第15講


講














確定圓的條件及直線與圓的位置關(guān)系


























概述





【教學(xué)建議】


本節(jié)課的內(nèi)容在圓這一章中，占有重要的地位，也是中考中的必考內(nèi)容。教師在教學(xué)中要讓學(xué)生親自動(dòng)手去畫一畫，發(fā)現(xiàn)確定圓的條件以及三角形的外心是怎們確定的。對(duì)于切線的性質(zhì)與切線的判定是中考中的熱點(diǎn)問(wèn)題，要以典例引領(lǐng)，幫助學(xué)生形成有效的解題策略（解題模型）。


學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)時(shí)可能會(huì)在以下三個(gè)方面感到困難：


1. 確定圓的條件的探索；


2. 切線的性質(zhì)；


3.切線的判定。


【知識(shí)導(dǎo)圖】











教學(xué)過(guò)程








一、導(dǎo)入





【教學(xué)建議】


本節(jié)內(nèi)容屬于中考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，尤其以切線的性質(zhì)與切線的判定出現(xiàn)的次數(shù)最多。在教學(xué)中，教師需要幫助學(xué)生理清切線的性質(zhì)和切線的判定的使用條件和常用的解題模型。如有可能最好給學(xué)生補(bǔ)充弦切角定理及其逆定理（使用時(shí)須證明），這樣可以拓寬學(xué)生的解題思路。





二、知識(shí)講解








知識(shí)點(diǎn)1 確定圓的條件








1.不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓；


2.一個(gè)三角形能畫一個(gè)外接圓，一個(gè)圓中有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接三角形。


3.三角形的外接圓與外心








知識(shí)點(diǎn)2 直線與圓的位置關(guān)系





1.直線和圓有幾種位置關(guān)系








如圖（a），直線L和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)我們就說(shuō)這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線．


如圖（b），直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn)．


如圖（c），直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)，這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相離．[





2.切線的判定和性質(zhì)


1、切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑


2、推論：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心.





3、切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線





4.弦切角定理及其逆定理








三、例題精析








例題1





【題干】小明不慎把家里的圓形玻璃打碎了,其中四塊碎片如圖所示,為配到與原來(lái)大小一樣的圓形玻璃,） 小明帶到商店去的一塊玻璃碎片應(yīng)該是（ ）








A. 第①塊 B. 第②塊 C. 第③塊 D. 第④塊





例題2





【題干】如圖，有一個(gè)三角形池塘，在它的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C處均有一棵白楊樹，現(xiàn)設(shè)想把三角形池塘擴(kuò)建成圓形的養(yǎng)魚池，但必須保持白楊樹不動(dòng)，請(qǐng)問(wèn)能否實(shí)現(xiàn)這一設(shè)想？若能，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)并畫出圖形；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．











例題3





【題干】如圖，AD為△ABC外接圓的直徑，AD⊥BC，垂足為F，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，連接BD，CD.


(1) 求證：BD＝CD;


(2) 請(qǐng)判斷B，E，C三點(diǎn)是否在以點(diǎn)D為圓心，DB長(zhǎng)為半徑的圓上，并說(shuō)明理由．








例題4





【題干】如圖，為⊙O的弦，為劣弧的中點(diǎn)，





（1）若⊙O的半徑為5，AB=8，求；


（2）若，且點(diǎn)在⊙O的外部，判斷與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．











例題5





【題干】如圖，AC是⊙O的直徑，PB切⊙O于點(diǎn)D，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)B，且∠DAB＝∠B．


O


A


B


C


D


P





（1）求∠B的度數(shù)；


（2）若BD＝9，求BC的長(zhǎng)．





例題6





【題干】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)F，C是⊙O上兩點(diǎn)，且AF=FC=BC，連接AC，AF，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AF交AF延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，垂足為D．





求證：CD是⊙O的切線；











四 、課堂運(yùn)用





【教學(xué)建議】


在講解過(guò)程中，教師可以以中考真題入手，先把例題講解清晰，再給學(xué)生做針對(duì)性的練習(xí)。





基礎(chǔ)





1.下列四個(gè)命題正確的有( )


①經(jīng)過(guò)三角形頂點(diǎn)的圓是三角形的外接圓；②任何一個(gè)三角形一定有一個(gè)外接圓，并且只有一個(gè)外接圓；③任何一個(gè)圓一定有一個(gè)內(nèi)接三角形，并且只有一個(gè)內(nèi)接三角形；④三角形的外心到該三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．


A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)








2.直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為16和12，則此三角形的外接圓半徑是________．





3.已知：⊙O的半徑為2cm，圓心到直線l的距離為1cm，將直線l沿垂直于l的方向平移，使l與⊙O相切，則平移的距離是（ ）


A．1cm B．3cm或2cm C．3cm D．1cm或3cm





4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)格點(diǎn)A，B，C作一圓弧，點(diǎn)B與下列格點(diǎn)的連線中，能夠與該圓弧相切的是（ ）





A．點(diǎn)（0，3） B．點(diǎn)（2，3） C．點(diǎn)（5，1） D．點(diǎn)（6，1）








5.下列四個(gè)命題：①與圓有公共點(diǎn)的直線是該圓的切線；②到圓心的距離等于該圓半徑的直線是該圓的切線；③垂直于圓的半徑的直線是該圓的切線；④過(guò)圓直徑的端點(diǎn)，垂直于此直徑的直線是該圓的切線．其中正確的是( )


A．①② B．①④ C．②④ D．③④





6.如圖，△ABC中，CA=CB，以BC為直徑的半圓O交于AB于D，DE⊥AC于E．求證：DE是半圓O的切線．














鞏固





1.△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，若∠AOC＝160°，則∠ABC的度數(shù)是( )


A．80° B．160°


C．100° D．80°或100°








2.已知⊙O的半徑r=3，設(shè)圓心O到一條直線的距離為d，圓上到這條直線的距離為2的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為m，給出下列命題：


①若d＞5，則m=0；②若d=5，則m=1；③若1＜d＜5，則m=3；④若d=1，則m=2；⑤若d＜1，則m=4．


其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）


A．1 B．2 C．4 D．5





3.如圖，AB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，AO與⊙O交于點(diǎn)C，若∠BCA=115°，則∠A的度數(shù)為（ ）





A．40° B．45° C．50° D．55°





4.如圖，△ABC為等腰三角形，AB=AC，O是底邊BC的中點(diǎn)，⊙O與腰AB相切于點(diǎn)D，求證：AC與⊙O相切．











5.如圖，D為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長(zhǎng)線上，∠CDA=∠CBD．





求證：CD是⊙O的切線。


6.如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)





（1）求證：四邊形ODCE是正方形；


（2）若BC=5、AC=12，⊙O的半徑為R，求R的值．








拔高





1.如圖，⊙O的直徑AB為6，弦AC的長(zhǎng)為2，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，求四邊形ADBC的面積．











2.已知圓心O到直線m的距離為d，⊙O的半徑為r


（1）當(dāng)d、r是方程x2-9x+20=0的兩根時(shí)，判斷直線m與⊙O的位置關(guān)系?


（2）當(dāng)d、r是方程 x2-4x+p=0的兩根時(shí)，直線m與⊙O相切，求p的值





3.已知AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C是半圓O上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AB延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，保持CD=OA．


（1）當(dāng)直線CD與半圓O相切時(shí)（如圖①），求∠ODC的度數(shù)；


（2）當(dāng)直線CD與半圓O相交時(shí)（如圖②），設(shè)另一交點(diǎn)為E，連接AE，若AE∥OC，


①AE與OD的大小有什么關(guān)系？為什么？


②求∠ODC的度數(shù)．








4.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)A為半徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D。





（1）求證：BC是⊙O切線；


（2）若BD=5，DC=3，求AC的長(zhǎng)。





5.如圖，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)B的直線交OP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，且CP=CB．





（1）求證：BC是⊙O的切線；


（2）若⊙O的半徑為，OP=1，求BC的長(zhǎng)．








6.已知：如圖，⊿ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)P，PD⊥AC于點(diǎn)D．





（1）求證：PD是⊙O的切線．


（2）若∠CAB=120°，AB=2，求BC的長(zhǎng)．

















課堂小結(jié)





確定圓的條件


確定圓的條件；


三角形的外接圓。


直線與圓的位置關(guān)系


切線的性質(zhì)；


切線的判定；


三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心。








拓展延伸








基礎(chǔ)





1. 如圖，若銳角三角形ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在⊙O外(與點(diǎn)C在AB同側(cè)), 則下列三個(gè)結(jié)論：①sinC>sinD；②csC>csD；③tanC>tanD，其中正確的結(jié)論為( )





A．①② B．②③ C．②③ D．①③








2. 如圖，AB是⊙O的弦，點(diǎn)C在過(guò)點(diǎn)B的切線上，且OC⊥OA，OC交AB于點(diǎn)P，已知∠OAB＝22°，則∠OCB＝________°．








3.如圖，點(diǎn) A，B，D 在⊙O 上，∠A＝20°，BC 是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，OD的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)C，∠OCB＝ 度.








4.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O與AC邊交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D的直線交BC邊于點(diǎn)E，∠BDE=∠A．





（1）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．


（2）若⊙O的半徑R=5，若BC:AB=3：4，求線段CD的長(zhǎng)．








5.如圖，四邊形OABC是平行四邊形，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓交AB于D，延長(zhǎng) AO交⊙O于E，連接CD，CE，若CE是⊙O的切線，解答下列問(wèn)題：





（1）求證：CD是⊙O的切線；


（2）若平行四邊形OABC的兩邊長(zhǎng)是方程的兩根，求平行四邊形OABC的面積．








6.如圖，在△ABC中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在邊AC上，且滿足ED=EA．





（1）求∠DOA的度數(shù)；


（2）求證：直線ED與⊙O相切．











鞏固





1.如圖，在圓O中，AB為直徑，AD為弦，過(guò)點(diǎn)B的切線與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C,AD=DC,則∠C= 度.








2.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，連接CD．





（1）求證：∠A=∠BCD；


（2）若M為線段BC上一點(diǎn)，試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，直線DM與⊙O相切？并說(shuō)明理由．








3.圖，正方形的邊長(zhǎng)為8，是的中點(diǎn)，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，以點(diǎn)P為圓心，PM長(zhǎng)為半徑作⊙P.當(dāng)⊙P與正方形ABCD的邊相切時(shí)，BP的長(zhǎng)為 ．








4.已知：如圖△ABC中，AC=BC，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．





求證：（1）AD=BD；


（2）DF是⊙O的切線．





5.如圖，PA是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，AC是直徑，AB是弦，連接PB、PC，PC交AB于點(diǎn)E，且PA＝PB.


（1）求證：PB是⊙O的切線；


（2）若∠APC＝3∠BPC，求的值.








6.如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D，且交⊙O于點(diǎn)E．連接OC，BE，相交于點(diǎn)F．


（1）求證：EF＝BF．


（2）若DC＝4，DE＝2，求直徑AB的長(zhǎng)．











拔高





1.如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，OD⊥AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線與OD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，PC、AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．


（1）求證：PC是⊙O的切線；


（2）若∠ABC＝60°，AB＝10，求線段CF的長(zhǎng)．





2.如圖，在以線段AB為直徑的⊙O上取一點(diǎn)C，連接AC、BC．將△ABC沿AB翻折后得到△ABD．


（1）試說(shuō)明點(diǎn)D在⊙O上；


（2）在線段AD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使AB2＝AC·AE．求證：BE為⊙O的切線；


（3）在（2）的條件下，分別延長(zhǎng)線段AE、CB相交于點(diǎn)F，若BC＝2，AC＝4，求線段EF的長(zhǎng)．


A


D


C


F


E


B


O


?





3.如圖，在△ABC中，O為AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑作圓，與BC相切于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，且∠AOD＝∠BAD．


（1）求證：AB為⊙O的切線；


（2）若BC＝6，tan∠ABC＝eq \f(4,3)，求AD的長(zhǎng)．








4.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC，與∠ABC的平分線交于點(diǎn)D，BD與AC交于點(diǎn)E，與⊙O交于點(diǎn)F．


（1）求∠DAF的度數(shù)；


（2）求證：AE2＝EF·ED；


（3）求證：AD是⊙O的切線．


A


D


O


B


C


E


F








5.如圖，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC 于點(diǎn)E，作ED⊥EB交AB 于點(diǎn) D，⊙O是△BED的外接圓．


（1）求證：AC是⊙O的切線；


（2）已知⊙O的半徑為2.5，BE＝4，求 BC，AD 的長(zhǎng)．











6.如圖，已知D、E分別為△ABC的邊AB、BC上兩點(diǎn)，點(diǎn)A、C、E在⊙D上，點(diǎn)B、D在⊙E上，點(diǎn)F為上一點(diǎn)，連接EF并延長(zhǎng)交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)M．


（1）若∠EBD為，請(qǐng)將∠CAD用含的代數(shù)式表示；


（2）若EM=MB，請(qǐng)說(shuō)明當(dāng)∠CAD為多少度時(shí)，直線EF為⊙D的切線；


（3）在（2）的條件下，若AD=，求的值．


適用學(xué)科
初中數(shù)學(xué)
適用年級(jí)
初中三年級(jí)
適用區(qū)域
北師版區(qū)域
課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）
120
知識(shí)點(diǎn)
確定圓的條件


直線與圓的位置關(guān)系
教學(xué)目標(biāo)
1、掌握確定圓的條件


2、掌握直線與圓的位置關(guān)系
教學(xué)重點(diǎn)
能熟練掌握確定圓的條件及直線與圓的位置關(guān)系
教學(xué)難點(diǎn)
能熟練掌握確定圓的條件及直線與圓的位置關(guān)系
示意圖
點(diǎn)和圓的位置關(guān)系
經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓,這個(gè)圓叫做三角形的外接圓,外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn),叫做這個(gè)三角形的外心．從三角形外心的定義知:三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．


如圖,分別作出線段AB的垂直平分線l1和線段BC的垂直平分線l2,設(shè)它們的交點(diǎn)為O,則OA＝OB＝OC．于是以點(diǎn)O為圓心,OA(或OB、OC)為半徑,便可作出經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓．因?yàn)檫^(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心只能是點(diǎn)O,半徑等等于OA,所以這樣的圓只有一個(gè)．
過(guò)一點(diǎn)可以作 圓；過(guò)兩點(diǎn)可以作 圓；并且這些圓的在以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的 上；過(guò)三點(diǎn)可以作 圓． 的三個(gè)確定一個(gè)圓．
弦切角定理(需證明)
弦切角的定義
頂點(diǎn)在圓上,并且一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角
弦切角定理
弦切角的度數(shù)等于它所夾得弧所對(duì)得圓心角得一半,等于它所交得弧所對(duì)得圓周角得度數(shù)．
如圖所示,線段PT所在的直線切圓O于點(diǎn)C,BC、AC為圓O的弦,∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都為弦切角．


證明過(guò)程略.
弦切角定理逆定理(需證明)
弦切角定理逆定理
如右圖,在△ABC的形外作∠PAB=∠BCA,則PA是△ABC的外接圓的切線.
證明:只要用切線的定義,要證AP垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑,先作過(guò)A點(diǎn)的直徑,連接DB,則∠DBA=90°,∠D=∠C=∠PAB,所以∠PAD=∠DAB+∠PAB=∠DAB+∠D=90°.


所以PA是圓O的切線.

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5 確定圓的條件

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