6.2.4  向量的數(shù)量積例9  已知，，與夾角，求．    例10  設(shè)，，，求與的夾角．    練習(xí)1. 已知，，和的夾角是60°，求．     2. 已知中，，，當(dāng)或時(shí)，試判斷的形狀．    3. 已知，為單位向量，當(dāng)向量，的夾角分別等于45°，90°，135°時(shí)，求向量在向量上的投影向量．例11  我們知道，對(duì)任意，恒有，．對(duì)任意向量，，是否也有下面類(lèi)似的結(jié)論？（1）；（2）．   例12  已知，，與的夾角為60°，求．    例13  已知，，且與不共線(xiàn)．當(dāng)為何值時(shí)，向量與相垂直？      練習(xí)4. 已知，，，向量與的夾角為，向量與的夾角為，計(jì)算：（1）；（2）．5. 已知，，且與互相垂直，求證：.    6. 求證：．    變式練習(xí)題7. 已知向量與的夾角為，，，分別求在下列條件下的：（1）；（2）；（3）．  8. 已知，，，求與的夾角．   9. 已知向量與的夾角為120°， ||＝2， ||＝3，求：（1）(＋)·(－)；（2）|－|．   10. 在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且與BC相交于點(diǎn)D，則向量在上的投影向量為（    ）A.  B.  C.  D.       11. 已知，， 與的夾角為，問(wèn)：當(dāng)為何值時(shí)，？     12. 已知，，且與互相垂直，求證：．     13. 用向量方法證明：菱形對(duì)角線(xiàn)互相垂直．已知四邊形是菱形，，是其對(duì)角線(xiàn)．求證：．   14. 設(shè)⊙C半徑為r，若A， B兩點(diǎn)都是⊙C上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值．       6.2.4  向量的數(shù)量積例9  已知，，與夾角，求．解：．例10  設(shè)，，，求與的夾角．解：由，得．因?yàn)?/span>，所以．練習(xí)1. 已知，，和的夾角是60°，求．【答案】24【解析】【分析】由運(yùn)算即可得解.【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.2. 已知中，，，當(dāng)或時(shí)，試判斷的形狀．【答案】鈍角三角形或直角三角形．【解析】【分析】由平面向量數(shù)量積公式，結(jié)合向量夾角的余弦值的符號(hào)判斷即可得解.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，有，即，所以為鈍角，為鈍角三角形；當(dāng)時(shí)，有，即，為直角三角形．故為鈍角三角形或直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積公式，重點(diǎn)考查了向量夾角的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.3. 已知，為單位向量，當(dāng)向量，的夾角分別等于45°，90°，135°時(shí)，求向量在向量上的投影向量．【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】由在上的投影向量為，再將已知條件代入運(yùn)算即可得解.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，在上的投影向量為，當(dāng)時(shí)，在上的投影向量為，當(dāng)時(shí)，在上的投影向量為．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的投影的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.例11  我們知道，對(duì)任意，恒有，．對(duì)任意向量，，是否也有下面類(lèi)似的結(jié)論？（1）；（2）．解：（1）；（2）．因此，上述結(jié)論是成立的．例12  已知，，與的夾角為60°，求．解：．例13  已知，，且與不共線(xiàn)．當(dāng)為何值時(shí)，向量與相垂直？解：與互相垂直的充要條件是，．因?yàn)?/span>，，所以．解得．也就說(shuō)，當(dāng)時(shí)，與互相垂直．練習(xí)4. 已知，，，向量與的夾角為，向量與的夾角為，計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算及向量的數(shù)乘運(yùn)算即可得解；（2）由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算及向量的數(shù)乘運(yùn)算即可得解.【詳解】解：（1）；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算及向量的數(shù)乘運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.5. 已知，，且與互相垂直，求證：.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】【分析】根據(jù)與互相垂直，可得，結(jié)合題設(shè)條件，即可證明.【詳解】因?yàn)?/span>與互相垂直，所以，即，因?yàn)?/span>，，所以，，所以，因?yàn)?/span>，是非零向量，所以.6. 求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】【分析】由平面向量的運(yùn)算性質(zhì)即可得證.【詳解】證明：由左邊右邊，故等式成立．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的運(yùn)算性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.變式練習(xí)題7. 已知向量與的夾角為，，，分別求在下列條件下的：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）    （2）或    （3）【解析】【分析】（1）根據(jù)，代入數(shù)值，即可求出結(jié)果；（2）因?yàn)?/span>，所以或，再根據(jù)即可求出結(jié)果；（3）因?yàn)?/span>，所以，再根據(jù)即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?/span>，，，所以；【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)?/span>，所以或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以的值為或.【小問(wèn)3詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，所以.8. 已知，，，求與的夾角．【答案】【解析】【分析】利用向量的夾角公式即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以.9. 已知向量與的夾角為120°， ||＝2， ||＝3，求：（1）(＋)·(－)；（2）|－|．【答案】（1）－5.    （2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算得(＋)·(－)＝2－2可求得答案；（2）根據(jù)向量數(shù)量積的定義求得，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律求得|－|2，由此可求得答案.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)橄蛄?/span>與的夾角為120°， ||＝2， ||＝3，所以(＋)·(－)＝2－2＝－5．【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)橄蛄?/span>與的夾角為120°， ||＝2， ||＝3，所以，所以 |－|2＝(－)2＝2－2·＋2＝19，所以|－|＝．10. 在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且與BC相交于點(diǎn)D，則向量在上的投影向量為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】首先畫(huà)出圖形，根據(jù)投影的幾何意義，計(jì)算結(jié)果.【詳解】由余弦定理可知，，， AD平分∠BAC且與BC相交于點(diǎn)D，是等腰三角形，是中點(diǎn)，，由圖可知向量在上的投影向量為 ，.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查向量的投影，重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題型.11. 已知，， 與的夾角為，問(wèn)：當(dāng)為何值時(shí)，？【答案】.【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義可得的值，再利用數(shù)量積的定義和性質(zhì)計(jì)算即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，， 與的夾角為，所以，若，則，即，所以，所以，可得：.12. 已知，，且與互相垂直，求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】【分析】因?yàn)?/span>與互相垂直，所以，整理化簡(jiǎn)，可得，由此即可證明結(jié)果.【詳解】證明：因?yàn)?/span>與互相垂直，所以，即．又因?yàn)?/span>，所以．因?yàn)?/span>是非零向量，所以．13. 用向量方法證明：菱形對(duì)角線(xiàn)互相垂直．已知四邊形是菱形，，是其對(duì)角線(xiàn)．求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【解析】【分析】設(shè)， ，則且，即可求得，由此即可證明結(jié)果.【詳解】證明：設(shè)， ．因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，所以，又則，故．所以.14. 設(shè)⊙C半徑為r，若A， B兩點(diǎn)都是⊙C上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值．【答案】2r2【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積公式，結(jié)合圓的性質(zhì)，即可得答案.【詳解】若AB恰為⊙C直徑，易知；若AB不是⊙C直徑，則綜上，的最大值為2r2. 

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

6.2 平面向量的運(yùn)算

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