第16講


講














切線長(zhǎng)定理及圓內(nèi)接正多邊形


























概述





【教學(xué)建議】


切線長(zhǎng)定理在中考數(shù)學(xué)中考察的頻次較高，與圓內(nèi)接多邊形相關(guān)的計(jì)算問題常在小題中單獨(dú)考察。教師在教學(xué)中要把主要精力放在切線長(zhǎng)定理上，幫助學(xué)生多總結(jié)，多反思。


學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)時(shí)可能會(huì)在以下兩個(gè)方面感到困難：


1. 切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用問題。


2. 與圓內(nèi)接多邊形相關(guān)的計(jì)算。


【知識(shí)導(dǎo)圖】














教學(xué)過程








一、導(dǎo)入





【教學(xué)建議】


切線長(zhǎng)定理在中考數(shù)學(xué)中考察的頻次較高，多以綜合題的形式出現(xiàn)，而且難度不低，教師在教學(xué)中要給予重視，加大訓(xùn)練的力度。與圓內(nèi)接多邊形相關(guān)的計(jì)算問題常在小題中單獨(dú)考察，知識(shí)點(diǎn)較單一，屬于容易題，教師在教學(xué)中不必在這個(gè)知識(shí)點(diǎn)上深挖。





二、知識(shí)講解








知識(shí)點(diǎn)1 切線長(zhǎng)定理








切線長(zhǎng)與切線長(zhǎng)定理








知識(shí)點(diǎn)2 圓內(nèi)接正多邊形





把圓分成n(n≥3)等份：


(1)依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形；


(2)經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形．





三、例題精析








例題1





【題干】1.下列說法正確的是（ ）


過任意一點(diǎn)總可以作圓的兩條切線


圓的切線長(zhǎng)就是圓的切線的長(zhǎng)度


過圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線長(zhǎng)相等


過圓外一點(diǎn)所畫的圓的切線長(zhǎng)一定大于圓的半徑





例題2





【題干】如圖，⊙I為的內(nèi)切圓，點(diǎn)分別為邊上的點(diǎn)，且為⊙I的切線，若的周長(zhǎng)為21，邊的長(zhǎng)為6，則的周長(zhǎng)為（ ）．





A．15 B．8 C．9 D．7．5





例題3





【題干】已知：以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，與斜邊AC交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線交BC邊于點(diǎn)E. 如圖，求證：EB=EC=ED；

















例題4





【題干】如圖,在正五邊形ABCDE中,對(duì)角線AD CE相交于F,求證


（1）三角形AEF是等腰三角形


（2）四邊形ABCE是等腰梯形


（3）四邊形ABCF 是菱形











四 、課堂運(yùn)用





【教學(xué)建議】


在講解過程中，教師可以以中考真題入手，先把例題講解清晰，再給學(xué)生做針對(duì)性的練習(xí)。





基礎(chǔ)





1.如圖，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，連接OP，AB，下列結(jié)論不一定正確的是（ ）


PA=PB B.OP垂直平分AB C.∠OPA=∠OPB D.PA =AB











2.如圖,PA,PB是⊙O的切線,切點(diǎn)為AB,BC是⊙O的直徑,連接AB,AC,OP





（1）∠APB＝2∠ABC


（2）AC∥OP





3.如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于圓O，半徑為4，則這個(gè)正六邊形的圓心O到BC的距離OM和弧BC的長(zhǎng)分別為（ ）





、 B．、 C．、 D．、








4.已知：如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接等腰三角形,頂角∠BAC=36°，弦BD、CE分別平分∠ABC、∠ACB.


求證：五邊形AEBCD是正五邊形。











鞏固





1.如圖，半圓O與等腰直角三角形兩腰CA、CB分別切于點(diǎn)D、E，直徑FG在AB上，若BG= EQ \R(,2)-1，則△ABC的周長(zhǎng)是 ．








2.如圖，由7個(gè)形狀，大小完全相同的正六邊形組成的網(wǎng)格，正六邊形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，已知每個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)為1，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則△ABC的面積是（ ）





A. 3 B.23 C.2 D.33





3.如圖，一圓內(nèi)切四邊形ABCD，且AB=16，CD=10，則四邊形的周長(zhǎng)為 ．











4.如圖，從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的長(zhǎng)是 .








拔高





1.如圖，PA和PB是⊙O的切線，點(diǎn)A和B是切點(diǎn)，AC是⊙O的直徑，已知∠P=40°，則∠ACB的大小是（ ）。





A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°








2.△ABC外切于⊙O，切點(diǎn)分別為點(diǎn)D、E、F，∠A=60°，BC=7，⊙O的半徑為．





（1）求BF+CE的值； （2）求△ABC的周長(zhǎng)．








3.如圖，AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO=6，CO=8．


（1）判斷△OBC的形狀，并證明你的結(jié)論；


（2）求BC的長(zhǎng)；


（3）求⊙O的半徑OF的長(zhǎng)．








4.如圖①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE分別是⊙O的內(nèi)接三角形、內(nèi)接四邊形、內(nèi)接五邊形，點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)B、C開始，以相同的速度在⊙O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)．





（1）求圖①中∠APN的度數(shù)（寫出解題過程）；


（2）寫出圖②中∠APN的度數(shù)和圖 ③中∠APN的度數(shù)


（ 3）試探索∠APN的度數(shù)與正多邊形邊數(shù)n的關(guān)系（直接寫答案）











課堂小結(jié)





1.切線長(zhǎng)定理


2.圓內(nèi)接正多邊形








拓展延伸








基礎(chǔ)





1. 既有外接圓，又有內(nèi)切圓的平行四邊形是（ ）


A．矩形 B.菱形 C.正方形 D.矩形或菱形








2. 如圖，已知PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，，，那么⊙O的半徑長(zhǎng)是 ．





3.一個(gè)正多邊形的每個(gè)外角都等于36°，那么它是（ ）


正六邊形B.正八邊形C.正十邊形D.正十二邊形





4.如圖（1），PT與⊙O1相切于點(diǎn)T，PAB與⊙O1相交于A、B兩點(diǎn)，可證明△PTA∽△PBT，從而有PT2=PA?PB．請(qǐng)應(yīng)用以上結(jié)論解決下列問題：如圖（2），PAB、PCD分別與⊙O2相交于A、B、C、D四點(diǎn)，已知PA=2，PB=7，PC=3，則CD= ．











鞏固





1.對(duì)于以下說法：


①各角相等的多邊形是正多邊形；


②各邊相等的三角形是正三角形；


③各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形；


④各頂點(diǎn)等分外接圓的多邊形是正多邊形．你認(rèn)為正確的命題有（ ）．


A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)


2.圓內(nèi)接正五邊形ABCDE中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)P，則∠APB的度數(shù)是（ ）


A．36° B．60° C．72° D．108°


3.如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，則∠PAB=（ ）





A．30° B．35° C．45° D．60°





4.如圖，過⊙O外一點(diǎn)P引⊙O的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別是A、B，OP交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D是優(yōu)弧上不與點(diǎn)A、點(diǎn)C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD、CD，若∠APB=80°，則∠ADC的度數(shù)是（ ）





A．15° B．20° C．25° D．30°





拔高





1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P與x軸相切，與y軸相較于A（0,2），B（0,8）．則圓心P的坐標(biāo)是（ ）


A．(5,3) B．(5,4) C．（3,5） D．（4,5）





2.如圖，已知：AB是⊙O的弦，過點(diǎn)B作BC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，取AD的中點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥BC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．


求證：


（1）FC=FG；


（2）AB2=BC?BG．











3.如圖，已知⊙O的直徑為AB，AC⊥AB于點(diǎn)A，BC與⊙O相交于點(diǎn)D，在AC上取一點(diǎn)E，使得ED=EA．


（1）求證：ED是⊙O的切線；


（2）當(dāng)OE=10時(shí)，求BC的長(zhǎng)．











4.如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，直線AO與⊙O交于點(diǎn)E和點(diǎn)D，OB與⊙O交于點(diǎn)F，連接DF、DC．已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6．


（1）求證：①直線AB是⊙O的切線；②∠FDC=∠EDC；


（2）求CD的長(zhǎng)．


適用學(xué)科
初中數(shù)學(xué)
適用年級(jí)
初中三年級(jí)
適用區(qū)域
北師版區(qū)域
課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）
120
知識(shí)點(diǎn)
1.切線長(zhǎng)定理


2.圓內(nèi)接正多邊形
教學(xué)目標(biāo)
1.掌握切線長(zhǎng)定理的內(nèi)容


2.掌握?qǐng)A內(nèi)接正多邊形的畫法及相關(guān)的性質(zhì)
教學(xué)重點(diǎn)
能熟練掌握切線長(zhǎng)定理
教學(xué)難點(diǎn)
能熟練掌握切線長(zhǎng)定理
切線長(zhǎng)與切線長(zhǎng)定理
經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上,這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)叫做點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)．如圖,PA是⊙O的切線,切點(diǎn)為A,則PA是點(diǎn)P到⊙O的切線長(zhǎng)．


切線長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)可引圓的兩條切線,他們的切線長(zhǎng)相等,這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角．
示意圖
切線長(zhǎng)定理的證明
如圖,連接OA和OB．


∵PA和PB是⊙O的兩條切線,


∴OA⊥AP,OB⊥BP．


又OA＝OB,OP＝OP,


∴Rt△AOP≌Rt△BOP．


∴PA＝PB,∠APO＝∠BPO．

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初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)下冊(cè)電子課本

8 圓內(nèi)接正多邊形

版本： 北師大版

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