北師大版九年級(jí)下冊(cè)1 二次函數(shù)教案及反思-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

第12講

講

二次函數(shù)綜合

概述

【教學(xué)建議】

本節(jié)課的內(nèi)容屬于二次函數(shù)綜合，是中考中的必考內(nèi)容。在教學(xué)中教師要通過典型例題幫助學(xué)生整理、歸納并反思這些問題的常用處理方法，學(xué)會(huì)怎么把非特殊問題轉(zhuǎn)換成特殊問題的，形成有效的解題策略。

學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)時(shí)可能會(huì)在以下三個(gè)方面感到困難：

1. 二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問題；

2. 二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題；

3.二次函數(shù)中相似三角形的存在性問題。

【知識(shí)導(dǎo)圖】

教學(xué)過程

一、導(dǎo)入

【教學(xué)建議】

二次函數(shù)是中考數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容之一，對(duì)于學(xué)生來說也是最難的內(nèi)容。屬于中考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，函數(shù)可與幾何圖形很好地綜合，可以全面考察學(xué)生多方面的知識(shí)和能力，在中考數(shù)學(xué)試卷中，二次函數(shù)試題往往都扮演著壓軸題的角色。本節(jié)在中考數(shù)學(xué)中的地位非常重要，在教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生形成正確地處理這三種類型試題的策略。

二、知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)1 二次函數(shù)與平行四邊形

平行四邊形動(dòng)點(diǎn)問題一般分為三個(gè)定點(diǎn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（簡(jiǎn)稱三定一動(dòng)）和兩個(gè)定點(diǎn)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（兩定兩動(dòng)）這兩種題型,可以利用對(duì)角線或邊的變化而進(jìn)行分類討論；求解的方法主要有代數(shù)方法（利用解析式,兩點(diǎn)間距離公式,中點(diǎn)坐標(biāo)）,幾何方法（構(gòu)造全等三角形,相似三角形）等。

知識(shí)點(diǎn)2 二次函數(shù)與等腰三角形

處理二次函數(shù)中的等腰三角形，常用的模型有兩種：一種是“兩圓一線”，另一種是“暴力法”（用兩點(diǎn)間距離公式硬算）

知識(shí)點(diǎn)3 二次函數(shù)與相似三角形

常需要分類討論，一般是固定一個(gè)三角形，讓另外一個(gè)三角形動(dòng)來處理。常用處理方式有兩種：

1.導(dǎo)邊處理（“SAS”法）

第一步:先找到一組關(guān)鍵的等角,有時(shí)明顯,有時(shí)隱蔽；

第二步,以這兩個(gè)相等角的鄰邊分兩種情況對(duì)應(yīng)比例列方程.

2.導(dǎo)角處理（“AA”法）

第一步:先找到一組關(guān)鍵的等角；

第二步,另兩個(gè)內(nèi)角分兩類對(duì)應(yīng)相等.

三、例題精析

例題1

【題干】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2－2ax－3a（a＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），經(jīng)過點(diǎn)A的直線l：y＝kx＋b與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD＝4AC．

（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達(dá)式（其中k、b用含a的式子表示）；

（2）點(diǎn)E是直線l上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若△ACE的面積的最大值為 EQ \F(5, 4 ) ，求a的值；

（3）設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

圖1 備用圖

例題2

【題干】如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的對(duì)稱軸為y軸，且經(jīng)過(0,0)和兩點(diǎn)，點(diǎn)P在該拋物線上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心的⊙P總經(jīng)過定點(diǎn)A(0, 2)．

（1）求a、b、c的值；

（2）求證：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，⊙P始終與x軸相交；

（3）設(shè)⊙P與x軸相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)兩點(diǎn)，當(dāng)△AMN為等腰三角形時(shí)，求圓心P的縱坐標(biāo)．

圖1

例題3

【題干】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線（k≠0）與直線y＝x＋2都經(jīng)過點(diǎn)A(2, m)．

（1）求k與m的值；

（2）此雙曲線又經(jīng)過點(diǎn)B(n, 2)，過點(diǎn)B的直線BC與直線y＝x＋2平行交y軸于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)AB、AC，求△ABC的面積；

（3）在（2）的條件下，設(shè)直線y＝x＋2與y軸交于點(diǎn)D，在射線CB上有一點(diǎn)E，如果以點(diǎn)A、C、E所組成的三角形與△ACD相似，且相似比不為1，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

圖1

四、課堂運(yùn)用

【教學(xué)建議】

在講解過程中，教師可以以中考真題入手，先把例題講解清晰，和學(xué)生一起歸納總結(jié)處理方法，再給學(xué)生做針對(duì)性的練習(xí)。

基礎(chǔ)

1.如圖1，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A(0, 1)、B(4, 3)兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求tan∠ABO的值；

（3）過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C，在對(duì)稱軸的左側(cè)且平行于y軸的直線交線段AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)M，若四邊形MNCB為平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

圖1

2.如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形，若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

圖1

3.如圖1，已知拋物線（b是實(shí)數(shù)且b＞2）與x軸的正半軸分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B是左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C．

（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為______，點(diǎn)C的坐標(biāo)為__________（用含b的代數(shù)式表示）；

（2）請(qǐng)你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PCOB的面積等于2b，且△PBC是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）請(qǐng)你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個(gè)三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

圖1

鞏固

1.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A為頂點(diǎn)的拋物線y＝ax2＋bx＋c過點(diǎn)C．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．過點(diǎn)P作PE⊥AB交AC于點(diǎn)E．

（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；

（2）過點(diǎn)E作EF⊥AD于F，交拋物線于點(diǎn)G，當(dāng)t為何值時(shí)，△ACG的面積最大？最大值為多少？

（3）在動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)t為何值時(shí)，在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點(diǎn)H，使以C、Q、E、H為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？請(qǐng)直接寫出t的值．

圖1

2.如圖1，點(diǎn)A在x軸上，OA＝4，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求經(jīng)過A、O、B的拋物線的解析式；

（3）在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

圖1

3.如圖1，已知拋物線的方程C1： (m＞0)與x軸交于點(diǎn)B、C，與y軸交于點(diǎn)E，且點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)．

（1）若拋物線C1過點(diǎn)M(2, 2)，求實(shí)數(shù)m的值；

（2）在（1）的條件下，求△BCE的面積；

（3）在（1）的條件下，在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)H，使得BH＋EH最小，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；

（4）在第四象限內(nèi)，拋物線C1上是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B、C、F為頂點(diǎn)的三角形與△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

圖1

拔高

1.將拋物線c1：沿x軸翻折，得到拋物線c2，如圖1所示．

（1）請(qǐng)直接寫出拋物線c2的表達(dá)式；

（2）現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為M，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A、B；將拋物線c2向右也平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為N，與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為D、E．

①當(dāng)B、D是線段AE的三等分點(diǎn)時(shí)，求m的值；

②在平移過程中，是否存在以點(diǎn)A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

圖1

2.如下圖,拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D.已知A（-1,0）,C(0,2).

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△PCD是以CD為腰的等腰三角形.如果存在,直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在,請(qǐng)說明理由；

3.如圖1，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三點(diǎn)．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）在直線AC上方的拋物線是有一點(diǎn)D，使得△DCA的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

,

圖1

課堂小結(jié)

1.二次函數(shù)與平行四邊形的處理方法

2.二次函數(shù)與等腰三角形的處理方法

3.二次函數(shù)與相似三角形的處理方法

拓展延伸

基礎(chǔ)

1. 如圖，拋物線y＝ax2＋bx－3過點(diǎn)A(1，0)，B(－3，0)，直線AD交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為－2，點(diǎn)P(m，n)是線段AD上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求直線AD及拋物線的解析式；

（2）過點(diǎn)P的直線垂直于x軸，交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ的長(zhǎng)度l與m的關(guān)系式，m為何值時(shí)，PQ最長(zhǎng)？

（3）在平面內(nèi)是否存在整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù))R，使以P、Q、D、R四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

2. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（﹣4，0）、B（2，0），交y軸于點(diǎn)C（0，6），在y軸上有一點(diǎn)E（0，﹣2），連接AE．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)D為拋物線在x軸負(fù)半軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△ADE面積的最大值；

（3）拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△AEP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由．

3.在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，拋物線y=－ EQ \f(1,4)x2+bx+c 經(jīng)過點(diǎn)A(－2，0)，B(8，0)．

⑴求拋物線的解析式；

⑵點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，連接BC，設(shè)點(diǎn)P是拋物線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，PD⊥BC，垂足為點(diǎn)D．

= 1 \* GB3 ①是否存在點(diǎn)P ，使線段PD的長(zhǎng)度最大，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

②當(dāng)△PDC與 △COA相似時(shí)，求點(diǎn)P 的坐標(biāo)．

鞏固

1.如圖，已知拋物線y=x2-x-n(n＞0)與x軸交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左邊），與y軸交于點(diǎn)C.

（1）如圖1，若△ABC為直角三角形，求n的值；

（2）如圖1，在（1）的條件下，點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，若以BC為邊，以點(diǎn)B,C,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；

2.如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，連接，.點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn).

（1）求，，三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）試探究在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在這樣的點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）請(qǐng)用含的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)，并求出為何值時(shí)有最大值.

3.如圖，已知拋物線y=ax2+bx（a≠0）過點(diǎn)A（，﹣3）和點(diǎn)B（3，0）．過點(diǎn)A作直線AC∥x軸，交y軸于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線AC的垂線，垂足為D．連接OA，使得以A，D，P為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

拔高

1.如圖，拋物線y＝ax2＋6x＋c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，直線y＝x－5經(jīng)過點(diǎn)B，C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）過點(diǎn)A的直線交直線BC于點(diǎn)M．

①當(dāng)AM⊥BC時(shí)，過拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P(不與點(diǎn)B，C重合)，作直線AM的平行線交直線BC于點(diǎn)Q，若以點(diǎn)A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

②連接AC，當(dāng)直線AM與直線BC的夾角等于∠ACB的2倍時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A(－4，0)、B(2，0)，交y軸于點(diǎn)C(0，6)，在y軸上有一點(diǎn)E(0，－2)，連接AE．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)D為拋物線在x軸負(fù)半軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△ADE面積的最大值；

（3）拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△AEP為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出所有P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由．

A

B

C

D

E

O

x

y

3.如圖，已知直線y=﹣2x+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，拋物線過A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)D．

（1）若拋物線的解析式為y=﹣2x2+2x+4，設(shè)其頂點(diǎn)為M，其對(duì)稱軸交AB于點(diǎn)N．

①求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；

②是否存在點(diǎn)P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由；

（2）當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1時(shí)，是否存在這樣的拋物線，使得以B、P、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

適用學(xué)科
初中數(shù)學(xué)
適用年級(jí)
初中三年級(jí)
適用區(qū)域
北師版區(qū)域
課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）
120
知識(shí)點(diǎn)
1.二次函數(shù)與平行四邊形

2.二次函數(shù)與等腰三角形

3.二次函數(shù)與相似三角形
教學(xué)目標(biāo)
1.掌握二次函數(shù)綜合

2.掌握二次函數(shù)中的數(shù)學(xué)模型
教學(xué)重點(diǎn)
能熟練掌握二次函數(shù)綜合問題
教學(xué)難點(diǎn)
能熟練掌握二次函數(shù)綜合問題

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