第1講


講














銳角三角函數(shù)


























概述





【教學(xué)建議】


本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是使學(xué)生能熟練掌握正切、正弦、余弦的定義，并能利用其進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的計(jì)算。在授課過(guò)程中，教師要注重易錯(cuò)點(diǎn)的點(diǎn)撥，在解題時(shí)，幫助學(xué)生形成格式規(guī)范的寫(xiě)法。


學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)時(shí)可能會(huì)在以下三個(gè)方面感到困難：


1. 復(fù)雜圖形中的三角函數(shù)問(wèn)題。


2. 坡度的應(yīng)用問(wèn)題。


3.正確規(guī)范的書(shū)寫(xiě)格式。


【知識(shí)導(dǎo)圖】























教學(xué)過(guò)程








一、導(dǎo)入





【教學(xué)建議】


本節(jié)內(nèi)容較簡(jiǎn)單，把定義講透，加強(qiáng)對(duì)復(fù)雜圖形中的三角函數(shù)問(wèn)題的解題示范。





二、知識(shí)講解








知識(shí)點(diǎn)1 正切





當(dāng)銳角A的大小確定時(shí)，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比也分別是確定的． 把∠A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即tanA==．





知識(shí)點(diǎn)2 正弦、余弦





在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即sinA= =．





我們把∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作csA，即csA==；


銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．





知識(shí)點(diǎn)3 坡度





如圖所示，我們把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即








三、例題精析








例題1





【題干】若△ABC在正方形網(wǎng)格紙中的位置如圖所示，則tanα的值是（ ）





A．B．C．D．1


【答案】D


【解析】根據(jù)圖形可知∠α的對(duì)邊及鄰邊的值，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可．


解：根據(jù)圖形可知：△ABC是直角三角形，且AC=3，BC=3．


根據(jù)勾股定理得到AB=3，


則tanα==1．


故選D．





例題2





【題干】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AB邊上，沿CE折疊矩形ABCD，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)F處，若AB=4，BC=5，則tan∠AFE的值為（ ）





A．B．C．D．


【答案】C


【解析】由四邊形ABCD是矩形，可得：∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由折疊的性質(zhì)可得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，由同角的余角相等，即可得∠DCF=∠AFE，然后在Rt△DCF中，即可求得答案．


解：∵四邊形ABCD是矩形，


∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，


由題意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，


∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，


∴∠DCF=∠AFE，


∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，


∴DF=3，


∴tan∠AFE=tan∠DCF==．


故選C．





例題3





【題干】如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC=6，BD=8，∠ABD=α，則下列結(jié)論正確的是（ ）





A．sinα=B．csα=C．tanα= D．tanα=


【答案】D


【解析】根據(jù)菱形的性質(zhì)及勾股定理可求得AB的長(zhǎng)，從而可表示出不同的三角函數(shù)從而驗(yàn)證得到正確的那個(gè)選項(xiàng)．


解：菱形ABCD的對(duì)角線AC=6，BD=8，


則AC⊥BD，且OA=3，OB=4．


在直角△ABO中，根據(jù)勾股定理得到：AB=5，


則sinα=，csα=，tanα=，


故選D．








例題4





【題干】如圖，在平地上種植樹(shù)木時(shí)，要求株距（相鄰兩樹(shù)間的水平距離）為4m．如果在坡度為0.75的山坡上種樹(shù)，也要求株距為4m，那么相鄰兩樹(shù)間的坡面距離為（ ）





A．5m B．6m C．7m D．8m





【答案】A


【解析】解：由題知：=0.75，此時(shí)坡上株距是4m，設(shè)相鄰兩樹(shù)間的坡面距離為xm


所以滿足=0.8=


解得x=5


故選A．





例題5





【題干】如圖，修建抽水站時(shí)，沿著坡度為i=1：的斜坡鋪設(shè)水管，若測(cè)得水管A處鉛垂高度為6m，則所鋪設(shè)水管AC的長(zhǎng)度為（ ）





A．8m B．10m C．12m D．18m


【答案】C


【解析】∵該斜坡的坡度為i=1：，


∴AB：BC=1：，


∵AB=6m，


∴BC=6m，


則AC=（m）．


故選C．





四 、課堂運(yùn)用





【教學(xué)建議】


在講解過(guò)程中，教師可以以中考真題入手，重難點(diǎn)放在正切、正弦、余弦的應(yīng)用上，先把例題講解清晰，再給學(xué)生做針對(duì)性的練習(xí)。





基礎(chǔ)





1. 三角形在正方形網(wǎng)格紙中的位置如圖所示．則的值是（ ）





A． B． C． D．


【答案】C


【解析】由圖可知，故選C.


2.如圖，△ABC的頂點(diǎn)都是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)，則cs∠ABC等于（ ）


A. B. C. D.





【答案】C


【解析】在格點(diǎn)中構(gòu)造直角三角形，再根據(jù)勾股定理即可求得cs∠ABC=，故選C.


3.在坡度為1:2的斜坡上，某人前進(jìn)了100米，則他所在的位置比原來(lái)升高了 米．


【答案】


【解析】根據(jù)坡度為1:2，可設(shè)對(duì)邊為x米，鄰邊為2x米，再根據(jù)勾股定理即可列方程求解.


設(shè)對(duì)邊為x米，鄰邊為2x米，由題意得





解得


則他所在的位置比原來(lái)升高了米．





鞏固





1.在Rt△ABC中，∠A=90°，如果把這個(gè)直角三角形的各邊長(zhǎng)都擴(kuò)大2倍，那么所得到的直角三角形中，∠B的正切值 （ ）


A.擴(kuò)大2倍B.縮小2倍C.擴(kuò)大4倍 D.大小不變


【答案】D


【解析】把這個(gè)直角三角形的各邊長(zhǎng)都擴(kuò)大2倍，那么所得到的直角三角形與原三角形相似，則∠B的大小不變，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．


把這個(gè)直角三角形的各邊長(zhǎng)都擴(kuò)大2倍，那么所得到的直角三角形與原來(lái)的三角形相似，則∠B的大小不變，則∠B的正切值不變．


故選D．


2.在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，則的值是（ ）


A． B． C． D．


【答案】A


【解析】此題考查直角三角形中銳角的正弦、余弦和正切的定義和勾股定理的應(yīng)用；如右圖：


所以，，所以選A；





拔高








1.在Rt△ABC中，若各邊的長(zhǎng)度同時(shí)擴(kuò)大5倍，那么銳角A的正弦值和余弦值 （ ）


A.都不變 B.都擴(kuò)大5倍


C.正弦擴(kuò)大5倍、余弦縮小5倍 D.不能確定


【答案】A


【解析】∵銳角A的正弦值是對(duì)邊和斜邊的比，余弦值是鄰邊和斜邊的比，


∴邊長(zhǎng)同時(shí)擴(kuò)大5倍對(duì)于銳角A的正弦值和余弦值沒(méi)有影響，


∴銳角A的正弦值和余弦值沒(méi)有改變．


故選A．


2.如圖，從山頂A望地面C、D兩點(diǎn)，測(cè)得它們的俯角分別是45°和30°，已知CD=100m，點(diǎn)C在BD上，則山高AB等于 （ ）


A．100m B．50m C．50m D．50（+1）m





【答案】D


【解析】在兩個(gè)不同的三角形中利用三角函數(shù)就行了.


3.如圖，斜坡AC的坡度（坡比）為1:，AC＝10米．坡頂有一垂直于水平面的旗桿BC，旗桿頂端B點(diǎn)與A點(diǎn)有一條彩帶AB相連，AB＝14米．試求旗桿BC的高度．


D A


C


B





【答案】6米


【解析】延長(zhǎng)BC交AD于E點(diǎn)，則CE⊥AD，要求BC的高度，就要知道BE和CE的高度，就要先求出AE的長(zhǎng)度．直角三角形ACE中有坡比，由AC的長(zhǎng)，那么就可求出AE的長(zhǎng)，然后求出BE、CE的高度，BC=BE-CE，即可得出結(jié)果．


延長(zhǎng)BC交AD于E點(diǎn)，則CE⊥AD．





在Rt△AEC中，AC＝10， 由坡比為1:可知：∠CAE＝30°．


∴CE＝AC·sin30°＝10×＝5，AE＝AC·cs30°＝10×＝．


在Rt△ABE中，BE＝＝=11．


∵ BE＝BC＋CE，∴ BC＝BE－CE＝11-5＝6（米）．


答：旗桿的高度為6米．











課堂小結(jié)





正切、正弦、余弦：


如下圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，





①正弦：銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即．


②余弦：銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作csA，即．


③正切：銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即．


坡度：


坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度（或叫做坡比）











拓展延伸








基礎(chǔ)





1. （2018孝感）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，則sinA等于（ ）


C


A


B





A． B． C． D．


【答案】A


【解析】先根據(jù)勾股定理求得BC=6，再由正弦函數(shù)的定義求解可得．


2. 圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，則sinB＝＝( )








A．B．C．D．





【答案】A


【解析】由勾股定理，得：AB＝＝＝5．根據(jù)正弦的定義，得：sinB＝＝．


3. 如圖，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則tan∠BAC的值為（ ）


A． B．1 C． D．











【答案】B．


【解析】連接BC，則BC⊥AB.在Rt△ABC中，AB＝BC＝tan∠BAC＝＝1.








鞏固





1.△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sinA＝，則BC等于（ ）


A ． 45 B ． 5 C ． D ．


【答案】B


【解析】畫(huà)出示意圖，根據(jù)正弦的定義即可求得.


2.如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，EC＝1，sinB＝，求菱形的周長(zhǎng)．


A


B


D


C


E





【答案】52


【解析】設(shè)AE＝5x，AB＝13x，∴BE＝12x，∴12x＋1＝13x，x＝1


∴AB＝13，∴菱形的周長(zhǎng)為52 ．


3.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，sinA＝，AC＝5，求sinB及BC的長(zhǎng)．


A


B


D


C





【答案】


【解析】提示：根據(jù)sinB＝，易得 BC＝.





拔高





1.如圖， 在4×4的正方形方格中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則∠BAC的正弦值是 ．





【答案】


【解析】由勾股定理可得，AB2＝32＋42＝25，BC2＝12＋22＝5，AC2＝22＋42＝20，


∴AB2＝BC2＋AC2，∴∠ACB＝90°，∴sin∠ACB＝＝＝ ．


2.如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)O，則tan∠AOD＝ ．





【答案】2


【解析】如圖所示，連接AE、BE，易證CD∥BE，∴∠AOD＝∠ABE，顯然△ABE是直角三角形，∴tan∠AOD＝tan∠ABE＝．





3.如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，將矩形ABCD沿BE折疊，點(diǎn)A落在A′處，若EA′的延長(zhǎng)線恰好過(guò)點(diǎn)C，則sin∠ABE的值為 ．


A


E


D


B


C


A′





【答案】


【解析】由折疊知∠BA′E=∠A=90°，AE=A′E，A′B=AB=6，故在Rt△A′BC中，由勾股定理，得A′C===8，設(shè)AE=A′E=x，則CE=x+8，DE=10－x，在Rt△CDE中，由勾股定理，得(x+8)2=62+(10－x)2，解得x=2．(或由Rt△CDE∽R(shí)t△BCA′求得DE長(zhǎng)，進(jìn)而得AE的長(zhǎng)．)在Rt△ABE中，BE==2．所以sin∠ABE===．








教學(xué)反思





適用學(xué)科
初中數(shù)學(xué)
適用年級(jí)
初中三年級(jí)
適用區(qū)域
北師版區(qū)域
課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）
120
知識(shí)點(diǎn)
1.正切


2.正弦、余弦


3.坡度
教學(xué)目標(biāo)
1.掌握銳角三角函數(shù)的定義


2.掌握正切、正弦、余弦的計(jì)算
教學(xué)重點(diǎn)
能熟練掌握銳角三角函數(shù)的計(jì)算
教學(xué)難點(diǎn)
能熟練掌握銳角三角函數(shù)的計(jì)算

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1 銳角三角函數(shù)

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