第3講


講














解直角三角形


























概述





【教學(xué)建議】


本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生掌握解直角三角形的方法，規(guī)范解直角三角形的書寫格式等問題。在授課過程中，教師要注重易錯點(diǎn)的點(diǎn)撥，在解題時(shí)，要幫助學(xué)生積累一些基本的直角三角形模型。


學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)時(shí)可能會在以下三個(gè)方面感到困難：


1. 三角函數(shù)種類的選擇。


2. 三種類型直角三角形的解法。


3.實(shí)際問題中的解直角三角形。


【知識導(dǎo)圖】














教學(xué)過程








一、導(dǎo)入





【教學(xué)建議】


解直角三角形為中考必考內(nèi)容，至少有一道是解答題，常是利用解直角三角形的相關(guān)知識來解決實(shí)際問題。在解直角三角形的綜合題中，常與非特殊角結(jié)合在一起考，這種題幾乎是中考數(shù)學(xué)的必考題。在教學(xué)中，一要注意強(qiáng)調(diào)書寫格式問題；二是要給學(xué)生儲備典型的直角三角形模型（如：背靠背型和母子型等）。





二、知識講解








知識點(diǎn)1 已知兩邊解直角三角形











知識點(diǎn)2 已知一邊及一銳角解直角三角形











知識點(diǎn)3 已知一邊及一銳角三角函數(shù)值解三角形





教師和學(xué)生一起總結(jié)已知一邊及一銳角三角函數(shù)值解直角三角形的所有情況


一直角邊+其對角的三角函數(shù)值


一直角邊+其鄰角的三角函數(shù)值


一斜邊+任意一銳角的三角函數(shù)值





三、例題精析








例題1





【題干】如圖，已知一商場自動扶梯的長l為10米，該自動扶梯到達(dá)的高度h為6米，自動扶梯與地面所成的角為α，則tanα的值為（ ）。





A、 B、 C、 D、


【答案】C


【解析】在由自動扶梯構(gòu)成的直角三角形中，已知了坡面l和鉛直高度h的長，可用勾股定理求出坡面的水平寬度，進(jìn)而求出θ的正切值．


解：如圖；





在Rt△ABC中，AC=l=10米，BC=h=6米；


根據(jù)勾股定理，得：AB= =8米；


∴tanθ=；


故選C．





例題2





【題干】王英同學(xué)從A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再從B地向正南方向走200m到C地，此時(shí)王英同學(xué)離A地（ ）





A、50m B、100m C、150m D、100m


【答案】D


【解析】根據(jù)三角函數(shù)分別求AD，BD的長，從而得到CD的長．再利用勾股定理求AC的長即可．


解答：解：AD=AB?sin60°=50；


BD=AB?cs60°=50，∴CD=150．


∴AC==100．


故選D．





例題3





【題干】如圖，鐵路路基橫斷面為一個(gè)等腰梯形，若腰的坡度為i=2∶3，頂寬是3米，路基高是4米，則路基的下底寬是（ ）





A. 7米 B. 9米 C. 12米 D. 15米


【答案】D


【解析】








例題4





【題干】如圖，四邊形ABCD中，∠A=135°，∠B=∠D=90°，BC=2，AD=2，則四邊形ABCD的面積是（ ）





A.4B.4C.4 D.6


【答案】A


【解析】作輔作線，構(gòu)造直角三角形，根據(jù)題中所給的條件，在直角三角形中解題，根據(jù)角的正弦值與三角形邊的關(guān)系，可求出各邊的長，然后四邊形ABCD的面積．


分別延長CD，BA交于點(diǎn)E．





∵∠DAB=135°，


∴∠EAD=∠C=∠E=45°，


∴BE=BC=2，AD=ED=2，


∴四邊形ABCD的面積=S△EBC-S△ADE=BC?BE-AD?DE=6-2=4


故選D.








四 、課堂運(yùn)用





【教學(xué)建議】


在講解過程中，教師可以以中考真題入手，重點(diǎn)放在解直角三角形的三種類型上，先把例題講解清晰，再給學(xué)生做針對性的練習(xí)，注意基本模型的總結(jié)和積累。





基礎(chǔ)





1. 在Rt△ABC中，，，，則∠A的度數(shù)為（ ）。


A、90° B、60° C、45° D、30°


【答案】D


【解析】





2.如圖是固定電線桿的示意圖。已知：CD⊥AB，CDm，∠CAD=∠CBD=60°，則拉線AC的長是__________m。





【答案】6


【解析】根據(jù)∠CAD的正弦函數(shù)即可求得結(jié)果.


由圖可得sin∠CAD ，，解得


3.某水壩的坡度i＝1: ，坡長AB＝20米，則壩的高度為


A．10米B．20米C．40米D．20米


【答案】A


【解析】∵坡度i=1：，


∴設(shè)AC=x，BC=x，


根據(jù)勾股定理得，


AC2+BC2=AB2，


則x2+（x）2=202，


解得x=10．


故選A．





鞏固





1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，解這個(gè)直角三角形．


【答案】見解析


【解析】∵tanA==，


∴∠A=60°．


∠B=90°-∠A=90°-60°=30°．


AB=2AC=2．


2.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，已知sinA=，BD=2，求BC的長。





【答案】見解析


【解析】本題考查相似三角形的判定，性質(zhì)及三角函數(shù)的應(yīng)用


因?yàn)椋裕?br/>

又于點(diǎn)，則


所以


因?yàn)椋?br/>

因?yàn)?br/>

所以，又


所以，故


即





拔高





1.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分線AD=，求∠B的度數(shù)及邊BC、AB的長.





【答案】見解析


【解析】在Rt△ACD中，根據(jù)∠CAD的余弦函數(shù)即可求得∠CAD=30°，∠BAD=∠CAD=30°，從而得到∠CAB=60°，∠B=90°－∠CAB=30°，再根據(jù)∠B的正弦函數(shù)即可求得AB的長，從而求得BC的長.


在Rt△ACD中，∵cs∠CAD===，∠CAD為銳角.


∴∠CAD=30°，∠BAD=∠CAD=30°，即∠CAB=60°.


∴∠B=90°－∠CAB=30°.


∵sinB=，∴AB===16.


又∵csB=，


∴BC=AB·csB=16·=8.


2.熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30°，看這棟高樓底部的俯角為60°，熱氣球與高樓的水平距離為120m，問這棟高棟有多高？（結(jié)果精確到0.1m）





【答案】見解析


【解析】解：α=30°，β=60°，AD=120．


∵tanα=


∴BD=AD·tanα=120×tan30°=120×=4，


CD=AD·tanβ=120×tan60°=120×=120，


∴BC=BD+CD=40+120=160≈277.1．


答：這棟樓房約為277.1m．





3.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，tanB=cs∠DAC．


（1）求證：AC=BD;（2）若sinC=，BC=12，求AD的長．





【答案】見解析


【解析】在△ABC中，AD是BC邊上的高，


∴tanB=


又∵tanB=cs∠DAC．∴BD=AC．


（2）∵sinC=，設(shè)AD=12x，AC=13x，∴CD=5x，BD=13x，則BC=18x，


又∵BC=12，∴18x=12，即x=，


∴AD=8．











課堂小結(jié)





已知兩邊解直角三角形的方法；


2.已知一邊及一銳角解三角形的方法


3.已知一邊及一銳角三角函數(shù)值解三角形的方法











拓展延伸








基礎(chǔ)





1. 如圖，某飛機(jī)在空中A處探測到它的正下方地平面上目標(biāo)C，此時(shí)飛行高度AC＝1200m，從飛機(jī)上看到地平面指揮臺B的俯角α＝30°，則飛機(jī)A與指揮臺B的距離為（ ）





A.1200 m B.1200 m C.1200 m D.2400 m





【答案】D


【解析】利用∠B的正弦函數(shù)即可得到．


2. 如圖，水壩的橫斷面是梯形，背水坡AB的坡度為：1，坡長AB=20m，為加強(qiáng)水壩強(qiáng)度，將壩底從A處向后延伸到F處，使新的背水坡BF的坡度為1:1，求AF的長度（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）.





【答案】13


【解析】過B作BE⊥AD于E，在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝，


則∠BAE＝60°，∴AE＝BE＝10，BE＝30，tan∠BFE＝＝1，∴BE＝EF＝30，∴AF＝EF－AE＝30－10≈13 m





鞏固





1.如圖，輪船甲位于碼頭O的正西方向A處，輪船乙位于碼頭O的正北方向C處，測得∠CAO＝45°.輪船甲自西向東勻速行駛，同時(shí)輪船乙沿正北方向勻速行駛，它們的速度分別為45km/h和36km/h.經(jīng)過0.1h，輪船甲行駛至B處，輪船乙行駛至D處，測得∠DBO＝58°,此時(shí)B處距離碼頭O有多遠(yuǎn)？


（參考數(shù)據(jù)：，，）


【答案】13.5


【解析】設(shè)B處距離碼頭O有xkm，在Rt△CAO中，∠CAO＝45°.∵.


∴，在Rt△DBO中，∠DBO＝58°，


∵，∴，∵，


∴，∴，


因此，B處距離碼頭O大約13.5km.





2.如圖，某建筑物BC頂部有一旗桿AB，且點(diǎn)A，B，C在同一直線上，小紅在D處觀測旗桿頂部A的仰角為47°，觀測旗桿底部B的仰角為42°.已知點(diǎn)D到地面的距離DE為1.56m，EC＝21m，求旗桿AB的高度和建筑物BC的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.參考數(shù)據(jù)：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90.





【答案】20.5


【解析】如圖，根據(jù)題意，DE＝1.56，EC＝21，∠ACE＝90°，∠DEC＝90°，過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F，則∠DFC＝90°，∠ADF＝47°，∠BDF＝42°，可得四邊形DECF為矩形，∴DF＝EC＝21，F(xiàn)C＝DE＝1.56，在Rt△DFA中，tan∠ADF＝，∴AF＝DF·tan47°≈21×1.07＝22.47，在Rt△DFB中，tan∠BDF＝，∴BF＝DF·tan42°≈21×0.90＝18.90，于是，AB＝AF－BF≈22.47－18.90＝3.57≈3.6，BC＝BF＋FC≈18.90＋1.56＝20.46≈20.5.


答：旗桿AB的高度約為3.6m，建筑物BC的高度約為20.5m.





拔高





1.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，


（1）求的值；


（2）求sinA的值.





【答案】見解析


【解析】（1）在AC上取點(diǎn)E，使AE＝BE，則∠CEB＝30°，設(shè)BC＝1，則BE＝2，CE＝，


AC＝2＋，∴AB2＝（2＋）2＋1＝8＋4，AB＝（＋1）＝＋，＝2＋.


（2）sinA＝＝＝.





2.如右圖，已知纜車行駛線與水平線間的夾角α=30°，β=45°．小明乘纜車上山，從A到B，再從B到D都走了200米（即AB=BD=200米），請根據(jù)所給的數(shù)據(jù)計(jì)算纜車垂直上升的距離．（計(jì)算結(jié)果保留整數(shù)，以下數(shù)據(jù)供選用：sin47°≈0.7314，cs47°≈0.6820，tan47°≈1.0724）








【答案】見解析


【解析】在Rt△ABC中，AB=200米，∠BAC=α=30°，


∴BC=AB·sinα=200sin30°=100（米）．


在Rt△BDF中，BD=200米，∠DBF=β47°，


∴DF=BD·sinβ=200·sin47°≈200×0.7314=146.28（米）．


∴BC+DF=100+146.28=246.28（米）．


答：纜車垂直上升了246.28米．





3.施工隊(duì)準(zhǔn)備在一段斜坡上鋪上臺階方便通行，現(xiàn)測得斜坡上鉛垂的兩棵樹間水平距離


AB＝4米，斜面距離BC＝4.25米，斜坡總長DE＝85米.


(1)求坡角∠D的度數(shù).(結(jié)果精確到1°)


（2）若這段斜坡用厚度為17cm的長方體臺階來鋪，需要鋪幾級臺階？


(參考數(shù)據(jù)：，，，)





【答案】 見解析


【解析】（1），∴.


(2) 米，共需臺階級.











教學(xué)反思





適用學(xué)科
初中數(shù)學(xué)
適用年級
初中三年級
適用區(qū)域
北師版區(qū)域
課時(shí)時(shí)長（分鐘）
120
知識點(diǎn)
1.已知兩邊解三角形


2.已知一邊及一銳角解三角形


3.已知一邊及一銳角三角函數(shù)值解三角形
教學(xué)目標(biāo)
1.掌握解直角三角形的定義


2.掌握解直角三角形的方法
教學(xué)重點(diǎn)
能熟練掌握解直角三角形的方法
教學(xué)難點(diǎn)
能熟練掌握解直角三角形的方法
類型
已知
解法
兩邊
兩直角邊a，b
由tanA＝，求；＝90°－；c＝
一直角邊a，斜邊c
由sinA＝，求；＝90°－；b＝
一邊一銳角
一直角邊a，銳角A
＝90°－，b＝a．tanB，c＝
斜邊c，銳角A
＝90°－，a＝c．sinA，b＝c．csA
∵腰的坡度為i=2：3，路基高是4米，


∴DE=6米．


又∵EF=AB=3．


∴CD=6+3+6=15米．


故選D．
；


如圖所示: ，選D；

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4 解直角三角形

版本： 北師大版

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