7.2　復數(shù)的四則運算
7.2.2　復數(shù)的乘、除運算
設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝______________________.
(ac－bd)＋(ad＋bc)i　
對任意復數(shù)z1，z2，z3∈C，有
復數(shù)代數(shù)形式的除法法則
[知識解讀]　1．對復數(shù)乘法的三點說明(1)類比多項式運算：復數(shù)的乘法運算與多項式乘法運算很類似，可仿多項式乘法進行，但結(jié)果要將實部、虛部分開(i2換成－1).(2)運算律：多項式乘法的運算律在復數(shù)乘法中仍然成立，乘法公式也適用.(3)常用結(jié)論①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；③(1±i)2＝±2i.
2．對復數(shù)除法的兩點說明(1)實數(shù)化：分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù)c－di，化簡后即得結(jié)果，這個過程實際上就是把分母實數(shù)化，這與根式除法的分母“有理化”很類似.(2)代數(shù)式：注意最后結(jié)果要將實部、虛部分開.特別提醒：復數(shù)的除法類似于根式的分母有理化.
(3)若復數(shù)(1－i)(a＋i)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)A．(－∞，1)　　B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)　　D．(－1，＋∞)[分析]　利用乘法公式進行運算.[解析]　(1)由題意可得z2－2z＝2i－2(1＋i)＝－2．故|z2－2z|＝|－2|＝2．故選D．
[歸納提升]　兩個復數(shù)代數(shù)形式乘法的一般方法(1)首先按多項式的乘法展開；(2)再將i2換成－1；(3)然后再進行復數(shù)的加、減運算，化簡為復數(shù)的代數(shù)形式.
【對點練習】?　(1)計算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝(　　)A．2－13i　　B．13＋2iC．13－13i　　D．－13－2i(2)(2017·全國卷Ⅰ)下列各式的運算結(jié)果為純虛數(shù)的是(　　)A．i(1＋i)2　　B．i2(1－i)C．(1＋i)2　　D．i(1＋i)
[解析]　(1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.故選D．(2)A項，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是純虛數(shù)；B項，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是純虛數(shù)；C項，(1＋i)2＝2i,2i是純虛數(shù)；D項，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是純虛數(shù).故選C．
[分析]　復數(shù)的除法運算就是分子分母同乘分母的共軛復數(shù)，轉(zhuǎn)化為乘法進行.
已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一個根.(1)求實數(shù)a，b的值；(2)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，猜測方程的另一個根，并給予證明.[分析]　解決實系數(shù)一元二次方程的基本方法是復數(shù)相等的充要條件.
(2)由(1)知方程為x2＋2x＋2＝0．設(shè)另一個根為x2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得－1＋i＋x2＝－2，∴x2＝－1－i.把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，則左邊＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右邊，∴x2＝－1－i是方程的另一個根.
[歸納提升]　(1)實系數(shù)一元二次方程的虛根是成對出現(xiàn)的，即若復數(shù)a＋bi(a，b∈R，b≠0)是實系數(shù)一元二次方程的根，則其共軛復數(shù)a－bi是該方程的另一根.(2)和在實數(shù)范圍內(nèi)對比，在復數(shù)范圍內(nèi)解決實系數(shù)一元二次方程問題，韋達定理和求根公式仍然適用，但是判別式判斷方程根的功能就發(fā)生改變了.
【對點練習】?　(1)方程x2＋6x＋13＝0的一個根是(　　)A．－3＋2i　　B．3＋2iC．－2＋3i　　D．2＋3i(2)已知a，b∈R，且2＋ai，b＋i(i是虛數(shù)單位)是實系數(shù)一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩個根，求p，q的值.
　已知復數(shù)z滿足條件z2－|z|－6＝0，求復數(shù)z.[錯解]　由z2－|z|－6＝0?(|z|－3)(|z|＋2)＝0．因為|z|＋2≠0，所以|z|＝3．則在復平面內(nèi)以原點為圓心，3為半徑的圓上的所有點對應的復數(shù)均符合要求.[錯因分析]　本題將復數(shù)z的模等同于實數(shù)的絕對值，誤認為|z|2＝z2．
[誤區(qū)警示]　設(shè)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，則z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，|z|2＝a2＋b2，即z2≠|(zhì)z|2，二者不可混淆.
【對點練習】?　(2019·湖南省長沙市檢測)已知復數(shù)z滿足z＝－|z|，則z的實部(　　)A．不小于0　　B．不大于0C．大于0　　D．小于0

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7.2 復數(shù)的四則運算

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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