本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)》人教A版（2019）第七章《復(fù)數(shù)》的第一節(jié)《復(fù)數(shù)的概念》。以下是本章的課時(shí)安排：
上一節(jié)課學(xué)生已經(jīng)掌握了復(fù)數(shù)的幾何意義，本節(jié)借助復(fù)數(shù)的幾何意義，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)之間的加、減運(yùn)算及其幾何意義。
1.通過(guò)對(duì)定義復(fù)數(shù)加法法則的背景的分析，體會(huì)規(guī)定復(fù)數(shù)加法法則的合理性.
2.明確復(fù)數(shù)加法法則和減法法則的具體內(nèi)容，經(jīng)歷應(yīng)用法則解決復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算問(wèn)題的過(guò)程，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
3.經(jīng)歷復(fù)數(shù)代數(shù)形式的減法定義和復(fù)數(shù)加、減法幾何意義的形成過(guò)程，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)。
1.重點(diǎn)：熟練掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算法則；
2.難點(diǎn)：理解復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，能夠利用“數(shù)形結(jié)合”的思想解題
（一）新知導(dǎo)入
1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問(wèn)題
乘飛機(jī)從上海到香港約2.5小時(shí)，從香港到臺(tái)北約4小時(shí)，因此從上海經(jīng)香港轉(zhuǎn)航到臺(tái)北約6.5小時(shí).在兩岸同胞的共同努力下，現(xiàn)在實(shí)現(xiàn)兩岸直航，上海到臺(tái)北只需約1.5小時(shí)，比直航前節(jié)省約5小時(shí)，有關(guān)航行節(jié)時(shí)的多少，體現(xiàn)了實(shí)數(shù)集內(nèi)的代數(shù)運(yùn)算.
想一想 復(fù)數(shù)集內(nèi)可進(jìn)行復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算嗎？
2.探索交流，解決問(wèn)題
【問(wèn)題1】設(shè)向量eq \(OZ1,\s\up6(→))，eq \(OZ2,\s\up6(→))分別與復(fù)數(shù)a＋bi，c＋di對(duì)應(yīng)，那么eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))的坐標(biāo)如何呢？
[提示]eq \(OZ1,\s\up6(→))＝(a，b)，eq \(OZ2,\s\up6(→))＝(c，d)，eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))＝(a＋c，b＋d)．
【問(wèn)題2】向量eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是什么？
[提示]向量eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是a＋c＋(b＋d)i，也就是z1＋z2.
【問(wèn)題3】按照平面向量減法的幾何意義，你能得出復(fù)數(shù)減法的幾何意義嗎？
[提示] 復(fù)數(shù)z1－z2的幾何意義就是向量eq \(OZ1,\s\up6(→))－eq \(OZ2,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．
（二）復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算
1. 加、減法的運(yùn)算法則
設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，
則z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i．
2.加法運(yùn)算律
對(duì)任意z1，z2，z3∈C，有
①交換律：z1＋z2＝z2＋z1．
②結(jié)合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
【做一做】1.(6－2i)－(3i＋1)＝( )
A．3－3i B．5－5i C．7＋i D．5＋5i
答案：B
若復(fù)數(shù)z滿足z＋(3－4i)＝1，則z的虛部是( )
A．－2 B．4 C．3 D．－4
答案：B
3.復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義
如圖所示，設(shè)復(fù)數(shù)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)對(duì)應(yīng)的向量分別為eq \(OZ1,\s\up6(→))，eq \(OZ2,\s\up6(→))，四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，則與z1＋z2對(duì)應(yīng)的向量是eq \(OZ,\s\up6(→))，與z1－z2對(duì)應(yīng)的向量是eq \(Z2Z1,\s\up6(→)).
【辯一辯】判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)兩個(gè)虛數(shù)的和或差可能是實(shí)數(shù)．( )
(2)若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1－z2＞0，則z1＞z2.( )
(3)在進(jìn)行復(fù)數(shù)的加法時(shí)，實(shí)部與實(shí)部相加得實(shí)部，虛部與虛部相加得虛部．( )
(4)復(fù)數(shù)的加法不可以推廣到多個(gè)復(fù)數(shù)相加的情形．( )
(5)復(fù)數(shù)的減法不滿足結(jié)合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)×
（三）典型例題
1.復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算
例1.計(jì)算：
(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i (a，b∈R)．
解：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.
【類題通法】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減法運(yùn)算技巧
兩個(gè)復(fù)數(shù)相加(減)，就是把兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相加(減)，虛部相加(減)．復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，兩個(gè)復(fù)數(shù)相減，也可以看成是加上這個(gè)復(fù)數(shù)的相反數(shù)．當(dāng)多個(gè)復(fù)數(shù)相加(減)時(shí)，可將這些復(fù)數(shù)的所有實(shí)部相加(減)，所有虛部相加(減)．
復(fù)數(shù)的運(yùn)算可以類比多項(xiàng)式的運(yùn)算：若有括號(hào)，括號(hào)優(yōu)先；若無(wú)括號(hào)，可以從左到右依次進(jìn)行計(jì)算．
【鞏固練習(xí)1】復(fù)數(shù)(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：復(fù)數(shù)(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(9，1)，在第一象限．
答案：A
2.復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算的幾何意義
例2. 已知平行四邊形OABC的三個(gè)頂點(diǎn)O，A，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為0，3＋2i，－2＋4i.
(1)求eq \(AO,\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)；
(2)求eq \(CA,\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)．
解：(1)因?yàn)閑q \(AO,\s\up6(→))＝－eq \(OA,\s\up6(→))，
所以eq \(AO,\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)為－(3＋2i)，即－3－2i.
(2)因?yàn)閑q \(CA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))，
所以eq \(CA,\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
【變式探究1】若本例條件不變，求點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．
解：因?yàn)閑q \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，所以eq \(OB,\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.所以點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋6i.
【變式探究2】若本例條件不變，求對(duì)角線AC，BO的交點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．
解：由題意知，點(diǎn)M為OB的中點(diǎn)，則eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))，由互動(dòng)探究1中知點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，6)，得點(diǎn)M的坐標(biāo)為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))，所以點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為eq \f(1,2)＋3i.
【類題通法】復(fù)數(shù)加、減法幾何意義的應(yīng)用技巧
(1)復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)或向量運(yùn)算．
(2)復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算時(shí)，同樣滿足平行四邊形法則和三角形法則．
【鞏固練習(xí)2】在復(fù)平面內(nèi)，A，B，C，三點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)1，2＋i，－1＋2i.
(1)求eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；
(2)判斷△ABC的形狀．
解：(1)A，B，C三點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)1，2＋i，－1＋2i.
所以eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1，2＋i，－1＋2i(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，
所以eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，0)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2，1)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(－1，2)．
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，1)，
eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(－2，2)，
eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)) ＝(－3，1)．
即eq \(AB,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋i，eq \(AC,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－2＋2i，eq \(BC,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－3＋i.
(2)因?yàn)閨eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(1＋1)＝eq \r(2)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(（－2）2＋22)＝eq \r(8)，
|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(（－3）2＋1)＝eq \r(10)，
因?yàn)閨eq \(AB,\s\up6(→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(→))|2＝10＝|eq \(BC,\s\up6(→))|2.
且|eq \(AB,\s\up6(→))|≠|(zhì)eq \(AC,\s\up6(→))|，
所以△ABC是以角A為直角的直角三角形．
3.復(fù)數(shù)加、減法運(yùn)算與模的綜合應(yīng)用
例3.設(shè)z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝eq \r(2)，求|z1－z2|.
解：法一：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)
由題意知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，
∴2ac＋2bd＝0.
∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－2ac－2bd＝2，
∴|z1－z2|＝eq \r(2).
法二：設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2，z1＋z2分別對(duì)應(yīng)向量eq \(OZ1,\s\up6(→))，eq \(OZ2,\s\up6(→))，eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))
∵|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝eq \r(2)，
∴平行四邊形OZ1ZZ2為正方形．
∴|z1－z2|＝|eq \(Z2Z1,\s\up6(→))|＝|eq \(OZ,\s\up6(→))|＝eq \r(2).
【類題通法】1.利用復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算及模的幾何意義，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，可以直觀簡(jiǎn)便地解決復(fù)數(shù)模的問(wèn)題．2.在復(fù)平面內(nèi)，z1，z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A，B，z1＋z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形OACB滿足：①為平行四邊形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，則四邊形OACB為矩形；③若|z1|＝|z2|，則四邊形OACB為菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，則四邊形OACB為正方形.
【鞏固練習(xí)3】已知復(fù)數(shù)z1＝cs θ＋i，z2＝sin θ－i，則|z1－z2|的最大值為( )
A.eq \r(3) B.eq \r(5) C．6 D.eq \r(6)
解析：由題意，得|z1－z2|＝|(cs θ－sin θ)＋2i|＝eq \r(（cs θ－sin θ）2＋4)＝eq \r(5－2sin θcs θ)＝eq \r(5－sin 2θ)≤ eq \r(6)，故|z1－z2|的最大值為eq \r(6).
答案：D
（四）操作演練 素養(yǎng)提升
1．(6－3i)－(3i＋1)＋(2－2i)的結(jié)果為( )
A．5－3i B．3＋5i C．7－8i D．7－2i
2．已知復(fù)數(shù)z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)___________．
3.若|z－1|＝|z＋1|，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在( )
A．實(shí)軸上 B．虛軸上 C．第一象限 D．第二象限
4.復(fù)數(shù)z與它的模的和為5＋eq \r(3)i，求這個(gè)復(fù)數(shù)z.
答案：1.C 2.-2 3.B 4.eq \f(11,5)＋eq \r(3)i.
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。
（五）課堂小結(jié)，反思感悟
1.知識(shí)總結(jié)：
2.學(xué)生反思：
（1）通過(guò)這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？


（2）在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？


【設(shè)計(jì)意圖】
通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力。
完成教材：第77頁(yè) 練習(xí) 第1，2，3,4題
第80頁(yè) 習(xí)題7.2 第1,2,5題









第七章 復(fù)數(shù)
課時(shí)內(nèi)容
7.1復(fù)數(shù)的概念
7.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
7.3 復(fù)數(shù)的三角表示
所在位置
教材第68頁(yè)
教材第75頁(yè)
教材第83頁(yè)
新教材
內(nèi)容
分析
本節(jié)內(nèi)容是數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念，基于之前所學(xué)的數(shù)系的發(fā)展歷程，由一元二次方程的根的問(wèn)題導(dǎo)入，將數(shù)學(xué)擴(kuò)充到復(fù)數(shù)范圍，并研究復(fù)數(shù)的概念，為復(fù)數(shù)的運(yùn)算打好基礎(chǔ)。
上一節(jié)我們把實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)集，引入新數(shù)集后，就要研究其中的數(shù)之間的運(yùn)算，即復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算及其幾何意義。
前面我們研究了復(fù)數(shù)及其四則運(yùn)算，本節(jié)內(nèi)容是復(fù)數(shù)的三角表示，是復(fù)數(shù)與三角函數(shù)的結(jié)合，是對(duì)復(fù)數(shù)的拓展延伸，這樣更有利于我們對(duì)復(fù)數(shù)的研究。
核心素養(yǎng)培養(yǎng)
了解數(shù)系的擴(kuò)充過(guò)程，理解復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)相等的充要條件，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。
通過(guò)實(shí)例，明確復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).經(jīng)歷復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的幾何意義的形成過(guò)程，提高直觀想象的核心素養(yǎng)，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).
通過(guò)復(fù)數(shù)的幾何意義，了解復(fù)數(shù)的三角表示，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；通過(guò)了解復(fù)數(shù)的輻角及輻角的主值的含義，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象的核心素養(yǎng)。
教學(xué)主線
復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的運(yùn)算

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7.2 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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