一、隨機(jī)事件的概率對隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.
二、古典概型1.思考請根據(jù)試驗(yàn)一、試驗(yàn)二的要求完成下列問題.(1)試驗(yàn)一:拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,分別記錄“正面朝上”和“反面朝上”的次數(shù),要求每個(gè)數(shù)學(xué)小組至少完成60次.(2)試驗(yàn)二:拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,分別記錄朝上一面出現(xiàn)“1點(diǎn)”、“2點(diǎn)”、“3點(diǎn)”、“4點(diǎn)”、“5點(diǎn)”和“6點(diǎn)”的次數(shù),要求每個(gè)數(shù)學(xué)小組至少完成60次.問題①:根據(jù)兩個(gè)模擬試驗(yàn)的結(jié)果,完成下表.
問題②:上述試驗(yàn)中出現(xiàn)的結(jié)果有什么特點(diǎn)?
答案:問題①:{正面向上,反面向上}　互斥　{1,2,3,4,5,6}　互斥問題②:試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個(gè);每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等.
2.填空(1)有限性:樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè);(2)等可能性:每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.我們將具有上述兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn),其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型,簡稱古典概型.名師點(diǎn)撥 (1)由古典概型的定義可得古典概型滿足基本事件的有限性和等可能性這兩個(gè)重要特征,所以求事件的概率就可以不用通過大量的重復(fù)試驗(yàn),而只要對一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可.(2)在古典概型中,每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都相等,稱這些基本事件為等可能基本事件.
3.做一做(1)下列試驗(yàn)中,是古典概型的個(gè)數(shù)為(　　)①種下一?；ㄉ?觀察它是否發(fā)芽;②向上拋一枚質(zhì)地不均的硬幣,觀察正面向上的概率;③正方形ABCD內(nèi)任意一點(diǎn)P,點(diǎn)P恰與點(diǎn)C重合;④從1,2,3,4四個(gè)數(shù)中,任取兩個(gè)數(shù),求所取兩數(shù)之一是2的概率;⑤在線段[0,5]上任取一點(diǎn),求此點(diǎn)小于2的概率.A.0B.1C.2D.3答案:B解析:只有④是古典概型.
(2)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.①古典概型中,試驗(yàn)中出現(xiàn)的樣本點(diǎn)可以是無限多. (　　)②擲兩顆骰子,計(jì)算正面向上的數(shù)字之和,則每種和值出現(xiàn)機(jī)會均等. (　　)答案:①×?、凇?br/>三、古典概型的概率公式1.思考某汽車站每天均有3輛開往省城的分上、中、下等級的客車.某天王先生準(zhǔn)備在該汽車站乘車去省城辦事,但他不知道客車的車況,也不知道發(fā)車順序.為了盡可能乘上上等車,他采取如下策略:先不上第一輛,如果第二輛比第一輛好則上第二輛,否則上第三輛,那么你能得出王先生能乘上上等車的概率嗎?提示共有6種發(fā)車順序:①上、中、下;②上、下、中;③中、上、下;④中、下、上;⑤下、中、上;⑥下、上、中(其中畫線的表示王先生所乘的車),所以他乘上上等車的概率為
2.填空一般地,設(shè)試驗(yàn)E是古典概型,樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn),事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn),則定義事件A的概率其中,n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).3.做一做從甲、乙、丙三人中,任選兩名代表,甲被選中的概率為(　　)答案:D解析:甲、乙、丙三人中任選兩名代表有如下三種情況:(甲、乙),(甲、丙),(乙、丙),其中甲被選中包含兩種,因此所求概率為 .
歸納總結(jié) 求解古典概型問題的一般思路(1)明確試驗(yàn)的條件及要觀察的結(jié)果,用適當(dāng)?shù)姆?字母、數(shù)字、數(shù)組等)表示試驗(yàn)的可能結(jié)果(借助圖表可以幫助我們不重不漏地列出所有的可能結(jié)果);(2)根據(jù)實(shí)際問題情境判斷樣本點(diǎn)的等可能性;(3)計(jì)算樣本點(diǎn)總個(gè)數(shù)及事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù),求出事件A的概率.
基本事件的計(jì)數(shù)問題例1將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次,觀察兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)情況,則:(1)一共有幾個(gè)基本事件?(2)“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于8”包含幾個(gè)基本事件?分析先列出所有的基本事件,再確定個(gè)數(shù).
解:解法一:(1)用(x,y)表示結(jié)果,其中x表示第1次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),y表示第2次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),則試驗(yàn)的所有結(jié)果為:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).共36個(gè)基本事件.(2)“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于8”包含以下10個(gè)基本事件:(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).
解法二:如下圖所示,坐標(biāo)平面內(nèi)的數(shù)表示相應(yīng)兩次拋擲后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的和,基本事件與所描點(diǎn)一一對應(yīng).(1)由圖知,基本事件的總數(shù)為36.(2)“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于8”包含10個(gè)基本事件(已用虛線圈出).
解法三:一枚骰子先后拋擲兩次的所有可能結(jié)果用樹形圖表示.如下圖所示.(1)由圖知,共36個(gè)基本事件.(2)“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于8”包含10個(gè)基本事件(已用“√”標(biāo)出).
反思感悟 1.在列出基本事件時(shí),應(yīng)先確定基本事件是否與順序有關(guān).寫基本事件時(shí),一定要按一定順序?qū)?這樣不容易漏寫.2.求基本事件總數(shù)的常用方法(1)列舉法:適合于較簡單的問題.(2)列表法:適合求較復(fù)雜問題中的基本事件數(shù).(3)樹形圖法:適合較復(fù)雜問題中基本事件的探求.
變式訓(xùn)練1袋中有2個(gè)標(biāo)號分別為1,2的白球和2個(gè)標(biāo)號分別為3,4的黑球,這4個(gè)球除顏色、標(biāo)號外完全相同,4個(gè)人按順序依次從中摸出1個(gè)球,求基本事件的個(gè)數(shù).解:4個(gè)人按順序依次從袋中摸出1個(gè)球的所有可能結(jié)果用樹形圖表示如圖:
古典概型的多種求解策略例2一個(gè)盒子中放有5個(gè)完全相同的小球,其上分別標(biāo)有號碼1,2,3,4,5.從中任取一個(gè),記下號碼后放回.再取出1個(gè),記下號碼后放回,按順序記錄為(x,y).(1)求所得兩球標(biāo)號的和為6的概率;(2)求所得兩球標(biāo)號的和是3的倍數(shù)的概率.
解:列出所有的基本事件,共25個(gè),如圖所示.(1)由圖可直觀地看出“所得兩球標(biāo)號的和為6”包含5個(gè)基本事件:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),故所求概率為(2)“兩球標(biāo)號的和為3的倍數(shù)”包含(2,1),(1,2),(1,5),(2,4),(3,3),(5,1),(4,2),(4,5),(5,4),共9個(gè)基本事件,故所求概率為 .
反思感悟 1.求解古典概型“四步法”
2.列表法求解基本事件個(gè)數(shù)的思路列表法就是利用表格的形式列出所有的基本事件,通常用來解決試驗(yàn)中包含兩個(gè)或兩個(gè)以上的元素,且試驗(yàn)結(jié)果比較多的問題.表格的行與列分別代表不同的元素,根據(jù)試驗(yàn)的要求直接在表格中標(biāo)出相應(yīng)的結(jié)果,這種方法直觀、簡潔、不易出錯.3.用坐標(biāo)系來表示基本事件多用于二維或三維問題,并且往往表達(dá)含有順序問題的基本事件,但要求元素不宜過多.4.樹形圖可以清晰準(zhǔn)確地列出所有的基本事件,畫樹形圖求概率的基本步驟:(1)明確一次試驗(yàn)的幾個(gè)步驟及順序;(2)畫樹形圖列舉一次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果;(3)明確基本事件,數(shù)出n(A),n(Ω);
變式訓(xùn)練2甲、乙、丙三個(gè)盒中分別裝有大小、形狀相同的卡片若干,甲盒中裝有2張卡片,分別寫有字母A和B;乙盒中裝有3張卡片,分別寫有字母C、D和E;丙盒中裝有2張卡片,分別寫有字母H和I.現(xiàn)要從3個(gè)盒中各隨機(jī)取出一張卡片.求:(1)取出的3張卡片中恰好有1張,2張,3張寫有元音字母的概率分別是多少?(2)取出的3張卡片上全是輔音字母的概率是多少?
解:根據(jù)題意,可畫出如下樹形圖:由樹形圖可以得到,所有可能出現(xiàn)的基本事件有12個(gè),它們出現(xiàn)的可能性相等.
古典概型與其他統(tǒng)計(jì)知識的交匯問題例3某校從高一年級某次數(shù)學(xué)競賽的成績中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的成績,分組為[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],統(tǒng)計(jì)后得到頻率分布直方圖如圖所示.
(1)試估計(jì)這組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)(結(jié)果精確到0.1).
(2)年級決定在成績[70,100]中用分層隨機(jī)抽樣抽取6人組成一個(gè)調(diào)研小組,對高一年級學(xué)生課外學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情況做一個(gè)調(diào)查,則在[70,80),[80,90),[90,100]這三組分別抽取了多少人?(3)現(xiàn)在要從(2)中抽取的6人中選出正副2個(gè)小組長,求成績在[80,90)中至少有1人當(dāng)選為正副小組長的概率.
分析(1)由頻率分布直方圖能求出眾數(shù)、中位數(shù).(2)先求出成績?yōu)閇70,80),[80,90),[90,100)這三組的頻率,由此能求出[70,80),[80,90),[90,100]這三組抽取的人數(shù).(3)由(2)知成績在[70,80)有3人,分別記為a,b,c;成績在[80,90)有2人,分別記為d,e;成績在[90,100]有1人,記為f.由此利用列舉法能求出成績在[80,90)中至少有1人當(dāng)選為正副小組長的概率.
解:(1)由頻率分布直方圖得,眾數(shù)為 =65.成績在[50,70)內(nèi)的頻率為(0.005+0.035)×10=0.4,成績在[70,80)內(nèi)的頻率為0.03×10=0.3,∴中位數(shù)為70+ ×10≈73.3.(2)成績?yōu)閇70,80),[80,90),[90,100]這三組的頻率分別為0.3,0.2,0.1,∴[70,80),[80,90),[90,100]這三組抽取的人數(shù)分別為3,2,1.
(3)由(2)知成績在[70,80)有3人,分別記為a,b,c;成績在[80,90)有2人,分別記為d,e;成績在[90,100]有1人,記為f.∴從抽取的6人中選出正副2個(gè)小組長包含的基本事件有30個(gè),分別為ab,ba,ac,ca,ad,da,ae,ea,af,fa,bc,cb,bd,db,be,eb,bf,fb,cd,dc,ce,ec,cf,fc,de,ed,df,fd,ef,fe.記“成績在[80,90)中至少有1人當(dāng)選為正副小組長”為事件Q,則事件Q包含的基本事件有18種,∴成績在[80,90)中至少有1人當(dāng)選為正副小組長的概率反思感悟 概率問題常常與統(tǒng)計(jì)問題綜合考查,在此類問題中,概率與頻率的區(qū)別并不是十分明顯,通常直接用題目中的頻率代替概率進(jìn)行計(jì)算.
延伸探究從某校高二年級800名男生中隨機(jī)抽取50名測量其身高(單位:cm,被測學(xué)生的身高全部在 155 cm到195 cm之間),將測量結(jié)果按如下方式分成8組:第一組[155,160),第二組[160,165),…,第八組[190,195],繪制成的頻率分布直方圖如圖所示,若從身高位于第六組和第八組的男生中隨機(jī)抽取2名,記他們的身高分別為x,y,則|x-y|≤5的概率為(　　)
答案:A解析:由頻率分布直方圖,可知身高在[180,185)的人數(shù)為0.016×5×50=4,分別記為a,b,c,d;身高在[190,195)的人數(shù)為0.008×5×50=2,分別記為A,B,若x,y∈[180,185],則有ab,ac,ad,bc,bd,cd,共6種情況;若x,y∈[190,195],則有AB,共1種情況;若x∈[180,185),y∈[190,195]或x∈[190,195],y∈[180,185),則有aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB,共8種情況.所以基本事件的總數(shù)為6+1+8=15,而事件“|x-y|≤5”所包含的基本事件數(shù)為6+1=7,
1.標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的卡片各一張,從這5張卡片中隨機(jī)抽取1張,不放回地再隨機(jī)抽取1張,則抽取的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(　　)
解析:如圖:基本事件的總數(shù)為20,其中第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)包括的基本事件個(gè)數(shù)是10個(gè),故所求概率
2.《史記》中講述了田忌與齊王賽馬的故事.“田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬;田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬;田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.”雙方從各自的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場比賽,則田忌的馬獲勝的概率為(　　)答案:A解析:設(shè)齊王的上,中,下三個(gè)等次的馬分別為a,b,c,田忌的上,中,下三個(gè)等次的馬分別記為A,B,C,從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場比賽的所有的可能為Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,根據(jù)題意,其中Ab,Ac,Bc是田忌獲勝,則田忌獲勝的概率為 .故選A.
3.將一顆骰子擲兩次,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),并記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為m,第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為n,向量p=(m,n),q=(2,6),則向量p與q共線的概率為　　　　.?解析:∵試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是一顆骰子擲兩次,共有6×6=36種結(jié)果,滿足條件的事件是使向量p=(m,n)與q=(2,6)共線,即6m-2n=0,∴n=3m,滿足這種條件的有(1,3),(2,6),共有2種結(jié)果,
4.現(xiàn)有5根竹竿,它們的長度(單位:m)分別為2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若從中一次隨機(jī)抽取2根竹竿,則它們的長度恰好相差0.3 m的概率為　　　　　.?解析:從5根竹竿中一次隨機(jī)抽取2根的事件總數(shù)為10,它們的長度恰好相差0.3 m的事件數(shù)為2,分別是:2.5和2.8,2.6和2.9,所求概率為
5.某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況,隨機(jī)訪問50名職工.根據(jù)這50名職工對該部門的評分,繪制頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].(1)求頻率分布直方圖中a的值;(2)估計(jì)該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的頻率;(3)從評分在[40,60)的受訪職工中,隨機(jī)抽取2人,求此2人的評分都在[40,50)的概率.

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10.1 隨機(jī)事件與概率

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