教學目標：
1. 理解一元二次方程的概念及一般形式。
2. 會利用概念的意義判斷一個方程是否為一元二次方程。
3. 能確定未知數(shù)取值范圍，能夠列出簡單的方程解決實際問題，從而體現(xiàn)建立方程模型
刻畫實際生活的這一思想。

二. 重點、難點：
重點：一元二次方程的有關(guān)概念。
難點：對一元二次方程的理解及實際生活中的應(yīng)用。

課堂教學：
（一）知識要點：
知識點1：整式方程的概念。
等式的左邊和右邊都是整式，這樣的方程稱整式方程，以前學過的一元一次方程及
本章的一元二次方程都屬于整式方程。

知識點2：一元二次方程
只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程。如x2－2＝0，x2＋165x
－1652＝0，它屬于整式方程。
說明：
“一元”指的是“只含有一個未知數(shù)”，“二次”是指未知數(shù)的最高指數(shù)是2，
一般的整式方程都用“元”和“次”來定義。
判斷一元二次方程，先看形式是否為整式，然后化簡后再判斷是“一元”、“二
次”，如，。
3. 舉例說明：下列哪些是一元二次方程？
（1）x2－5x＝0 （2）9x2＋6＝2x（2x＋1） （3）4x2＝ x＋5 （4）3x2＝7y
（5） （6）x（5x－2）＝ x（x＋1）＋4x2

知識點3：一元二次方程的一般形式
任何一個一元二次方程都可化為ax2＋bx＋c＝0（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）
說明：
1. 不能說可化為ax2＋bx＋c＝0（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）的方程是一元二次方 程。
2. ax2＋bx＋c＝0的方程。a≠0是一元二次方程，反之已知一元二次方程ax2＋bx
＋c＝0就隱含a≠0這個條件。
一元二次方程的各項系數(shù)很重要，三項的排列必須從左到右降冪排列，依次為二 次項的系數(shù)a，一次項的系數(shù)b，和常數(shù)項c，等式的右邊必須是0。
4. 舉例說明：說出3x（x－1）＝2（x＋2）＋8的 a，b，c。
a＝ ；b＝ ；c
＝

知識點4：一元二次方程的分類。
三項都不缺的，如：x2－2x－3＝0 ，其中a＝1；b＝－2；c＝－3
缺二項的，如：3x2＝0，其中a＝3；b＝0；c＝0
缺一項的，如：－2x2－x＝0，其中a＝－2；b＝－1；c＝0
如：2x2－1＝0，其中a＝2；b＝0；c＝－1
說明：通過分類更好地理解一般形式，從而確定a，b，c，為將來的學習打下基礎(chǔ)。

【典型例題】
例1. 已知方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，求m的值。
解：由，
∴m＝2

例2. 把下列方程中是一元二次方程的序號填在橫線上： 。
（1）x2＝9；（2）；（3）x(x＋5)＝x2－2x ；（4）5x2＝0；（5）
（6）； （7）
答：（1），（4），（5），（6），（7）

例3. 判定方程 m2 (x2＋m)＋2x＝x(x＋2m)－1是不是關(guān)于x的一元二次方程。
解：經(jīng)過整理，得m2 x2＋m3＋2x＝x2＋2mx－1 (m2－1)x2＋2(1－m) x＋(m3＋1)＝0
當m≠1，且m≠－1時，有m2－1≠0，所以原方程是一元二次方程。
當m＝1，或m＝－1時，有m2－1＝0，所以原方程不是一元二次方程。

例4. 關(guān)于x的方程(m＋1)x2－(m－1)x＝2m，若是一元二次方程，求m的值。
解：由m＋1≠0，得m≠－1。

例5. 將下列關(guān)于x的一元二次方程化為一般形式，再寫出它的二次項系數(shù)，一次項系
數(shù)及常數(shù)項。
（1）6x2＝3x＋2；（2）x2－a(3x－2a＋b)－b2＝0
解：（1）移項，得：6x2－3x－2＝0，∴a＝6；b＝－3；c＝－2
（2）x2－3ax＋(2a2－ab－b2) ＝0，∴a＝1；b＝－3a；c＝2a2－ab－b2

例6. 在線段AB上，若點C在AB上且AB：AC＝AC：CB，設(shè)AC＝x，AB＝m，則關(guān)于x的
一元二次方程為
解：m：x＝ x：(m－x) ∴x2＋mx－m2＝0
說明：點C是線段AB的黃金分割點，x≈0.618m。

例7. 已知關(guān)于x的方程；
（1）當m為何值時，原方程是一元二次方程？
（2）當m為何值時，原方程是一元一次方程？
解：（1） 解得
∴當時，原方程是一元二次方程。
（2）

∴當m＝－1或m＝－或m＝±時，原方程是一元一次方程。

例8. 若x2－9＝0，則___________________。
解：由x2－9＝0，∴x＝±3，但x＝3時，分母為零；∴x＝－3
∴原式＝

例9. 若xa＋b－3xa－b＋2是關(guān)于x的一元二次方程，試確定a、b的值。
解：
解之得：

例10. （1）某校去年對實驗器材的投資為2萬元，預計今、明兩年的投資總額為8萬
元。若設(shè)該校這兩年在實驗器材的投資上的平均增長率為x，試列出符合條件的方程。
（2）長方形像框是由一個80cm，寬60cm的長方形木板，挖去一個小長方形得到
的，像框四周寬為xcm，且中間小長方形的面積為大長方形的面積的一半，請寫
出符合題意的方程。
解：（1）今年的投資額為2(1＋x)萬元，明年的投資額為2(1＋x)2萬元
根據(jù)題意，得2(1＋x)＋2(1＋x)2＝8
即x2＋3x－2＝0
（2）小長方形的長和寬分別是：80－2x，60－2x
根據(jù)題意，得（80－2x）（60－2x）＝×60×80
即x2－70x＋600＝0

例11. 一個兩位數(shù)，十位數(shù)字與個位數(shù)字之和是5，把這個數(shù)的個位數(shù)字和十位數(shù)字對
調(diào)后所得的新數(shù)與原數(shù)的積是736，若設(shè)原數(shù)的十位數(shù)字為x，請寫出符合題意的方程：
解：由題意得方程：[10x＋(5－x)][10(5－x)＋x]＝736


例12. 兩個正方形的面積和是89 cm2,它們的周長差是12cm，設(shè)較小正方形的邊長為x，
試寫出符合題意的方程。
解：（3＋x）2＋x 2＝89

例13. 關(guān)于x的方程a2x2－2x(2x－1)＝ ax＋1，（1）在什么條件下它是一元二次方程？
（2）在什么條件下，它是一元一次方程？
解：（1）a≠2且a≠－2；（2）a＝－2

【模擬試題】（答題時間：30分鐘）
一. 選擇題：
1. 如果(a－1)x2＋ax＋a2－1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，那么必有（ ）
A. a≠0 B. a≠1 C. a≠－1 D. a＝±－1
2. 某種產(chǎn)品原來每件的成本是100元，由于連續(xù)兩次降低成本 ，現(xiàn)在的成本是81元，
設(shè)平均每次降低成本的百分率為x，則所得方程為（ ）
A. 100(1＋x)2＝81 B. 100(1－x)2＝81
C. 81 (1－x)2＝100 D. 81(1＋x)2＝100
3. 若a－b＋c＝0，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根是（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D. －1
4. 若ax2－5x＋3＝0，是一元二次方程，則不等式3a＋6>0的解集是（ ）
A. a>－2 B. a－2且a≠0 D. a

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1.1 一元二次方程

版本： 蘇科版

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