1．若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為，則的值為（ ）
A．B．C．D．或
2．用配方法解方程，變形后的結(jié)果正確的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則此方程的根是（ ）
A．B．C．D．
4．已知是方程和方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則方程一定有實(shí)數(shù)根（ ）
A．B．C．D．
5．已知a、b為實(shí)數(shù)，且滿足，則代數(shù)式的值為（ ）
A．3或－5B．3C．－3或5D．5
6．若分式方程有增根，則a的值是（ ）
A．1B．3C．D．
7．已知等腰的一條邊為，其余兩邊的邊長恰好是方程的兩個(gè)根，則的值是（ ）
A．B．C．或D．或
8．若使函數(shù)的自變量的取值范圍是一切實(shí)數(shù)，則下面的關(guān)系中一定滿足要求的是（ ）
A．B．C．D．
9．由著名導(dǎo)演張藝謀執(zhí)導(dǎo)的電影《第二十條》因深刻體現(xiàn)了普法的根本是人們對(duì)公平正義的勇敢追求，創(chuàng)下良好口碑，自上映以來票房連創(chuàng)佳績．據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，第一周票房約5億元，以后兩周以相同的增長率增長，三周后票房收入累計(jì)達(dá)約20億元，設(shè)增長率為，則方程可以列為（ ）
A．B．
C．D．
10．如圖①，在矩形中（），動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處停止．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程為，的周長為，與的函數(shù)圖象如圖②所示，則的長為（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）
11．若是方程的根，則的值是 ．
12．已知是方程的一個(gè)根，則的值為 ．
13．若方程的兩根為，則方程的兩根為 ．
14．已知關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，設(shè)此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根為t，令，則y的取值范圍是 ．
15．定義：如果兩個(gè)一元二次方程分別有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且至少有一個(gè)公共根，那么稱這兩個(gè)方程互為“聯(lián)根方程”．已知關(guān)于x的兩個(gè)一元二次方程和互為聯(lián)根方程，那么a的值為 ．
16．新定義，若關(guān)于x的一元二次方程：與，稱為“同類方程”．如與是“同類方程”．
（1）與是“同類方程”，則 ；
（2）現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程：與是“同類方程”．那么代數(shù)式能取的最大值是 ．
17．某中學(xué)計(jì)劃在一塊長，寬的矩形空地上修建三塊全等的矩形草坪，如圖所示，余下空地修建成同樣寬為a的小路．
（1）若，則草坪總面積為 平方米．
（2）若草坪總面積恰好等于小路總面積，那么，此時(shí)的路寬a是 米．
18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)點(diǎn)B在x軸正半軸上，且，則的長是 ．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）
19．（8分）解方程：
(1)； (2)．
20．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若m為正整數(shù)，請(qǐng)你寫出一個(gè)滿足條件的m值，并求出此時(shí)方程的根．
21．（10分）關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．
（1）求的取值范圍；
（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，且，求的值．
22．（10分）已知．
（1）化簡T；
（2）若a、b是方程的兩個(gè)根，求T的值．
23．（10分）已知：一次函數(shù)（）的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)和．
（1）求一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）將直線沿軸負(fù)方向平移個(gè)單位，平移后的直線與反比例函數(shù)圖像恰好只有一個(gè)交點(diǎn)，求的值．
24．（12分）為慶祝我校建校60周年，學(xué)校計(jì)劃用25000元為從世界各地歸來參加校慶的校友在某商場訂購A、B兩種紀(jì)念品．已知A紀(jì)念品的訂購單價(jià)是B紀(jì)念品訂購單價(jià)的，用于購買A紀(jì)念品的資金與購買B紀(jì)念品的資金之比為，且訂購的A紀(jì)念品比B紀(jì)念品多50件．
（1）求A、B兩種紀(jì)念品的訂購單價(jià)各是多少？
（2）商場按訂購單價(jià)計(jì)算，A紀(jì)念品的利潤率為，B紀(jì)念品的利潤率．但在實(shí)際購買時(shí)，由于學(xué)校需求量增加，且無法追加資金，商場考慮到A、B兩種紀(jì)念品的庫存足夠多，為盡快減少庫存，于是同意將A、B兩種紀(jì)念品在原訂購單價(jià)的基礎(chǔ)上，分別每件都降價(jià)a元出售，學(xué)校也在原計(jì)劃訂購量的基礎(chǔ)上各追加購買件．這樣，商場按降價(jià)后的價(jià)格和數(shù)量售出這兩種紀(jì)念品獲得的總利潤比按原訂購單價(jià)和訂購數(shù)量售出所獲得的總利潤少元，求a的值．
參考答案：
1．C
【分析】本題考查了一元二次方程的定義和一元二次方程的解，把代入一元二次方程可得，又根據(jù)可得，進(jìn)而求解，掌握一元二次方程的定義和一元二次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故選：．
2．B
【分析】本題考查配方法解一元二次方程，根據(jù)一元二次方程的配方法即可求出答案解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法．
【詳解】解：方程，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
3．C
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程等知識(shí)．先根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，得到，求出，即可得到一元二次方程為，解方程即可．
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
∴，
∴關(guān)于x的一元二次方程為，
解得．
故選：C
4．B
【分析】本題考查了一元二次方程的解，公式法解一元二次方程．熟練掌握一元二次方程的解，公式法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
由題意知，，，則，即，可求，則，即，公式法解方程，然后作答即可．
【詳解】解：由題意知，，，
∴，即，
解得，，即，
∴，即，
解得，，，
∴方程一定有實(shí)數(shù)根，
故選：B．
5．B
【分析】設(shè)，則原方程換元為，可得，，即可求解．
【詳解】解：設(shè)，則原方程換元為，
，
解得，（不合題意，舍去），
的值為3．
故選：B．
【點(diǎn)撥】本題考查了解一元二次方程，正確掌握換元法是解決本題的關(guān)鍵．
6．B
【分析】本題考查的是分式方程的增根，在分式方程變形的過程中，產(chǎn)生的不適合原方程的根叫做分式方程的增根．分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程計(jì)算即可求出的值．
【詳解】解：去分母得：，
分式方程有增根，
，
，
把代入，
得，
，
經(jīng)檢驗(yàn)：時(shí)分式方程有增根，符合題意．
故選B．
7．B
【分析】本題考查了等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系，一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，分為等腰三角形的底和腰兩種情形，討論求解即可得到答案，應(yīng)用分類討論解答是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：當(dāng)為底時(shí)，由題意得，
解得，
此時(shí)一元二次方程為，
解得，
∵，
∴不能構(gòu)成三角形，
∴不合，舍去；
當(dāng)為腰時(shí)，將代入方程得，
，
解得或，
當(dāng)時(shí)，一元二次方程為，
解得，，
三邊長為，可以構(gòu)成三角形；
當(dāng)時(shí)，一元二次方程為，
解得，，
∵，
∴不能構(gòu)成三角形，
∴不合，舍去，
綜上，，
故選：．
8．A
【分析】本題是函數(shù)有意義的條件與一元二次方程的解相結(jié)合的問題．函數(shù)表達(dá)式是分式時(shí)，考慮分式的分母不能為0．
函數(shù)的自變量取值范圍是一切實(shí)數(shù)，即分母一定不等于0，即方程無解．即，即可解得、的關(guān)系．
【詳解】解：∵函數(shù)的自變量取值范圍是一切實(shí)數(shù)，
∴分母一定不等于0，
∴無解，
即，
解得：或．
當(dāng)時(shí)，一定滿足要求．
故選：A．
9．D
【分析】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)第一天的票房及增長率，即可得出第二天票房約億元、第三天票房約億元，根據(jù)三天后票房收入累計(jì)達(dá)約20億元，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．
【詳解】解：第一天票房約5億元，增長率為x，
第二天票房約億元，第三天票房約億元．
依題意得：．
故選：D．
10．B
【分析】設(shè)的長為a，由函數(shù)圖象可知，根據(jù)第一次周長為12時(shí)列方程求解即可．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴．
設(shè)的長為a，
由函數(shù)圖象可知，當(dāng)周長第一次為12時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，當(dāng)周長第二次為12時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴．
故選B．
【點(diǎn)撥】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)土象，矩形的性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．
11．1
【分析】本題考查一元二次方程的根的定義、代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整體代入思想．
根據(jù)一元二次方程的根的定義，將代入，求出，即可求出的值．
【詳解】解：∵是方程的一個(gè)根，
，
，
，
故答案為：1．
12．2027
【分析】根據(jù)方程根的定義，轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的求值解答．本題考查了方程根的定義，代數(shù)式的整體思想求值，掌握方程根的定義，活用整體思想是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵a是方程的一個(gè)根，
∴，
∴，
∴，
故答案為：2027．
13．
【分析】本題主要考查了配方法的應(yīng)用、直接開平方等知識(shí)點(diǎn)，掌握整體思想是解題的關(guān)鍵．
由可得，再對(duì)配方得到，然后運(yùn)用直接開平方法求解即可．
【詳解】解：可得，
，
，
所以．
故答案為：．
14．/
【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解的定義，不等式的性質(zhì)，熟練的運(yùn)用一元二次方程根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．由一元二次方程根的判別式先求解，根據(jù)一元二次方程的解的定義得出代入代數(shù)式，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解： 關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，
，
解得：，
設(shè)此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根為，
，

，即
故答案為：．
15．
【分析】本題考查了一元二次方程的解的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．也考查了利用因式分解法解方程，先利用因式分解法解方程，得到或．再分別將，代入，求出a的值即可．求出方程的兩個(gè)解是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
分解因式為，
解得或
①當(dāng)時(shí)，，
整理得，
∵，∴方程無解；
②當(dāng)時(shí)，
，
∴或（舍去）
故答案為：．
16． 6
【分析】此題主要考查了配方法的應(yīng)用，解二元一次方程組，理解“同類方程”的定義是解答本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)“同類方程”的定義，可得出b的值．
（2）根據(jù)“同類方程”的定義，可得出a，b的值，從而解得代數(shù)式的最大值．
【詳解】解：（1）與是“同類方程”，
即與是“同類方程”，
∴，
解得，
故答案為：
（2）∵與是“同類方程”，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為6．
故答案為：6．
17． 30 1
【分析】本題考查全等圖形、代數(shù)式求值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的代數(shù)式和方程．
（1）根據(jù)題意和圖形中的數(shù)據(jù)，可以用的代數(shù)式表示出草坪的面積，然后將的值代入計(jì)算即可；
（2）根據(jù)草坪總面積恰好等于小路總面積，可以得到關(guān)于的一元二次方程，從而可以求得此時(shí)的路寬．
【詳解】解：（1）由圖可得，
草坪的總面積是，
當(dāng)時(shí)，
，
即時(shí)，草坪總面積為30平方米，
故答案為：30；
（2）由圖可得，
草坪的總面積是，
路的總面積是，
∵草坪總面積恰好等于小路總面積，
，
解得(舍去)，
即此時(shí)的路寬為1米，
故答案為：1．
18．/
【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，勾股定理，設(shè)，勾股定理求出，過點(diǎn)作，易得為等腰直角三角形，求出的長，等積法列出方程進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
過點(diǎn)作，

∵，
∴為等腰直角三角形，
∴，
設(shè)，則：，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
故答案為：．
19．(1)；
(2)，．
【分析】本題考查解一元二次方程，掌握解方程的步驟與方法，根據(jù)方程的特點(diǎn)，選擇合適的方法解方程是解決問題的關(guān)鍵．
（1）用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【詳解】（1）解：，
，
，
∴；
（2），
其中，
∴，
∴，
，．
20．(1)
(2)取，，(答案不唯一)
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程；
（1）由兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根得，解不等式即可求解；
（2）由m為正整數(shù)可求的值，取一個(gè)將的值代入原方程，并解方程即可求解；
正確解方程，掌握一元二次方程根的判別式：“方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；方程有無的實(shí)數(shù)根．” 是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：
；
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
，
即，
解得：，
的取值范圍是．
（2）解：，且m為正整數(shù)，
或，
可取，
原方程化為，
解得 ，．
21．(1)
(2)
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系；熟練掌握一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式可得，即可列出關(guān)于的不等式，求解即可；
（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的定義可得，，，，根據(jù)可得，再根據(jù)可得，求解即可得出的值．
【詳解】（1）解：∵關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，
∴，
整理得：，
解得：．
（2）解：∵、是一元二次方程的解，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：（不符合題意舍棄），
故的值為．
22．(1)；
(2)．
【分析】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、分式的減法，熟練掌握分式的運(yùn)算和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
（1）先通分，利用同分母分式減法計(jì)算即可；
（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得到，整體代入（1）中的化簡結(jié)果計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：
（2）∵a、b是方程的兩個(gè)根，
∴
∴
23．(1)
(2)
【分析】（1）將點(diǎn) 和 代入反比例函數(shù)的解析式，求得的值，確定點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)題意，寫出一次函數(shù)變化后的新的圖像的解析式，然后根據(jù)方程的根的判別式即可求得 值．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)和是反比例函數(shù)的圖像上的點(diǎn)，
∴，，
解得，，
∴，，
∵，在一次函數(shù)（）的圖像上，
∴，解得，
所以，一次函數(shù)的表達(dá)式是；
（2）將直線沿軸負(fù)方向平移個(gè)單位，可得，
聯(lián)立，
消去y可得，
整理可得，
因?yàn)橹挥幸粋€(gè)交點(diǎn)，
所以，
解得，
所以，將直線沿軸負(fù)方向平移個(gè)單位長度，平移后的直線與反比例函數(shù)圖像恰好只有一個(gè)交點(diǎn)．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)平移問題、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解此題的關(guān)鍵．
24．(1)紀(jì)念品的訂購價(jià)為每件150元，則A紀(jì)念品的訂購價(jià)為每件200元
(2)5
【分析】（1）設(shè)紀(jì)念品的訂購價(jià)為每件元，則A紀(jì)念品的訂購價(jià)為元．根據(jù)訂購的A紀(jì)念品比B紀(jì)念品多50件列出分式方程進(jìn)行求解即可；
（2）先求出A、B兩種紀(jì)念品每件的原成本價(jià)、原利潤、原訂購數(shù)量，根據(jù)商場按降價(jià)后的價(jià)格和數(shù)量售出這兩種紀(jì)念品獲得的總利潤比按原訂購單價(jià)和訂購數(shù)量售出所獲得的總利潤少元列出方程，解方程即可得到答案．
【詳解】（1）解：設(shè)紀(jì)念品的訂購價(jià)為每件元，則A紀(jì)念品的訂購價(jià)為元．
訂購紀(jì)念品的資金為元，
訂購紀(jì)念品的資金為元，
由題意列方程得，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解且符合題意．
則，
答：A紀(jì)念品的訂購價(jià)為每件元，則B紀(jì)念品的訂購價(jià)為每件200元．
（2）A紀(jì)念品的成本價(jià)為每件元，
每件利潤為（元），訂購數(shù)量為（件），
紀(jì)念品成本價(jià)為每件元，
每件利潤為（元），訂購數(shù)量為(件)．
整理得，
解得（舍）
∴．
【點(diǎn)撥】此題考查了分式方程和一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意，正確列出方程并準(zhǔn)確解方程是解題的關(guān)鍵．

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專題1.13 第1章 一元二次方程單元測試（能力過關(guān)卷）-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步培優(yōu)題典【蘇科版】

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專題1.14 第1章 一元二次方程單元測試（培優(yōu)提升卷）-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步培優(yōu)題典【蘇科版】

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初中數(shù)學(xué)蘇科版（2024）九年級(jí)上冊(cè)電子課本 舊教材

1.1 一元二次方程

版本： 蘇科版（2024）

年級(jí)： 九年級(jí)上冊(cè)

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