1.掌握正多邊形和圓的關(guān)系；
2.理解正多邊形的中心、半徑、中心角、邊心距等概念；
3.能運(yùn)用正多邊形的知識(shí)解決圓的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題；
4.會(huì)運(yùn)用多邊形知和圓的有關(guān)知識(shí)畫(huà)多邊形.
學(xué)習(xí)策略
1.學(xué)生在探討正多邊形和圓的關(guān)系學(xué)習(xí)中，體會(huì)到要善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題，從而培養(yǎng)學(xué)生的概括能力和實(shí)踐能力.
2.通過(guò)學(xué)習(xí)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活的緊密相連；通過(guò)合作交流，探索實(shí)踐培養(yǎng)學(xué)生的主體意識(shí).
學(xué)習(xí)過(guò)程
一.復(fù)習(xí)回顧：
1.你能舉出正多邊形的例子嗎？

2.三條邊相等，三個(gè)角也相等（60°）. 四條邊都相等，四個(gè)角也相等（90°）.
正多邊形：
3.___________，_____________的多邊形叫做正多邊形.
4.正n邊形：如果一個(gè)正多邊形有n條邊，那么這個(gè)正多邊形叫做正n邊形.
二.新課學(xué)習(xí)：
1.圓內(nèi)接正多邊形的概念
定義：頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上的正多邊形叫做圓內(nèi)接正多邊形.這個(gè)圓叫做該正多邊形的外接圓.
（1）把一個(gè)圓等分（），依次連接各分點(diǎn)，我們就可以作出一個(gè)圓內(nèi)接正多邊形.
（2）如圖，五邊形是圓的內(nèi)接正五邊形，圓心叫做這個(gè)正五邊形的中心；是這個(gè)正五邊形的半徑；是這個(gè)正五邊形的中心角；，垂足為，是這個(gè)正五邊形的的邊心距.
2. 尺規(guī)作圖
（1）用尺規(guī)作一個(gè)已知圓的內(nèi)接正六邊形.
（2）用尺規(guī)作一個(gè)已知圓的內(nèi)接正四邊形.
（3）思考：作正多邊形有哪些方法？
3.求正多邊形的中心角、邊長(zhǎng)和邊心距
例 如圖，在圓內(nèi)接正六邊形中，半徑，，垂足為，求這個(gè)正六邊形的中心角、邊長(zhǎng)和邊心距.
正六邊形的中心角是多少度？
正六邊形的中心角的一半是多少度？
如何做出正六邊形的邊心距？
你能利用已知條件構(gòu)造直角三角形嗎？
你能利用解直角三角形的知識(shí)解決問(wèn)題嗎？
正多邊形的有關(guān)計(jì)算可轉(zhuǎn)化為解直角三角形，這個(gè)直角三角形的構(gòu)成是：斜邊為半徑，一直角邊為邊心距，另一直角邊為邊長(zhǎng)的一半，頂點(diǎn)在中心的銳角為中心角的一半.
三.嘗試應(yīng)用：
1. 對(duì)于以下說(shuō)法：①各角相等的多邊形是正多邊形；②各邊相等的多邊形是正多邊形；③各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形；④各頂點(diǎn)等分外接圓的多邊形是正多邊形，你認(rèn)為正確的有( )
A．1個(gè) B．2個(gè)
C．3個(gè) D．4個(gè)
2. 若正六邊形的邊長(zhǎng)為1，那么正六邊形的中心角是______度，半徑是______，
邊心距是______，它的每一個(gè)內(nèi)角是______．
3. 如圖，PA和PB分別與⊙O相切于A，B兩點(diǎn)，作直徑AC，
并延長(zhǎng)交PB于點(diǎn)D．連結(jié)OP，CB．
（1）求證：OP∥CB；
（2）若PA＝12，DB：DC＝2：1，求⊙O的半徑．
四.自主總結(jié)：
1.正多邊形概念：各 相等、各 也相等的多邊形叫做正多邊形．
2.頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上的正多邊形叫做 .這個(gè)圓叫做該正多邊形的 .
3.一個(gè)正多邊形的外接圓的 叫做這個(gè)正多邊形的中心，外接圓的 叫做正多邊形的半徑，正多邊形每一邊所對(duì)的 叫做正多邊形的 ，中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的 .
五.達(dá)標(biāo)測(cè)試
一、選擇題
1．若一個(gè)正多邊形的中心角為40°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（ ）
A．9B．8C．7D．6
2．圖中的正三角形和正六邊形有公共的外接圓⊙O．則這個(gè)正三角形和正六邊形邊長(zhǎng)的比為（ ）
A．：2B．：2C．：1D．2：1
3．以半徑為2的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為三邊作三角形，則該三角形的面積是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
4．正八邊形的中心角等于 度．
5．為增加綠化面積，某小區(qū)將原來(lái)正方形地磚更換為如圖所示的正八邊形植草磚，更換后，圖中陰影部分為植草區(qū)域，設(shè)正八邊形與其內(nèi)部小正方形的邊長(zhǎng)都為a，則陰影部分的面積為 ．
6．若正六邊形的邊心距為，則這個(gè)正六邊形的半徑為 ．
三、解答題
7．已知A、B兩點(diǎn)，求作：過(guò)A、B兩點(diǎn)的⊙O及⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF．（要求用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫(xiě)作法及證明．）
8．已知圓內(nèi)接正三角形的面積為12，求這個(gè)圓的外切正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)．
9．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于大圓O，且各邊與小圓相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H．求證：四邊形ABCD是正方形．
10．如圖，⊙O是直徑為4cm的圓形鐵片，現(xiàn)用它截取最大的正方形ABCD．
（1）求正方形ABCD的邊長(zhǎng)；
（2）求四周多余部分的面積（π取3.1）．
3.8圓內(nèi)接正多邊形達(dá)標(biāo)測(cè)試答案
一、選擇題
1．【解析】根據(jù)正多邊形的中心角的計(jì)算公式：計(jì)算即可．
【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是n，
由題意得，=40°，
解得，n=9，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正多邊形和圓的有關(guān)知識(shí)，掌握正多邊形的中心角的計(jì)算公式：是解題的關(guān)鍵．
2．【解析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，通過(guò)解直角三角形用R分別表示出它們的邊長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)外接圓的半徑為R，
如圖所示：
連接O2 A，O2 B，
則O2 B⊥AC，
∵O2 A=R，∠O2 AF=30°，∠AO2 B=60°，
∴△AO2 B是等邊三角形，AF=O2A?cs30°=R，
∴AB=R，AC=2AF=R；
∴外接圓的半徑相等的正三角形、正六邊形的邊長(zhǎng)之比為R：R=：1．
故選C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正多邊形和圓、解直角三角形；熟知正三角形、正方形和正六邊形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
3．【解析】由于內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形是特殊內(nèi)角的多邊形，可構(gòu)造直角三角形分別求出邊心距的長(zhǎng)，由勾股定理逆定理可得該三角形是直角三角形，進(jìn)而可得其面積．
【解答】解：如圖1，
∵OC=2，
∴OD=2×sin30°=1；
如圖2，
∵OB=2，
∴OE=2×sin45°=；
如圖3，
∵OA=2，
∴OD=2×cs30°=，
則該三角形的三邊分別為：1，，，
∵（1）2+（）2=（）2，
∴該三角形是直角邊，
∴該三角形的面積是×1××=，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查多邊形與圓，解答此題要明確：多邊形的半徑、邊心距、中心角等概念，根據(jù)解直角三角形的知識(shí)解答是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
4．【解析】根據(jù)中心角是正多邊形相鄰的兩個(gè)半徑的夾角來(lái)解答．
【解答】解：正八邊形的中心角等于360°÷8=45°；
故答案為45．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是牢記中心角的定義及求法．
5. 【解析】△ABC是等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)是a，據(jù)此解求得△ABC的面積，則陰影部分的面積即可求解．
【解答】解：△ABC是等腰直角三角形，且AB=a，
則AC=BC=a，
則S△ABC=AC?BC=×?=，
中間的正方形的面積是：a2，
則陰影部分的面積是：4×+a2=2a2．
故答案是：2a2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形的計(jì)算，正確求得三角形ABC的面積是關(guān)鍵．
6．【解析】首先根據(jù)題意作出圖形，由正六邊形的性質(zhì)，易得△BOC是等邊三角形，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，可求得OB的值，繼而可求得答案．
【解答】解：如圖所示，連接OB、OC；
∵此六邊形是正六邊形，
∴∠BOC==60°，
∵OB=OC，
∴△BOC是等邊三角形，
∴∠OBC=60°，
∵OH=，
∴在Rt△OBH中，OB===2，
∴OB=OC=BC=2，即這個(gè)正六邊形的半徑為2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正多邊形與圓的知識(shí)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
三、解答題
7．【解析】根據(jù)題意可知作出以AB為直徑的圓，且以AB的一半為半徑的圓內(nèi)接正六邊形即可．
【解答】解：如圖所示：
首先以AB為直徑作圓，在以AB的一半為半徑在圓上截取相等的弧，然后順次連接六個(gè)等分點(diǎn)即可．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓及作圖的相關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是弄清正六邊形和圓及線段AB的關(guān)系．
8. 【解析】如圖，作輔助線，證明DC=GH=2OG；根據(jù)已知條件求出OG，結(jié)合勾股定理問(wèn)題即可解決．
【解答】解：如圖，連接GO并延長(zhǎng)，交EF于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)M；
由題意得：點(diǎn)O為正方形ABCD的中心，也是正△GEF的中心；
∴OG=OM，GH⊥EF；而AD為⊙O的切線，
∴GM⊥AD，而∠D=∠C，
∴四邊形MCDG為矩形，DC=GM=2OG；
設(shè)⊙O的半徑為λ，正方形ABCD的對(duì)角線為μ，
由題意得：∠GOE==120°，
sin120°=12，
∴λ=4，DC=2λ=8；
由勾股定理得：μ2=82+82，
∴μ=，即這個(gè)圓的外切正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了正多邊形和圓的性質(zhì)及其應(yīng)用問(wèn)題；靈活運(yùn)用正多邊形和圓的關(guān)系來(lái)解析、判斷是解題的關(guān)鍵．
9．【解析】連結(jié)OE、OF、OG、OH，利用切線的性質(zhì)以及弦心距相等則弦相等可證明A、B、C、D是大圓O的四等分點(diǎn)，進(jìn)而可證明四邊形ABCD是正方形．
【解答】證明：
連結(jié)OE、OF、OG、OH．
∵四邊形ABCD與小圓分別切于點(diǎn)E、F、G、H，
∴OE=OF=OG=OH，OE⊥AB、OF⊥BC、OG⊥CD、OH⊥AD．
∴AB=BC=CD=DA．
∴A、B、C、D是大圓O的四等分點(diǎn)．
∴四邊形ABCD是正方形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形與圓的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟記把一個(gè)圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)正多邊形的外接圓．
10. 【解析】（1）連接AO，DO，由題意可知∠AOD=90°，進(jìn)而利用勾股定理即可求出正方形ABCD的邊長(zhǎng)；
（2）由題意可知四周多余部分的面積=圓的面積﹣正方形的面積，問(wèn)題得解．
【解答】解：（1）連接AO，DO，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠AOB==90°，
∵⊙O是直徑為4cm，
∴AO=OD=2cm，
∴AD==2cm，
即正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm；
（2）∵S圓=π×2×2=12.4cm2，S正方形ABCD=2×2=8cm2，
∴四周多余部分的面積=12.4﹣8=4.4cm2．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正多邊形與圓的有關(guān)知識(shí)，本題需仔細(xì)解析圖形，利用勾股定理即可解決問(wèn)題．

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初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)下冊(cè)電子課本

8 圓內(nèi)接正多邊形

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