人教A版 (2019)必修第二冊6.2 平面向量的運算免費一課一練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?6.2.4　向量的數(shù)量積
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　向量的數(shù)量積　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2020山東菏澤高一期末)已知平面向量a,b的夾角為2π3,|a|=3,|b|=2,則(a+b)·(a-2b)的值為(　　)
A.-2 B.1-33 C.4 D.33+1
2.若e1,e2是夾角為π3的單位向量,且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,則a·b=(　　)
A.1 B.-4 C.-72 D.72
3.已知向量a,b,c和實數(shù)λ,則下列各式一定正確的是　　　　.(填序號)?
①a·b=b·a;②(λa)·b=a·(λb);③(a+b)·c=a·c+b·c;④(a·b)c=a(b·c).
4.(2020江西南昌第十中學(xué)高一上期末)如圖,在△ABC中,已知AB=2,AC=6,∠BAC=60°,點D,E分別在邊AB,AC上,且AB=2AD,AC=5AE.
(1)若點F為DE的中點,用向量AB和AC表示BF;
(2)在(1)的條件下,求BA·EF的值.

題組二　向量的投影向量
5.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,e是與b同向的單位向量,則向量a在向量b上的投影向量是(　　)
A.-4e B.4e C.-2e D.2e
6.已知|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為60°,e是與a同向的單位向量,則a+b在a上的投影向量為(　　)
A.e B.2e C.277e D.77e
7.設(shè)e1,e2為單位向量,且e1,e2的夾角為π3,若a=e1+3e2,b=2e1,e是與b同向的單位向量,則向量a在向量b上的投影向量為　　　　.?
題組三　向量的模
8.(2020天津靜海一中高一下月考)已知向量a與b的夾角為60°,|a|=2,|b|=2,則|a+b|等于(　　)
A.23 B.2
C.22 D.4
9.(2020江西景德鎮(zhèn)一中高一上期末)已知向量a,b的夾角為60°,且|a|=1,|2a-b|=7,則|b|=　　　　.?
10.(2020山東濰坊高一下月考)在△ABC中,AB=1,AC=2,∠BAC=45°,M為BC的中點.
(1)試用AB,AC表示AM;
(2)求AM的長.

題組四　向量的夾角
11.(2020山東滕州一中高一下月考)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,a·b=1,那么向量a,b的夾角為(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
12.已知向量a,b滿足|a|=5,|b|=4,|b-a|=61,則a與b的夾角θ=(　　)
A.150° B.120° C.60° D.30°
13.已知|a|=3,|b|=4,向量a+34b與a-34b的夾角為(　　)
A.0° B.90° C.30° D.180°
14.如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=4,AD=3,E為邊CD的中點,DF=12FA,若AE·BF=-3,則cos∠DAB=　　　　.?

題組五　向量的垂直
15.已知非零向量a,b互相垂直,則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.|a|=|b| B.a+b=a-b
C.|a+b|=|a-b| D.(a+b)·(a-b)=0
16.已知四邊形ABCD滿足AB=DC,AC·BD=0,則四邊形ABCD為(　　)
A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
17.已知△ABC中,AB2=AB·AC+BA·BC+CA·CB,則△ABC是(　　)
A.等邊三角形 B.銳角三角形
C.直角三角形 D.鈍角三角形
18.(2020福建師范大學(xué)附屬中學(xué)高一上期末)已知向量a,b的夾角為60°,|a|=1,|b|=2,若(a+2b)⊥(xa-b),則實數(shù)x的值為　　　　.?

能力提升練
題組一　向量的投影向量
1.(2020江西南昌一中高一上期末,)已知a,b是單位向量,且|a+b|=2|a-b|,向量e是與a+b同向的單位向量,則向量a在a+b上的投影向量為　(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.13e B.-263e C.63e D.223e
2.()已知向量a,b滿足|a|=1,a⊥b,向量e是與a^同向的單位向量,則向量a-2b在向量a上的投影向量為(　　)
A.e B.77e C.-e D.277e
3.()已知a,b滿足|a|=2,|b|=3,e1,e2分別是與a,b同向的單位向量,且a在b上的投影向量的模與b在a上的投影向量的模相等,則|a-b|=(　　)
A.1 B.2 C.7 D.7
題組二　向量的夾角和模長
4.(2020湖北部分重點中學(xué)高三上期末,)已知向量AB,AC,AD滿足AC=AB+AD,|AB|=2,|AD|=1,E,F分別是線段BC,CD的中點,若DE·BF=-54,則向量AB與AD的夾角為(　　)
A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
5.(2020北京首師大附中高三下測試,)已知向量a,b滿足|a|=|b|=1,且其夾角為θ,則“|a-b|>1”是“θ∈π3,π”的(　　)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
6.(多選)(2020山東滕州一中高一下期中,)若a,b,c均為單位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,則|a+b-c|的值可能為(　　)
A.2-1 B.1 C.2 D.2
7.(2020安徽合肥一六八中學(xué)高一上期末,)已知△ABC中,AB⊥AC,|AB-AC|=2,點M是線段BC(含端點)上一點,且AM·(AB+AC)=1,則|AM|的取值范圍是(　　)
A.(0,1] B.0,12 C.12,1 D.12,1
題組三　向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用
8.(2020湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高一上期末,)已知O為平面上的定點,A,B,C是平面上不共線的三點,若(OB-OC)·(OB+OC-2OA)=0,則△ABC是(　　)
A.以AB為底邊的等腰三角形
B.以BC為底邊的等腰三角形
C.以AB為斜邊的直角三角形
D.以BC為斜邊的直角三角形
9.()若a,b是非零向量,且a⊥b,|a|≠|(zhì)b|,則函數(shù)f(x)=(xa+b)·(xb-a)是(　　)
A.一次函數(shù)且是奇函數(shù) B.一次函數(shù)但不是奇函數(shù)
C.二次函數(shù)且是偶函數(shù) D.二次函數(shù)但不是偶函數(shù)
10.(2020天津外國語學(xué)校等六校高三上期末,)在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB=2,AD=5,BC=3,∠A=60°,點E在線段CB的延長線上,且AE=BE,點M在邊CD所在直線上,則AM·ME的最大值為(　　)
A.-714 B.-24 C.-514 D.-30
11.(2020黑龍江哈爾濱六中高一期中,)已知O是△ABC所在平面上的一個定點,動點P滿足OP=OB+OC2+λAB|AB|cosB+AC|AC|cosC,λ∈[0,+∞),則動點P的軌跡一定通過△ABC的(　　)
A.重心 B.垂心 C.外心 D.內(nèi)心
12.(2020福建師范大學(xué)附屬中學(xué)高一上期末,)如圖,△ABC的邊BC的垂直平分線交AC于點P,交BC于點Q,若|AB|=3,|AC|=5,則(AP+AQ)·(AB-AC)的值為　　　　.?

13.()如圖,在△ABC中,CA=1,CB=2,∠ACB=60°.
(1)求|AB|;
(2)已知點D是AB上一點,滿足AD=λAB,點E是邊CB上一點,滿足BE=λBC.
①當(dāng)λ=12時,求AE·CD;
②是否存在非零實數(shù)λ,使得AE⊥CD?若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由.

答案全解全析
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.C　a·b=|a|·|b|cos 2π3=3×2×-12=-3,∴(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=32-(-3)-2×22=4,故選C.
2.C　由已知,得e1·e2=|e1||e2|cosπ3=12,∴a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6|e1|2+2|e2|2+e1·e2=-72,故選C.
3.答案?、佗冖?br /> 解析　由平面向量的交換律可知①正確;由平面向量的運算律知②正確;由平面向量的分配律可知③正確;令m=a·b,n=b·c,則(a·b)c=mc,a(b·c)=na,a,c均為任意向量,所以(a·b)c=a(b·c)不一定成立,故④錯誤.
4.解析　(1)BF=BD+DF=-12AB+12DE
=-12AB+12(AE-AD)
=-12AB+1215AC-12AB
=-34AB+110AC.
(2)EF=12ED=12(AD-AE),
∵AB=2AD,AC=5AE,
∴EF=14AB-110AC.
∴BA·EF=-AB·14AB-110AC
=-14AB2+110AB·AC
=-14×4+110×2×6×cos 60°=-25.
5.A　設(shè)向量a與b的夾角為θ,則cos θ=a·b|a|·|b|=-126×3=-23,則向量a在b上的投影向量為|a|cos θ e=6×-23e=-4e.
6.B　由題意,得(a+b)·a=a2+b·a=1+2×1×12=2.設(shè)向量a+b與向量a的夾角為θ,則向量a+b在向量a上的投影向量為|a+b|cos θ e=(a+b)·a|a|e=2e,故選B.
7.答案　52e
解析　依題意得|e1|=|e2|=1,且e1·e2=|e1||e2|cos π3=12,所以a·b=(e1+3e2)·2e1=2e12+6e1·e2=5,所以向量a在向量b上的投影向量為|a|cose=a·b|b|e=52e.
8.A　由題意,得a·b=|a|·|b|cos 60°=2×2×12=2,則|a+b|=a2+2a·b+b2=4+4+4=23.故選A.
9.答案　3
解析　∵向量a,b的夾角為60°,|a|=1,|2a-b|=7,
∴(2a-b)2=4a2-4a·b+b2=4×12-4×1×|b|×cos 60°+|b|2=4-2|b|+|b|2=7,
即|b|2-2|b|-3=0,
解得|b|=3或|b|=-1(不合題意,舍去),
∴|b|=3.
10.解析　(1)∵M(jìn)為BC的中點,
∴BM=12BC.
∴AM=AB+BM=AB+12BC
=AB+12(AC-AB)
=12(AB+AC).
(2)由(1)得,|AM|2=14(AB+AC)2
=14(AB2+AC2+2AB·AC)
=14[12+(2)2+2×1×2×cos 45°]
=54.
∴|AM|=52.
11.B　設(shè)向量a,b的夾角為θ,
由|a|=1,|b|=2,a·b=1,
得cos θ=a·b|a||b|=12,
又0°≤θ≤180°,
所以θ=60°.故選B.
12.B　由|b-a|=61,得b2-2a·b+a2=16-2a·b+25=61,所以a·b=-10,所以cos θ=a·b|a||b|=-105×4=-12,所以θ=120°,故選B.
13.B　a+34b·a-34b=|a|2-916|b|2=32-916×42=0,
所以向量a+34b與a-34b垂直,即其夾角為90°,故選B.
14.答案　18
解析　∵DF=12FA,∴AF=23AD,
∴BF=BA+AF=-AB+23AD.
∵AE=AD+DE=AD+12AB,
∴AE·BF=AD+12AB·-AB+23AD
=23AD2-23AB·AD-12AB2
=23×32-23×4×3×cos∠DAB-12×42
=-3,
∴cos∠DAB=18.
15.C　對于A選項,|a|=|b|,與a,b互相垂直無關(guān),A錯誤;
對于B選項,a+b=a-b?b=0,與b為非零向量矛盾,B錯誤;
對于C選項,|a+b|=|a-b|?(a+b)2=(a-b)2?a·b=0?a⊥b,C正確;
對于D選項,(a+b)·(a-b)=0?a2=b2?|a|=|b|?/ a⊥b,D錯誤.
16.C　∵AB=DC,∴|AB|=|DC|,且AB∥DC,∴四邊形ABCD是平行四邊形.
∵AC·BD=0,∴AC⊥BD,即AC⊥BD,
∴平行四邊形的對角線互相垂直,
∴四邊形ABCD為菱形.故選C.
17.C　由AB2-AB·AC=BA·BC+CA·CB,
得AB·(AB-AC)=BC·(BA-CA),
即AB·CB=BC·BC,
∴AB·BC+BC·BC=0,
∴BC·(AB+BC)=0,
即BC·AC=0,即BC⊥AC,
∴△ABC是直角三角形,故選C.
18.答案　3
解析　由題意可得a·b=1×2×cos 60°=1,a2=1,b2=4,
所以(a+2b)·(xa-b)=xa2+(2x-1)a·b-2b2=0,即x+(2x-1)-8=0,解得x=3.
能力提升練
1.C　∵|a+b|=2|a-b|,
∴(a+b)2=2(a-b)2,
∴6a·b=a2+b2=|a|2+|b|2=2,
∴a·b=13,
∴|a+b|=(a+b)2=a2+2a·b+b2
=1+2×13+1=263.
設(shè)a與a+b的夾角為θ,
則a在a+b上的投影向量為|a|cos θ e=a·(a+b)|a+b|e=a2+a·b|a+b|e=1+13263e=63e.
2.A　設(shè)θ為向量a-2b與向量a的夾角,則向量a-2b在向量a上的投影向量為|a-2b|cos θ e.
又cos θ=(a-2b)·a|a-2b|·|a|=a2-2a·b|a-2b|·|a|=1|a-2b|,故|a-2b|cos θ e=|a-2b|·1|a-2b|e=e.
3.C　設(shè)a與b的夾角為θ,由題意可得,||a|cos θ e2|=||b|cos θ e1|,即2|cos θ|=3|cos θ|,∴cos θ=0,又θ∈[0,π],
∴θ=π2,即a⊥b,∴|a-b|=22+(3)2=7.故選C.
4.B　設(shè)向量AB與AD的夾角為θ.依題意知,四邊形ABCD為平行四邊形,所以AB=DC,AD=BC,所以BF=BC+CF=AD-12AB,DE=DC+CE=AB-12AD,因此BF·DE=AD-12AB·AB-12AD=54AB·AD-12AB2-12AD2=54AB·AD-12×22-12×12=54AB·AD-52=-54,所以AB·AD=1,又AB·AD=|AB|·|AD|cos θ=2cos θ=1,因此cos θ=12,又θ∈[0,π],所以θ=π3.故選B.
5.C　若|a-b|>1,則|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=2-2cos θ>1,∴cos θ

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