴BO=6.5,由三角形中位線(xiàn)定理得MO=2.5,∴四邊形ABOM的周長(zhǎng)為:6.5+2.5+6+5=20.[來(lái)源:學(xué).科.網(wǎng)]答案:205.【解析】∵∠ACB=90°,點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn),DE⊥AC,∴BC=2DE=4.[來(lái)源:Z+xx+k.Com]∴AB=2CD=4,∴AC===8.∴CE=AC=4,∴BE===4.答案:46.【解析】∵四邊形ABCD是矩形,∴AD∥BC.∴∠CED=∠ADE.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°.∵點(diǎn)G是DF的中點(diǎn),∴AG=DF=DG.∴∠AGE=2∠ADE=2∠CED.又∵∠AED=2∠CED,∴∠AGE=∠AED,∴AE=AG=4.在Rt△ABE中AB===.答案:7.【證明】(1)∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD=BC.又∵E,F分別是邊AB,CD的中點(diǎn),∴BE=DF,∵在△BEC和△DFA中,∴△BEC≌△DFA(SAS).(2)由(1)得,CE=AF,又CF=AE,故可得四邊形AECF是平行四邊形.8.【解析】∵AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB.∵AE平分∠DAB,∴∠DAE=∠BAE.∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE.∵∠BAD=90°,∠BAE=∠EAD,∴∠BAE=45°.∵∠EAO=15°,∴∠BAO=45°+15°=60°.∵OA=OB,∴△AOB是等邊三角形,∴BO=AB.∵AB=BE,∴BO=BE,∴∠BOE=∠BEO.∵∠ABE=90°,∠ABO=60°,∴∠OBE=30°.在△BOE中,∵∠BOE+∠BEO+∠OBE=180°,∴∠BOE=(180°-∠OBE)=75°.9.【解析】(1)如果一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形滿(mǎn)足條件:三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合,三角形這邊所對(duì)的頂點(diǎn)在平行四邊形這邊的對(duì)邊上,則稱(chēng)這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”.(2)此時(shí)共有2個(gè)“友好矩形”,如圖,矩形BCAD,矩形ABEF.易知,矩形BCAD,矩形ABEF的面積都等于△ABC面積的2倍,∴△ABC的“友好矩形”的面積相等.(3)此時(shí)共有3個(gè)“友好矩形”,如圖中矩形BCDE,矩形CAFG及矩形ABHK,其中矩形ABHK的周長(zhǎng)最小.[來(lái)源:學(xué)&科&網(wǎng)Z&X&X&K][來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)]證明如下:易知,這三個(gè)矩形的面積相等,令其為S.設(shè)矩形BCDE,矩形CAFG及矩形ABHK的周長(zhǎng)分別為L(zhǎng)1,L2,L3,△ABC的邊長(zhǎng)BC=a,CA=b,AB=c,則L1=+2a,L2=+2b,L3=+2c.∴L1-L2=-=2(a-b)×,而ab>S,a>b,∴L1- L2>0,即L1> L2.同理可得,L2> L3,∴L3最小,即矩形ABHK的周長(zhǎng)最小.  

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18.2.1 矩形

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