第16講


講














切線長定理及圓內(nèi)接正多邊形


























概述





【教學(xué)建議】


切線長定理在中考數(shù)學(xué)中考察的頻次較高，與圓內(nèi)接多邊形相關(guān)的計(jì)算問題常在小題中單獨(dú)考察。教師在教學(xué)中要把主要精力放在切線長定理上，幫助學(xué)生多總結(jié)，多反思。


學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)時(shí)可能會(huì)在以下兩個(gè)方面感到困難：


1. 切線長定理的應(yīng)用問題。


2. 與圓內(nèi)接多邊形相關(guān)的計(jì)算。


【知識(shí)導(dǎo)圖】














教學(xué)過程








一、導(dǎo)入





【教學(xué)建議】


切線長定理在中考數(shù)學(xué)中考察的頻次較高，多以綜合題的形式出現(xiàn)，而且難度不低，教師在教學(xué)中要給予重視，加大訓(xùn)練的力度。與圓內(nèi)接多邊形相關(guān)的計(jì)算問題常在小題中單獨(dú)考察，知識(shí)點(diǎn)較單一，屬于容易題，教師在教學(xué)中不必在這個(gè)知識(shí)點(diǎn)上深挖。





二、知識(shí)講解








知識(shí)點(diǎn)1 切線長定理








切線長與切線長定理








知識(shí)點(diǎn)2 圓內(nèi)接正多邊形





把圓分成n(n≥3)等份：


(1)依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形；


(2)經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形．





三、例題精析








例題1





【題干】1.下列說法正確的是（ ）


過任意一點(diǎn)總可以作圓的兩條切線


圓的切線長就是圓的切線的長度


過圓外一點(diǎn)所畫的圓的兩條切線長相等


過圓外一點(diǎn)所畫的圓的切線長一定大于圓的半徑


【答案】C


【解析】根據(jù)切線長定理即可得。





例題2





【題干】如圖，⊙I為的內(nèi)切圓，點(diǎn)分別為邊上的點(diǎn)，且為⊙I的切線，若的周長為21，邊的長為6，則的周長為（ ）．





A．15 B．8 C．9 D．7．5


【答案】C


【解析】根據(jù)切線長定理即可得。





例題3





【題干】已知：以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，與斜邊AC交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線交BC邊于點(diǎn)E. 如圖，求證：EB=EC=ED；











【答案】見解析


【解析】證明：連接BD.


由于ED、EB是⊙O的切線，由切線長定理，得


ED=EB，∠DEO=∠BEO，


∴OE垂直平分BD.


又∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BD.∴AD∥OE.即OE∥AC.


又O為AB的中點(diǎn)，


∴OE為△ABC的中位線，∴BE=EC，


∴EB=EC=ED.











例題4





【題干】如圖,在正五邊形ABCDE中,對(duì)角線AD CE相交于F,求證


（1）三角形AEF是等腰三角形


（2）四邊形ABCE是等腰梯形


（3）四邊形ABCF 是菱形








【答案】見解析


【解析】證明：（1）∵AE = DE = CD


∴△EAD、△DCE都是等腰三角形,且頂角都是108°,所以每個(gè)底角都是36°,即∠EAF = ∠CED = 36°


∴∠AEF = ∠AED - CED = 180 - 36 = 72°


∠AFE = 180° - ∠EAF - ∠AEF = 180 - 36 - 72 = 72°


即∠AEF = ∠AFE,


∴△AEF是等腰三角形


（2）∠BAD = ∠BAE - ∠EAF = 108 - 36 = 72°


∠B + ∠BAD = 180°,


∴BC∥AD,


又∵AB = CD,


∴四邊形ABCE是等腰梯形


（3）根據(jù)1,可知AF = AE,


∴AF = BC,


∴四邊形ABCF是平行四邊形（一對(duì)邊平行且相等）


又∵臨邊AB = BC,


∴四邊形ABCF是菱形。








四 、課堂運(yùn)用





【教學(xué)建議】


在講解過程中，教師可以以中考真題入手，先把例題講解清晰，再給學(xué)生做針對(duì)性的練習(xí)。





基礎(chǔ)





1.如圖，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，連接OP，AB，下列結(jié)論不一定正確的是（ ）


PA=PB B.OP垂直平分AB C.∠OPA=∠OPB D.PA =AB








【答案】D


【解析】根據(jù)切線長定理即可得。





2.如圖,PA,PB是⊙O的切線,切點(diǎn)為AB,BC是⊙O的直徑,連接AB,AC,OP





（1）∠APB＝2∠ABC


（2）AC∥OP


【答案】見解析


【解析】 (1)連接AO.易知∠APB+∠AOB=180°


∵∠AOC+∠AOB=180°


∴∠APB=∠AOC,∵∠AOC=2∠ABC(圓心角與圓周角)


∴∠APB＝2∠ABC


（2）證明：連接OA,OB ,AB


∵PA,PB是⊙O的切線


∴∠OAP=∠OBP=90°


∵OA=OB,OP=OP


∴△OAP≌△OBP


∴PA=PB,∠APO=∠BPO


∴AB⊥PO


∵BC是直徑


∴∠BAC=90°


即AB⊥AC∴AC‖∥PO





3.如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于圓O，半徑為4，則這個(gè)正六邊形的圓心O到BC的距離OM和弧BC的長分別為（ ）





、 B．、 C．、 D．、





【答案】B


【解析】正六邊形的中心角是60°，解直角三角形即可得。





4.已知：如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接等腰三角形,頂角∠BAC=36°，弦BD、CE分別平分∠ABC、∠ACB.


求證：五邊形AEBCD是正五邊形。








【答案】見解析


【解析】證明：∵AB=AC，


∴∠ABC=∠ACB，


又∵∠BAC=36°，


∴∠ABC=∠ACB=72°.


又∵BD、CE平分∠ABC、∠ACB.


∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABD=∠DBC=36°


∴AE=BE=BC=CD=DA


易證五邊形AEBCD為正五邊形





鞏固





1.如圖，半圓O與等腰直角三角形兩腰CA、CB分別切于點(diǎn)D、E，直徑FG在AB上，若BG= EQ \R(,2)-1，則△ABC的周長是 ．





【答案】4+2


【解析】提示：切線長定理。





2.如圖，由7個(gè)形狀，大小完全相同的正六邊形組成的網(wǎng)格，正六邊形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，已知每個(gè)正六邊形的邊長為1，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則△ABC的面積是（ ）





A. 3 B.23 C.2 D.33


【答案】B


【解析】根據(jù)圓內(nèi)接多邊形的中心角度數(shù)，結(jié)合解直角三角形即可得。





3.如圖，一圓內(nèi)切四邊形ABCD，且AB=16，CD=10，則四邊形的周長為 ．








【答案】52


【解析】根據(jù)切線長定理即可得。





4.如圖，從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的長是 .





【答案】8


【解析】根據(jù)切線長定理，構(gòu)造直角三角形，解之即可。





拔高





1.如圖，PA和PB是⊙O的切線，點(diǎn)A和B是切點(diǎn)，AC是⊙O的直徑，已知∠P=40°，則∠ACB的大小是（ ）。





A. 60° B. 65° C. 70° D. 75°





【答案】C


【解析】可根據(jù)切線長定理一步步推導(dǎo)出來；因?yàn)槭沁x擇題也可直接根據(jù)弦切角定理直接寫出答案。





2.△ABC外切于⊙O，切點(diǎn)分別為點(diǎn)D、E、F，∠A=60°，BC=7，⊙O的半徑為．





（1）求BF+CE的值； （2）求△ABC的周長．


【答案】見解析


【解析】（1）∵△ABC外切于⊙O，切點(diǎn)分別為點(diǎn)D、E、F，


∴BF=BD，CE=CD，


∴BF+CE=BD+CD=BC=7，


答：BF+CE的值是7．


（2）連接OE、OF、OA，


∵△ABC外切于⊙O，切點(diǎn)分別為點(diǎn)D、E、F，


∴∠OEA=90°，∠OAE=∠BAC=30°，


∴OA=2OE=2，


由勾股定理得：AE=AF===3，


∴△ABC的周長是AB+BC+AC=AF+AE+CE+BF+BC=7+7+3+3=20，


答：△ABC的周長是20．











3.如圖，AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO=6，CO=8．


（1）判斷△OBC的形狀，并證明你的結(jié)論；


（2）求BC的長；


（3）求⊙O的半徑OF的長．





【答案】見解析


【解析】（1）答：△OBC是直角三角形．


證明：∵AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G，


∴∠OBE=∠OBF=∠EBF，∠OCG=∠OCF=∠GCF，


∵AB∥CD，


∴∠EBF+∠GCF=180°，


∴∠OBF+∠OCF=90°，


∴∠BOC=90°，


∴△OBC是直角三角形；


（2）∵在Rt△BOC中，BO=6，CO=8，


∴BC==10；


（3）∵AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G，


∴OF⊥BC，


∴OF===4.8．





4.如圖①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE分別是⊙O的內(nèi)接三角形、內(nèi)接四邊形、內(nèi)接五邊形，點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)B、C開始，以相同的速度在⊙O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)．





（1）求圖①中∠APN的度數(shù)（寫出解題過程）；


（2）寫出圖②中∠APN的度數(shù)和圖 ③中∠APN的度數(shù)


（ 3）試探索∠APN的度數(shù)與正多邊形邊數(shù)n的關(guān)系（直接寫答案）


【答案】見解析


【解析】(1）∠APN = 60°.


因?yàn)椤螦PN=∠ABP+∠BAP


有因?yàn)辄c(diǎn)M、N以相同的速度中⊙O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)．


所以弧AN=弧CM ∠ABN=∠MAC


所以∠APN=∠BAP+∠MAC


即∠APN=∠BAC=60°


(2）按(1）的思路可得：圖2中，∠APN的度數(shù)為90°；圖3中，∠APN的度數(shù)為108°．


(3）則∠APN的度數(shù)=所在多邊形的內(nèi)角度數(shù)=(n-2）*180/n°











課堂小結(jié)





1.切線長定理


2.圓內(nèi)接正多邊形








拓展延伸








基礎(chǔ)





1. 既有外接圓，又有內(nèi)切圓的平行四邊形是（ ）


A．矩形 B.菱形 C.正方形 D.矩形或菱形





【答案】C


【解析】根據(jù)外接圓和內(nèi)切圓的相關(guān)要求易得。





2. 如圖，已知PA、PB分別切⊙O于點(diǎn)A、B，，，那么⊙O的半徑長是 ．





【答案】3


【解析】容易題


3.一個(gè)正多邊形的每個(gè)外角都等于36°，那么它是（ ）


正六邊形B.正八邊形C.正十邊形D.正十二邊形


【答案】B


【解析】根據(jù)多邊形的外交和是360°即可求。





4.如圖（1），PT與⊙O1相切于點(diǎn)T，PAB與⊙O1相交于A、B兩點(diǎn)，可證明△PTA∽△PBT，從而有PT2=PA?PB．請(qǐng)應(yīng)用以上結(jié)論解決下列問題：如圖（2），PAB、PCD分別與⊙O2相交于A、B、C、D四點(diǎn)，已知PA=2，PB=7，PC=3，則CD= ．





【答案】


【解析】如圖2中，過點(diǎn)P作⊙O的切線PT，切點(diǎn)是T．





∵PT2=PA?PB=PC?PD，


∵PA=2，PB=7，PC=3，


∴2×7=3×PD，


∴PD=


∴CD=PD﹣PC=﹣3=．








鞏固





1.對(duì)于以下說法：


①各角相等的多邊形是正多邊形；


②各邊相等的三角形是正三角形；


③各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形；


④各頂點(diǎn)等分外接圓的多邊形是正多邊形．你認(rèn)為正確的命題有（ ）．


A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)


【答案】B


【解析】根據(jù)相關(guān)定義易得。


2.圓內(nèi)接正五邊形ABCDE中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)P，則∠APB的度數(shù)是（ ）


A．36° B．60° C．72° D．108°


【答案】C


【解析】容易題


3.如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，則∠PAB=（ ）





A．30° B．35° C．45° D．60°


【答案】A


【解析】根據(jù)切線的性質(zhì)和正六邊形的中心角為60°易得。





4.如圖，過⊙O外一點(diǎn)P引⊙O的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別是A、B，OP交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D是優(yōu)弧上不與點(diǎn)A、點(diǎn)C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD、CD，若∠APB=80°，則∠ADC的度數(shù)是（ ）





A．15° B．20° C．25° D．30°


【答案】C


【解析】如圖，由四邊形的內(nèi)角和定理，得


∠BOA=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°，


由=，得


∠AOC=∠BOC=50°．


由圓周角定理，得


∠ADC=∠AOC=25°，


故選：C．





拔高





1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P與x軸相切，與y軸相較于A（0,2），B（0,8）．則圓心P的坐標(biāo)是（ ）


A．(5,3) B．(5,4) C．（3,5） D．（4,5）





【答案】D


【解析】過點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，則由垂徑定理可得BC=AC.





∵A（0,2），B（0,8），∴OA＝2，OB＝8．∴AB＝8－2＝6.∴BC＝AC＝3.∴OC＝OA＋AC＝2＋3＝5.∴PD＝PB＝OC＝5.


在Rt△PBC中，由勾股定理,得PC＝ EQ \r(,PB2－BC2)＝ EQ \r(,52－32)＝4.


∵PC＝4,PD＝5,∴圓心P的坐標(biāo)是（4,5）.


故選擇D.





2.如圖，已知：AB是⊙O的弦，過點(diǎn)B作BC⊥AB交⊙O于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長線于點(diǎn)D，取AD的中點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF∥BC交DC的延長線于點(diǎn)F，連接AF并延長交BC的延長線于點(diǎn)G．


求證：


（1）FC=FG；


（2）AB2=BC?BG．








【答案】見解析


【解析】證明：（1）∵EF∥BC，AB⊥BG，


∴EF⊥AD，


∵E是AD的中點(diǎn)，


∴FA=FD，


∴∠FAD=∠D，


∵GB⊥AB，


∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，


∴∠DCB=∠G，


∵∠DCB=∠GCF，


∴∠GCF=∠G


，∴FC=FG；


（2）連接AC，如圖所示：


∵AB⊥BG，


∴AC是⊙O的直徑，


∵FD是⊙O的切線，切點(diǎn)為C，


∴∠DCB=∠CAB，


∵∠DCB=∠G，


∴∠CAB=∠G，


∵∠CBA=∠GBA=90°，


∴△ABC∽△GBA，


∴=，


∴AB2=BC?BG．








3.如圖，已知⊙O的直徑為AB，AC⊥AB于點(diǎn)A，BC與⊙O相交于點(diǎn)D，在AC上取一點(diǎn)E，使得ED=EA．


（1）求證：ED是⊙O的切線；


（2）當(dāng)OE=10時(shí)，求BC的長．








【答案】見解析


【解析】（1）證明：如圖，連接OD．


∵AC⊥AB，


∴∠BAC=90°，即∠OAE=90°．


在△AOE與△DOE中，


，


∴△AOE≌△DOE（SSS），


∴∠OAE=∠ODE=90°，即OD⊥ED．


又∵OD是⊙O的半徑，


∴ED是⊙O的切線；


（2）解：如圖，∵OE=10．


∵AB是直徑，


∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．


又∵由（1）知，△AOE≌△DOE，


∴∠AEO=∠DEO，


又∵AE=DE，


∴OE⊥AD，


∴OE∥BC，


∴=，


∴BC=2OE=20，即BC的長是20．








4.如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，直線AO與⊙O交于點(diǎn)E和點(diǎn)D，OB與⊙O交于點(diǎn)F，連接DF、DC．已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6．


（1）求證：①直線AB是⊙O的切線；②∠FDC=∠EDC；


（2）求CD的長．





【答案】見解析


【解析】（1）①證明：連接OC．


∵OA=OB，AC=CB，


∴OC⊥AB，


∵點(diǎn)C在⊙O上，


∴AB是⊙O切線．


②證明：∵OA=OB，AC=CB，


∴∠AOC=∠BOC，


∵OD=OF，


∴∠ODF=∠OFD，


∵∠AOB=∠ODF+∠OFD=∠AOC+∠BOC，


∴∠BOC=∠OFD，


∴OC∥DF，


∴∠CDF=∠OCD，


∵OD=OC，


∴∠ODC=∠OCD，


∴∠ADC=∠CDF．


（2）作ON⊥DF于N，延長DF交AB于M．


∵ON⊥DF，


∴DN=NF=3，


在RT△ODN中，∵∠OND=90°，OD=5，DN=3，


∴ON==4，


∵∠OCM+∠CMN=180°，∠OCM=90°，


∴∠OCM=∠CMN=∠MNO=90°，


∴四邊形OCMN是矩形，


∴ON=CM=4，MN=OC=5，


在RT△CDM中，∵∠DMC=90°，CM=4，DM=DN+MN=8，


∴CD===4．














教學(xué)反思





適用學(xué)科
初中數(shù)學(xué)
適用年級(jí)
初中三年級(jí)
適用區(qū)域
北師版區(qū)域
課時(shí)時(shí)長（分鐘）
120
知識(shí)點(diǎn)
1.切線長定理


2.圓內(nèi)接正多邊形
教學(xué)目標(biāo)
1.掌握切線長定理的內(nèi)容


2.掌握?qǐng)A內(nèi)接正多邊形的畫法及相關(guān)的性質(zhì)
教學(xué)重點(diǎn)
能熟練掌握切線長定理
教學(xué)難點(diǎn)
能熟練掌握切線長定理
切線長與切線長定理
經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上,這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段長叫做點(diǎn)到圓的切線長．如圖,PA是⊙O的切線,切點(diǎn)為A,則PA是點(diǎn)P到⊙O的切線長．


切線長定理:從圓外一點(diǎn)可引圓的兩條切線,他們的切線長相等,這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角．
示意圖
切線長定理的證明
如圖,連接OA和OB．


∵PA和PB是⊙O的兩條切線,


∴OA⊥AP,OB⊥BP．


又OA＝OB,OP＝OP,


∴Rt△AOP≌Rt△BOP．


∴PA＝PB,∠APO＝∠BPO．

相關(guān)教案

初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)下冊(cè)1 二次函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)及反思：

這是一份初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)下冊(cè)1 二次函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)及反思，共43頁。教案主要包含了教學(xué)建議，知識(shí)導(dǎo)圖等內(nèi)容，歡迎下載使用。

數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)2 圓的對(duì)稱性教案及反思：

這是一份數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)2 圓的對(duì)稱性教案及反思教案主要包含了教學(xué)建議，知識(shí)導(dǎo)圖等內(nèi)容，歡迎下載使用。

初中北師大版9 弧長及扇形的面積教案及反思：

這是一份初中北師大版9 弧長及扇形的面積教案及反思，共22頁。教案主要包含了教學(xué)建議，知識(shí)導(dǎo)圖等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)教案 更多

數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第二章 二次函數(shù)1 二次函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)及反思

數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第二章 二次函數(shù)1 二次函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)及反思
北師大版九年級(jí)下冊(cè)4 二次函數(shù)的應(yīng)用教案

北師大版九年級(jí)下冊(cè)4 二次函數(shù)的應(yīng)用教案
初中北師大版1 二次函數(shù)教案及反思

初中北師大版1 二次函數(shù)教案及反思
初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)下冊(cè)8 圓內(nèi)接正多邊形教學(xué)設(shè)計(jì)

初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)下冊(cè)8 圓內(nèi)接正多邊形教學(xué)設(shè)計(jì)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)下冊(cè)電子課本

8 圓內(nèi)接正多邊形

版本： 北師大版

年級(jí)： 九年級(jí)下冊(cè)

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部