倍速學(xué)習(xí)三種方法
【方法一】 脈絡(luò)梳理法
知識(shí)點(diǎn)1.切線長定理
知識(shí)點(diǎn)2.圓內(nèi)接正多邊形
【方法二】 實(shí)例探索法
題型1.有關(guān)切線長定理的計(jì)算
題型2.圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的判斷
題型3.計(jì)算邊心距與邊長
題型4.方程思想
題型5.新定義問題
題型6.規(guī)律探究題
【方法三】成果評(píng)定法
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
了解切線長的概念。
掌握切線長定理，并能運(yùn)用這一定理解決問題。
3.了解圓內(nèi)接正多邊形的概念。
4.掌握正多邊形和圓中的半徑R、邊心距r、中心角之間的等量關(guān)系，并能運(yùn)用這個(gè)等量關(guān)系解決具體題目。
【知識(shí)導(dǎo)圖】
【倍速學(xué)習(xí)三種方法】
【方法一】脈絡(luò)梳理法
知識(shí)點(diǎn)1.切線長定理
（1）圓的切線長定義：經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長．
（2）切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角．
（3）注意：切線和切線長是兩個(gè)不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量．
（4）切線長定理包含著一些隱含結(jié)論：
①垂直關(guān)系三處；
②全等關(guān)系三對(duì)；
③弧相等關(guān)系兩對(duì)，在一些證明求解問題中經(jīng)常用到．
【例1】如圖，AB、AC、BD是⊙O的切線，P、C、D為切點(diǎn)，如果AB=5，AC=3，則BD的長為 ．
知識(shí)點(diǎn)2.圓內(nèi)接正多邊形
（1）正多邊形：各邊相等，各角也相等的我邊形叫作正多邊形。
（2）正多邊形的中心：一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫作這個(gè)正多邊形的中心。
（3）正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫作正多形的半徑。
（4）正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫作正多邊形的中心角。
（5）正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫作正多邊形的邊心距。
1.用量角器等分圓
由于在同圓中相等的圓心角所對(duì)的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點(diǎn)在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對(duì)的弦相等，依次連接各分點(diǎn)就可畫出相應(yīng)的正n邊形.
2.用尺規(guī)等分圓
對(duì)于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.
①正四、八邊形。

在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。 再逐次平分各邊所對(duì)的弧(即作∠AOB的平分線交于 E) 就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。
②正六、三、十二邊形的作法。

通過簡單計(jì)算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點(diǎn)。
顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點(diǎn)。
同樣，在圖(3)中平分每條邊所對(duì)的弧，就可把⊙O 12等分……。
要點(diǎn)詮釋：畫正n邊形的方法：（1）將一個(gè)圓n等份，（2）順次連結(jié)各等分點(diǎn).
正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對(duì)稱軸都通過正n邊形的中心；當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它也是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心.

【例2】．（2022秋?嘉興期末）如圖，正六邊形ABCDEF與正方形AGDH都內(nèi)接于⊙O，連接BG，則弦BG所對(duì)圓周角的度數(shù)為（ ）
A．15°B．30°C．15°或165°D．30°或150°
【方法二】實(shí)例探索法
題型1.有關(guān)切線長定理的計(jì)算
1．如圖，PA、PB是⊙O的切線，CD切⊙O于點(diǎn)E，△PCD的周長為12，∠APB＝60°．求：
（1）PA的長；
（2）∠COD的度數(shù)．
2．如圖，直線AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：
（1）∠BOC的度數(shù)；
（2）BE+CG的長；
（3）⊙O的半徑．
題型2.圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的判斷
3．（2022秋·浙江麗水·九年級(jí)校考期中）如圖，A、、、為一個(gè)正多邊形的相鄰四個(gè)頂點(diǎn)，為正多邊形的中心，若，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為 ．

題型3.計(jì)算邊心距與邊長
4．如圖，正方形是半徑為R的圓內(nèi)接四邊形，若，求正方形的邊長與邊心距．
題型4.方程思想
5．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）圖1是由兩個(gè)正六邊形組成的壁掛置物架，軸對(duì)稱仙人堂盆栽放置在木板上，圖2是其示意圖．兩個(gè)正六邊形的邊與，與均在同一直線上．木板（木板厚度忽略不計(jì)），，則的長為 ．盆栽由矩形和圓弧組成，且，，恰好在同一直線上，已知，圓弧最高點(diǎn)到的距離與線段的長度之比為，則圓弧的半徑為 ．
題型5.新定義問題
6．（2023·浙江金華·校聯(lián)考三模）如圖，正三角形、正方形、正六邊形等正n邊形與圓的形狀有差異，我們將正n邊形與圓的接近程度稱為“接近度”．
(1)角的“接近度”定義：設(shè)正n邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，將正n邊形的“接近度”定義為．于是越小，該正n邊形就越接近于圓，
①若，則該正n邊形的“接近度”等于 ．
②若，則該正n邊形的“接近度”等于______．
③當(dāng)“接近度”等于______．時(shí)，正n邊形就成了圓．
(2)邊的“接近度”定義：設(shè)一個(gè)正n邊形的外接圓的半徑為R，正n邊形的中心到各邊的距離為d，將正n邊形的“接近度”定義為．分別計(jì)算時(shí)邊的“接近度”，并猜測當(dāng)邊的“接近度”等于多少時(shí)，正n邊形就成了圓？
題型6.規(guī)律探究題
7．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，要設(shè)計(jì)一個(gè)裝彩鉛的圓柱體紙盒，已知每支鉛筆大小相同，底面均為正六邊形，邊長記作．下面我們來探究紙盒底面半徑的最小值：
（1）如果要裝10支鉛筆，小藍(lán)畫了圖①、圖②兩種排列方式，請你通過計(jì)算，判斷哪種方式更節(jié)省空間： ．（填①或②）
（2）如果要裝24支鉛筆，請你模仿以上兩種方式，算出紙盒底面最小半徑是 ．（用含a的代數(shù)式表示）
8．（2023春·浙江臺(tái)州·九年級(jí)校考期中）李老師帶領(lǐng)班級(jí)同學(xué)進(jìn)行拓廣探索，通過此次探索讓同學(xué)們更深刻的了解的意義．
(1)[定義]我們將正n邊形的周長L與正多邊形對(duì)應(yīng)的內(nèi)切圓的周長C的比值，稱作這個(gè)正n邊形的“正圓度”．如圖，正三角形的邊長為1，求得其內(nèi)切圓的半徑為，因此___________；
(2)[探索]分別求出正方形和正六邊形的“正圓度”；
(3)[總結(jié)]隨著n的增大，具有怎樣的規(guī)律，試通過計(jì)算，結(jié)合圓周率的誕生，簡要概括．
9．如圖1、、3、…、，、分別是的內(nèi)接正三角形、正方形、五邊形、…..、正邊形…..的邊、上的點(diǎn)，且，連接、．
（1）求圖1中的度數(shù)；
（2）圖中的度數(shù)是____________，圖3中的度數(shù)是____________；
（3）試探究的度數(shù)與正邊形邊數(shù)的關(guān)系（直接寫出答案）．
【方法三】 成果評(píng)定法
一．選擇題（共8小題）
1．（2023秋?永善縣期中）正六邊形繞著它的中心旋轉(zhuǎn)，若旋轉(zhuǎn)后的正六邊形能與自身重合，則旋轉(zhuǎn)角最小是
A．B．C．D．
2．（2023?懷化三模）如圖，、、是的切線，切點(diǎn)分別是、、．若，，則的長是
A．3B．4C．5D．6
3．（2023秋?五華區(qū)校級(jí)月考）如圖，為的內(nèi)切圓，，，，點(diǎn)，分別為，上的點(diǎn)，且為的切線，則的周長為
A．9B．7C．11D．8
4．（2023秋?金鄉(xiāng)縣期中）如圖，直線、、分別與相切于、、，且，若，，則的長等于
A．13B．12C．11D．10
5．（2023秋?南開區(qū)期末）如圖，正五邊形內(nèi)接于，為上一點(diǎn)，連接，，則的度數(shù)為
A．B．C．D．
6．（2023秋?東港區(qū)校級(jí)期中）如圖，，分別切與點(diǎn)，，切于點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，，若，則的周長是
A．B．C．D．
7．（2023秋?鹿城區(qū)校級(jí)期中）我國偉大的數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年撰《九章算術(shù)注》中指出，“周三徑一”不是圓周率值，實(shí)際上是圓內(nèi)接正六邊形周長和直徑的比值（如圖．劉徽發(fā)現(xiàn)，圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加時(shí)，多邊形的周長就無限逼近圓周長，從而創(chuàng)立“割圓術(shù)”，為計(jì)算圓周率建立起相當(dāng)嚴(yán)密的理論和完善的算法．如圖2，六邊形是圓內(nèi)接正六邊形，把每段弧二等分，可以作出一個(gè)圓內(nèi)接正十二邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連結(jié)，，交于點(diǎn)，若，則的長為
A．B．C．D．
8．（2023秋?瑞安市期中）剪紙藝術(shù)是我國的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，如圖是以正八邊形為背景圖形設(shè)計(jì)成的剪紙作品，記正八邊形的面積為．圖中陰影部分面積，則的值為
A．B．C．D．
二．填空題（共8小題）
9．（2023秋?沙河口區(qū)期中）如圖，、、是的切線，、、為切點(diǎn)，如果，，則的長為 ．
10．（2023?青海一模）如圖，與的邊、、分別相切于點(diǎn)、、，如果，，，那么的長為 ．
11．（2023秋?林州市期中）如圖，一圓內(nèi)切于四邊形，且，，則四邊形的周長為 ．
12．（2023秋?贛榆區(qū)期末）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于圓，連接AC，BE交于點(diǎn)F，則∠CFE的度數(shù)為 ．
13．（2023秋?濱城區(qū)期中）如圖，內(nèi)切于正方形，為圓心，作，其兩邊分別交，于點(diǎn)，，若，則的面積為 ．
14．（2023秋?西湖區(qū)期中）如圖，四邊形是的外切四邊形，且，，則四邊形的周長為 ．
15．（2023?明水縣模擬）若正方形的外接圓的半徑為4，則這個(gè)正方形內(nèi)切圓的半徑為 ．
16．（2023秋?浙江月考）如圖，將邊長為2的正五邊形沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)落在正五邊形內(nèi)部的處，則的長等于 ．
三．解答題（共6小題）
17．（2023秋?城西區(qū)校級(jí)月考）如圖，正外接圓的半徑為2，求正的邊長，邊心距，周長和面積．
18．（2023秋?富縣期中）如圖，點(diǎn)，分別是正五邊形的邊，上的點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，且．
（1）與全等嗎？為什么？
（2）求的度數(shù)．
19．（2023秋?平山縣期中）如圖，正六邊形內(nèi)接于．
（1）若是上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，求的度數(shù)；
（2）已知的面積為．
①求的度數(shù)；
②求的半徑．
20．（2023秋?河西區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知為的直徑，，是的切線，，為切點(diǎn)，．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，求的長（結(jié)果保留根號(hào)）．
21．（2023?豐順縣校級(jí)開學(xué)）如圖，是外的一點(diǎn)，、分別與相切于點(diǎn)、，是上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的切線分別交、于點(diǎn)、．
（1）若，求的周長；
（2）若，求的度數(shù)．
22．（2023秋?姑蘇區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖中，，以為直徑的交于，過作的切線交于點(diǎn)，，垂足為．
（1）求證：；
（2）若，，求的值．

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