菱　　形一、選擇題(每小題4分,共12分)1.(海南中考)如圖,將△ABC沿BC方向平移得到△DCE,連接AD,下列條件中能夠判定四邊形ACED為菱形的是(　　)A.AB=BC    B.AC=BCC.∠B=60°   D.∠ACB=60°2.如圖,兩條筆直的公路l1,l2相交于點(diǎn)O,村莊C的村民在公路的旁邊建三個(gè)加工廠A,B,D,已知AB=BC=CD=DA=5千米,村莊C到公路l1的距離為4千米,則村莊C到公路l2的距離是(　　)[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]A.3千米   B.4千米   C.5千米   D.6千米3.(玉林中考)如圖,在給定的一張平行四邊形紙片上作一個(gè)菱形.甲、乙兩人的作法如下:甲:連接AC,作AC的垂直平分線MN分別交AD,AC,BC于M,O,N,連接AN,CM,則四邊形ANCM是菱形.乙:分別作∠A,∠B的平分線AE,BF,分別交BC,AD于E,F,連接EF,則四邊形ABEF是菱形.根據(jù)兩人的作法可判斷(　　)A.甲正確,乙錯(cuò)誤    B.乙正確,甲錯(cuò)誤C.甲、乙均正確     D.甲、乙均錯(cuò)誤二、填空題(每小題4分,共12分)4.(濰坊中考)如圖,ABCD是對(duì)角線互相垂直的四邊形,且OB=OD,請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件　　　　　　,使ABCD成為菱形.(只需添加一個(gè)即可)5.如圖,在四邊形ABCD中,AC=BD=6,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),則EG2+FH2=　　　　.6.(宜賓中考)如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,BD為AC的中線,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)A作BD的平行線,交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,在AF的延長(zhǎng)線上截取FG=BD,連接BG,DF.若AG=13,CF=6,則四邊形BDFG的周長(zhǎng)為　　　　　.三、解答題(共26分)7.(8分)已知:如圖所示,平行四邊形ABCD中,M,N分別是DC,AB的中點(diǎn),若∠A=60°,AB=2AD.求證:MN⊥BD.8.(8分)(2013·鹽城中考)如圖,在平行四邊形ABCD中,E為BC邊上的一點(diǎn),連接AE,BD且AE=AB.(1)求證:∠ABE=∠EAD.(2)若∠AEB=2∠ADB,求證:四邊形ABCD是菱形.【拓展延伸】9.(10分)△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B,C重合),△ADE是以AD為一邊的等邊三角形,過(guò)點(diǎn)E作BC的平行線,分別交射線AB,AC于點(diǎn)F,G,連接BE.[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)](1)如圖(a)所示,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí).①求證:△AEB≌△ADC.②探究四邊形BCGE是怎樣的特殊四邊形?并說(shuō)明理由.(2)如圖(b)所示,當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí),直接寫(xiě)出(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否成立.(3)在(2)的情況下,當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形BCGE是菱形?并說(shuō)明理由. 答案解析1.【解析】選B.由平移,得AC∥DE,AC=DE,∴四邊形ACED是平行四邊形;又∵BC=CE,∴當(dāng)AC=BC時(shí),AC=CE,∴四邊形ACED是菱形.[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]2.【解析】選B.如圖,連接AC,作CF⊥l1,CE⊥l2;∵AB=BC=CD=DA[來(lái)源:Z+xx+k.Com]=5千米,∴四邊形ABCD是菱形,∴∠CAE=∠CAF,∴CE=CF=4千米.3.【解析】選C.甲的作法正確;∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,∴∠DAC=∠ACN,∵MN是AC的垂直平分線,∴AO=CO,在△AOM和△CON中,∴△AOM≌△CON(ASA),∴MO=NO,∴四邊形ANCM是平行四邊形,∵AC⊥MN,∴四邊形ANCM是菱形.乙的作法正確;∵AD∥BC,∴∠1=∠2,∠6=∠7,∵BF平分∠ABC,AE平分∠BAD,∴∠2=∠3,∠5=∠6,∴∠1=∠3,∠5=∠7,∴AB=AF,AB=BE,∴AF=BE.∵AF∥BE,且AF=BE,∴四邊形ABEF是平行四邊形.∵AB=AF,∴平行四邊形ABEF是菱形.4.【解析】根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形,已知AC⊥BD,所以只需添加條件使四邊形ABCD為平行四邊形即可,答案不唯一,如OA=OC等.答案:OA=OC(答案不唯一)5.【解析】連接EF,FG,GH,HE,∵點(diǎn)E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),∴EF∥AC∥GH,EF=GH=AC=3,EH∥BD∥FG,EH=FG=BD=3,所以四邊形EFGH是菱形,∴EG⊥FH.設(shè)EG,FH的交點(diǎn)為O.∴EG2+FH2=(2OE)2+(2OH)2=4OE2+4OH2=4(OE2+OH2)=4EH2=36.答案:366.【解析】∵AG∥BD,BD=FG,∴四邊形BGFD是平行四邊形,∵CF⊥BD,∴CF⊥AG,又∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),∴BD=DF=AC,∴四邊形BGFD是菱形,設(shè)GF=x,則AF=13-x,AC=2x,在Rt△ACF中,AF2+CF2=AC2,即(13-x)2+62=(2x)2,解得:x=5,故四邊形BDFG的周長(zhǎng)=4GF=20.答案:207.【證明】連接DN,BM.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴ABCD,∵M,N分別是DC,AB的中點(diǎn),∴DM=DC,BN=AB=AN,∴DMBN,∴四邊形BMDN是平行四邊形.∵AB=2AD,AB=2AN,∴AD=AN.∵∠A=60°,∴△ADN是等邊三角形,∴DN=AN=BN,∴平行四邊形BMDN是菱形,∴MN⊥BD.8.【證明】(1)∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AD∥BC,∴∠AEB=∠EAD.又∵AE=AB,∴∠ABE=∠AEB.∴∠ABE=∠EAD.(2)∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC.[來(lái)源:Zxxk.Com]又∵∠AEB=2∠ADB,∠AEB=∠ABE,∴∠ABE=2∠DBC,∴∠ABD=∠DBC.∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD.又∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴四邊形ABCD是菱形.9.【解析】(1)①∵△ABC和△ADE都是等邊三角形,∴AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=60°.又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD,∠DAC=∠BAC-∠BAD,∴∠EAB=∠DAC,∴△AEB≌△ADC.②四邊形BCGE是平行四邊形,理由:由①得△AEB≌△ADC,∴∠ABE=∠C=60°.又∵∠BAC=∠C=60°,∴∠ABE=∠BAC,∴EB∥GC.又∵EG∥BC,∴四邊形BCGE是平行四邊形.(2)①②都成立.(3)當(dāng)CD=CB(∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°)時(shí),四邊形BCGE是菱形.理由:由①得△AEB≌△ADC,∴BE=CD.又∵CD=CB,∴BE=CB.由②得四邊形BCGE是平行四邊形,∴四邊形BCGE是菱形.  

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18.2.2 菱形

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