第13講


講














圓及圓的對稱性


























概述





【教學建議】


本節(jié)的主要內容是圓及圓的對稱性，主要是介紹圓的定義等一些相關概念，屬于一節(jié)基本概念課。在中考試題中主要涉及到的是圓的對稱性以及圓心角、弧、弦之間的關系定理。


學生學習本節(jié)時可能會在以下兩個方面感到困難：


1. 圓的對稱性的應用；


2. 圓心角、弧、弦之間的關系定理。





【知識導圖】











教學過程








一、導入





【教學建議】


本節(jié)是一節(jié)概念課，只需要使學生對基本概念理解就行了。在中考試題中會涉及到本節(jié)的內容是圓的對稱性以及圓心角、弧、弦之間的關系定理。教師在教學時要把握好考試要求，做必要的練習，由于考試涉及到本節(jié)的內容相對來說較簡單，所以教師在教學時，不必深挖，做很多拓展，讓學生掌握最根本的知識就行了。





二、知識講解








知識點1 圓及與的相關的概念








1.（1）圓的定義：在一個平面內，線段OA繞它的一個固定端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫做圓。固定端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”.


注意：①在平面內，②圓是指圓周，而不是圓面，③圓的兩要素：圓心和半徑，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，④線段OP的長也可以叫半徑.





（2）圓的集合性定義：


圓心為O，半徑為r的圓，可以看成所有到定點O，距離等于定長r的點的集合。


注：①圓上各點到定點（圓心O）的距離都等于定長（半徑r）；


②到定點的距離都等于定長的點都在同一個圓上。


[來源:


2.弦與直徑、弧與半圓


①連接圓上任意兩點的線段叫做弦，如下圖線段AC，AB；


②經過圓心的弦叫做直徑，如下圖線段AB；


③圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，“以A、C為端點的弧記作”，讀作“圓弧”或“弧AC”．大于半圓的?。ㄈ鐖D所示叫做優(yōu)弧，小于半圓的?。ㄈ鐖D所示）或叫做劣?。?br/>




④圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．





3.同心圓和等圓


同心圓：圓心相同，半徑不等的圓叫做同心圓。如圖2所示：














圖2 圖3


等圓：半徑相等的圓（能夠互相重合的圓）叫做等圓。


注：同圓或等圓的半徑相等。如圖3.等圓與位置無關


等弧：在同圓和等圓中，等夠完全重合的弧叫做等弧。


注：長度相等的弧，度數(shù)相等的弧都不一定是等弧。





知識點2 圓的對稱性





1.圓的對稱性


（1）圓是軸對稱圖形，對稱軸是經過圓心的任意一條直線．


（2）圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心．


2.弧、弦、圓心角


（1）頂點在圓心的角叫做圓心角．將整個圓分成360等分，每一份的弧對應1的圓心角，我們也稱這樣的弧為1的?。畧A心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等．


（2）圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系定理


在同圓或等圓中，相等的圓心角所對弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等．


推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量分別相等．





三、例題精析








例題1





【題干】如圖，一枚直徑為4cm的圓形古錢幣沿著直線滾動一周，圓心移動的距離是( )


A．2πcm B．4πcm C．8πcm D．16πcm





例題2





【題干】“手牽手”藝術團到某地慰問演出，要搭建一個圓形旋轉舞臺．該地一工人發(fā)現(xiàn)周圍有四根木柱，且這四根木柱恰好構成菱形，他找到這個菱形四條邊的中點，然后他說這四個中點在同一圓形舞臺上．請問：他的想法有道理嗎？證明你的結論．











例題3





【題干】如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB、CD的延長線相交于點E.已知AB＝2DE，∠E＝18°.試求∠AOC的度數(shù)．

















例題4





【題干】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以點B為圓心，BC長為半徑作⊙B，點A，C及AB，AC的中點D，E與⊙B有怎樣的位置關系？








例題5





【題干】由于過度砍伐森林和破壞植被，我國某些地區(qū)多次受到沙塵暴的侵襲．近來A市氣象局測得沙塵暴中心在A市正東方向400 km的B處，正在向西北方向移動，若距沙塵暴中心300 km的范圍內將受到影響，則A市是否會受到這次沙塵暴的影響？








例題6





【題干】如圖所示，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四點，OC，OD交AB于點E，F(xiàn)，且AE＝FB，下列結論：①OE＝OF；②AC＝CD＝DB；③CD∥AB；④eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵)).其中正確的有( )





A．4個 B．3個


C．2個 D．1個





四 、課堂運用





【教學建議】


在講解過程中，教師可以以中考真題入手，重點放在二次函數(shù)的平移上，先把例題講解清晰，再給學生做針對性的練習，注意各個二次函數(shù)的圖象的平移情況，它們之間是怎么樣平移的，總結平移的規(guī)律，抓住拋物線性質的變與不變。





基礎





1.若點P到⊙O的最小距離為6 cm，最大距離為8 cm，則⊙O的半徑是 。


2.設⊙O的半徑為2，點P到圓心的距離為m，且關于x的方程2x2－2eq \r(2)x＋m－1＝0有實數(shù)根，試確定點P與⊙O的位置關系．





3.下列說法中，正確的是( )


A．等弦所對的弧相等B．等弧所對的弦相等


C．圓心角相等，所對的弦相等D．弦相等，所對的圓心角相等





4.如圖，在△ABC中，∠A＝70°，⊙O截△ABC三邊所得的弦長相等，則∠BOC的度數(shù)是多少？








鞏固





1.如圖所示，在⊙O上有一點C(C不與A、B重合)，在直徑AB上有一個動點P(P不與A、B重合)．試判斷PA、PC、PB的大小關系，并說明理由．








2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4.如果以點A為圓心，AC長為半徑作⊙A，那么斜邊中點D與⊙A的位置關系是( )


A．點D在⊙A外 B．點D在⊙A上


C．點D在⊙A內 D．無法確定








3.如圖所示，在⊙O中，如果eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))，那么AB＝________，∠AOB＝∠______；若OE⊥AB于點E，OF⊥CD于點F，則OE______OF.





4.如圖所示，AB是⊙O的直徑，eq \(BC,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))＝eq \(DE,\s\up8(︵))，∠COD＝34°，則∠AEO的度數(shù)是________．














拔高





1.設⊙O的半徑為2，點P到圓心的距離為OP，且OP的長是關于x的方程x2－3x＋2＝0的實數(shù)根，試確定點P與⊙O的位置關系．








2.如圖，∠AOB＝90°，C，D是eq \(AB,\s\up8(︵))的三等分點，連接AB分別交OC，OD于點E，F(xiàn).


求證：AE＝BF＝CD.











3.如圖，已知A，B，C是半徑為2的⊙O上的三個點，其中A是eq \(BC,\s\up8(︵))的中點，連接AB，AC，點D，E分別在弦AB，AC上，且滿足AD＝CE.


(1)求證：OD＝OE；


(2)連接BC，當BC＝2eq \r(2)時，求∠DOE的度數(shù)．




















課堂小結





1.掌握圓的定義及圓的性質.


2.掌握圓的對稱性








拓展延伸








基礎





1. 已知⊙O的半徑是5，點A到圓心O的距離是7，則點A與⊙O的位置關系是( )


A．點A在⊙O上 B．點A在⊙O內


C．點A在⊙O外 D．點A與圓心O重合








2. 如圖，已知AB，CD是⊙O的兩條直徑，CE∥AB，eq \(EC,\s\up8(︵))所對的圓心角的度數(shù)為75°，則∠BOC＝________．








3.如圖,在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB，垂足為M．則有AM=_____， _____= ， ____= ．








鞏固





1.如下圖所示，在△ABC中，AB為的⊙O直徑，∠B=60°，∠C=70°，則∠BOD的度數(shù)是（ ）


A．80° B．90° C．100° D．120°








2.如圖，點P是以O為圓心，AB為直徑的半圓上的動點，AB＝2.設弦AP的長為x，△APO的面積為y，則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關系的圖象大致是( )








3.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8 cm，AB＝10 cm，CD是斜邊AB的中線，以AC為直徑作⊙O，P為CD的中點，點C，P，D與⊙O有怎樣的位置關系？














拔高





1.如圖，AB是半圓O的直徑，四邊形CDEF是內接正方形。





(1)求證：OC=OF；


(2)在正方形CDEF的右側有一正方形FGHK，點G在AB上，H在半圓上，K在EF上。若正方形CDEF的邊為2，求正方形FGHK的面積。








2.如圖，MN是⊙O的直徑，弦AB，CD相交于直線MN上的一點P，∠APM＝∠CPM.


(1)如圖①，根據(jù)以上條件，若交點P在⊙O的內部，試判斷AB和CD的大小關系，并說明理由．


(2)如圖②，若交點P在⊙O的外部，(1)中的結論是否仍然成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．











3.小賈和同學一起到游樂場玩大型摩天輪．摩天輪的半徑為20 m，勻速轉動一周需要12 min，小賈乘坐最底部的車廂(離地面0.5 m)．


(1)經過2 min后小賈到達點Q(如下圖)，此時他離地面的高度是多少？


(2)在摩天輪轉動的過程中，小賈將有多長時間連續(xù)保持在離地面不低于30.5 m的空中？





適用學科
初中數(shù)學
適用年級
初中三年級
適用區(qū)域
北師版區(qū)域
課時時長（分鐘）
120
知識點
1.圓及與圓相關的概念


2.圓的對稱性
教學目標
1.掌握圓的定義及圓的性質


2.掌握圓的對稱性
教學重點
能熟練掌握圓的相關概念及圓的對稱性
教學難點
能熟練掌握圓的相關概念及圓的對稱性

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初中數(shù)學北師大版九年級下冊電子課本

2 圓的對稱性

版本： 北師大版

年級： 九年級下冊

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