A.1+iB.2-I C.3-iD.-i
2.[2023·杭州高一期中] 設(shè)復(fù)數(shù)z=-1-i(i為虛數(shù)單位),則2-z的模為( )
A.B.5 C.D.10
3.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(-1,1),則( )
A.z-1是實(shí)數(shù)B.z-1是純虛數(shù) C.z-i是實(shí)數(shù)D.z+i是純虛數(shù)
4.A,B分別是復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若|z1+z2|=|z1-z2|,則△AOB一定是 ( )
A.等腰三角形B.直角三角形 C.等邊三角形D.等腰直角三角形
5.[2023·鶴崗一中高一月考] 已知復(fù)數(shù)z滿足|z+i|=|z-i|,則|z+1+2i|的最小值為( )
A.1 B.2 C.D.
6.(多選題)設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為,若z-=-14i,||=5,則z可能為( )
A.1-7iB.1+7i C.-1-7iD.-1+7i
二、鞏固提高
7.(多選題)已知復(fù)數(shù)z1=2-2i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為P1,復(fù)數(shù)z2滿足|z2-i|=1,則下列結(jié)論正確的是( )
A.點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(2,-2) B.=2+2i C.|z1-z2|的最大值為+1 D.|z1-z2|的最小值為-1
若復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=-2+3i(i為虛數(shù)單位),則z1+z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第 象限.
設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2滿足|z1|=|z2|=2,且z1+z2=-i,其中i為虛數(shù)單位,則|z1-z2|= .
10.(1)計算:+(2-i)-.
(2)已知z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2.
11.已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是復(fù)平面上的四個點(diǎn),且向量,對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1,z2.
(1)若z1+z2=1+i,求z1,z2;
(2)若|z1+z2|=2,z1-z2為實(shí)數(shù),求a,b的值.
三、尖子突破
12.[2023·鹽城阜寧中學(xué)高一月考] 在復(fù)平面內(nèi),已知復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=|z+i|(i為虛數(shù)單位),記z0=2+i對應(yīng)的點(diǎn)為Z0,z對應(yīng)的點(diǎn)為Z,則點(diǎn)Z0與點(diǎn)Z之間距離的最小值為 .
13.(15分)若z=x+yi(x,y∈R),i為虛數(shù)單位,z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為Z,且|z+2-2i|=1.
(1)滿足上述條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形?
(2)求|z-2-2i|的最小值.
參考答案
1.C [解析] 由題意,z1+z2=(2+i)+(1-2i)=3-i.故選C.
2.C [解析] ∵z=-1-i,∴2-z=3+i,故|2-z|==.故選C.
3.C [解析] 由題意得z=-1+i,則z-1=-2+i,故A,B錯誤;z-i=-1,為實(shí)數(shù),故C正確;z+i=-1+2i,不是純虛數(shù),故D錯誤.故選C.
4.B [解析] 由題可知,以O(shè)A,OB為鄰邊所作的平行四邊形的對角線相等,則此平行四邊形為矩形,故△AOB一定是直角三角形.故選B.
5.B [解析] 設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z,∵復(fù)數(shù)z滿足|z+i|=|z-i|,∴由復(fù)數(shù)的幾何意義可知,點(diǎn)Z到點(diǎn)(0,-1)和點(diǎn)(0,1)的距離相等,∴點(diǎn)Z的軌跡為x軸.∵|z+1+2i|表示點(diǎn)Z到點(diǎn)(-1,-2)的距離,∴|z+1+2i|的最小值為x軸上的動點(diǎn)Z到定點(diǎn)(-1,-2)距離的最小值,∴|z+1+2i|的最小值為2.故選B.
6.AC [解析] 設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則=a-bi,由題意可得解得或
所以z=1-7i或-1-7i.故選AC.
7.ABC [解析] 復(fù)數(shù)z1=2-2i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為P1,則P1(2,-2),=2+2i,故A,B正確;由復(fù)數(shù)z2滿足|z2-i|=1,可得z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的集合是以C(0,1)為圓心,1為半徑的圓,連接CP1,則|z1-z2|的最大值為|CP1|+1=+1=+1,最小值為|CP1|-1=-1,故C正確,D不正確.故選ABC.
8.一 [解析] ∵z1=3+4i,z2=-2+3i,∴z1+z2=(3+4i)+(-2+3i)=1+7i,∴z1+z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,7),該點(diǎn)位于第一象限.
9. 2 QUOTE [解析] 方法一:設(shè)z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.∵|z1|=|z2|=2,∴a2+b2=4,c2+d2=4.∵z1+z2=(a+c)+(b+d)i=-i,∴a+c=,b+d=-,∴a2+c2+2ac+b2+d2+2bd=4,∴ac+bd=-2,∴|z1-z2|=|(a-c)+(b-d)i|===
=2.
方法二:設(shè)z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.∵z1+z2=(a+c)+(b+d)i=-i,∴|z1+z2|=2,即|z1|=|z2|=|z1+z2|=2,設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),z1,z2,z1+z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,連接OA,OB,OC,AC,BC,AB.∵|z1|=|z2|=|z1+z2|=2,∴△OAC是邊長為2的正三角形,∴四邊形OACB是一個內(nèi)角為60°,邊長為2的菱形,且|z1-z2|是菱形的較長的對角線AB的長,∴|z1-z2|=|AB|==2.
10.解:(1)+(2-i)-=+i=1+i.
(2)∵z1=2+3i,z2=-1+2i,∴z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i,z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.
11.解:(1)∵=(a,1)-(1,2)=(a-1,-1),=(-1,b)-(2,3)=(-3,b-3),∴z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i,∴z1+z2=(a-4)+(b-4)i,又z1+z2=1+i,∴解得∴z1=4-i,z2=-3+2i.
(2)由(1)得z1+z2=(a-4)+(b-4)i,z1-z2=(a+2)+(2-b)i,∵|z1+z2|=2,z1-z2為實(shí)數(shù),
∴解得
12. [解析] 設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),則z-1=a-1+bi,z+i=a+(b+1)i,∵|z-1|=|z+i|,∴=,整理得a+b=0,∴z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡方程為x+y=0,又z0=2+i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z0(2,1),∴點(diǎn)Z0與點(diǎn)Z之間距離的最小值為=.
13.解:(1)由|z+2-2i|=1得|z-(-2+2i)|=1,設(shè)復(fù)數(shù)z0=-2+2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z0,則Z0(-2,2),因此點(diǎn)Z在以Z0(-2,2)為圓心,1為半徑的圓上.
(2)設(shè)復(fù)數(shù)2+2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為A,則A(2,2).|z-2-2i|表示點(diǎn)Z到點(diǎn)A的距離,連接AZ0,則|AZ0|=4,故|z-2-2i|的最小值為|AZ0|-1=3.
2024—2025學(xué)年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)分層作業(yè)（21）
7.2.1 復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算及其幾何意義

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7.2 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

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