第2講


講














特殊角（30°，45°，60°）的三角函數(shù)值


























概述





【教學建議】


本節(jié)的教學重點是讓學生理解、記憶一些特殊角（30°，45°，60°）的三角函數(shù)值并能進行相關的運算，能由三角函數(shù)值倒推一些特殊的角。在授課過程中，教師要注重易錯點的點撥，在解題時，要幫助學生積累一些基本的直角三角形模型，為下一節(jié)學習解直角三角形打下一定的模型鋪墊。


學生學習本節(jié)時可能會在以下三個方面感到困難：


1. 特殊三角函數(shù)值的記憶。


2. 特殊三角函數(shù)值的混合運算。


3.實際問題中的三角函數(shù)值的運用。


【知識導圖】


























教學過程








一、導入





【教學建議】


有關特殊角的三角函數(shù)值是中考的必考內容，常見的考法有兩種：一種是直接考特殊角三角函數(shù)值的相關運算；一種是在解直角三角形的綜合題中，與非特殊角結合在一起考，這種題幾乎是中考數(shù)學的必考題。在教學中，一要抓好學生的記憶關；二是要給學生儲備典型的直角三角形模型（如：背靠背型和母子型等）。





二、知識講解








知識點1 特殊角的三角函數(shù)值





注意：對于正弦值，分母都是2，分子按角度增加分別為，與．對于余弦值，分母都是2，分子按角度增加分別為，與．對于正切，60度的正切值為，當角度遞減時，分別將上一個正切值除以，即是下一個角的正切值．





知識點2 由特殊三角函數(shù)值求角











知識點3 三角函數(shù)值的計算





運算的順序：先乘方，再乘除，后加減；同級運算從左到右依次進行.


強調：（sin60°）2用sin260°表示，即為（sin60°）·（sin60°）．





三、例題精析








例題1





【題干】下列各式正確的是（ ）


A. cs600＜sin450＜tan450 B. sin450＜cs600＜tan450


C. cs600＜tan450＜sin450 D. tan450＜cs600＜sin450


【答案】A


【解析】根據特殊角的銳角三角函數(shù)值依次分析各選項即可作出判斷.


∵，，


∴


故選A.





例題2





【題干】已知α為銳角，sin（α﹣20°）=，則α=（ ）


A．20°B．40°C．60°D．80°





【答案】D


【解析】∵α為銳角，sin（α﹣20°）=，


∴α﹣20°=60°，


∴α=80°，


故選D．





例題3





【題干】計算5sin30°+2cs245°-tan260°的值是( )


A. B. C.- D.1


【答案】B


【解析】根據特殊角的銳角三角函數(shù)值計算即可得到結果.


5sin30°+2cs245°-tan260°


故選B.








例題4





【題干】當銳角a>60°時，csa的值（ ）


A．小于 B．大于 C．大于 D．大于1


【答案】A


【解析】解：當角為銳角時，角越大，則其余弦值越小.


故選A．





例題5





【題干】在△ABC中，若，則_______.


【答案】120°


【解析】因為，且，所以，又因為





四 、課堂運用





【教學建議】


在講解過程中，教師可以以中考真題入手，重難點放在特殊角的三角函數(shù)值及其運算上，先把例題講解清晰，再給學生做針對性的練習，注意基本模型的積累。





基礎





1. 計算sin45°的結果等于( )


A. B.1 C. D.


【答案】B


【解析】原式=×=1．故選B．


2.若0°＜α＜90°，且4sin2α﹣3=0，則α等于（ ）


A.30° B.45° C.60° D.90°





【答案】C


【解析】根據0°＜α＜90°可知α為銳角，再根據sin60°=即可求解．


解：0°＜α＜90°，4sin2α﹣3=0，∴sinα=．∴α=60°．


故選C．


3.計算：tan60°+2sin45°﹣2cs30°的結果是（ ）


A．2 B． C． D．1


【答案】C


【解析】原式=+﹣=．


故選：C．





鞏固





1.sin60°的相反數(shù)是（ ）。


A． B． C． D．


【答案】C


【解析】根據特殊角的銳角三角函數(shù)值及相反數(shù)的定義求解即可.


，相反數(shù)為，故選C.


2.若0°＜α＜90°，且4sin2α﹣3=0，則α等于（ ）


A.30° B.45° C.60° D.90°


【答案】C


【解析】根據0°＜α＜90°可知α為銳角，再根據sin60°=即可求解．


解：0°＜α＜90°，4sin2α﹣3=0，∴sinα=．∴α=60°．


故選C．


3.RtΔABC中,∠C=900,sinA和csB是關于x的方程kx2－kx+1=0的兩個根,求∠B的度數(shù).


【答案】見解析


【解析】sinA和csB是關于x的方程kx2－kx+1=0的兩個根，由根與系數(shù)的關系有





因，所以，所以，于是


所以有，即


因為，所以





拔高





1.如圖，∠POQ=90°，邊長為2cm的正方形ABCD的頂點B在OP上，C為CQ上，且∠OBC=30°，分別求點A，D到OP的距離．





【答案】見解析


【解析】過點A、D分別作AE⊥OP，DF⊥OP，DG⊥OQ，垂足分別為E、F、G．


在正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°．∵∠OBC=30°，∴∠ABE=60°．


在Rt△AEB中，AE=AB·sin60°=2×=（cm）．∵四邊形DFOG是矩形，∴DF=GO．


∵∠OBC=30°，∴∠BCO=60°，∴∠DCG=30°．


在Rt△DCG中，CG=CD·cs30°=2×=（cm）．在Rt△BOC中，OC=BC=1．


2.先化簡，再求值：，其中x＝2sin60°＋1．


【答案】見解析


【解析】原式


。當x＝2sin60°＋1＝＋1時，原式


3.在△ABC中，AD是BC邊上的高，∠B=30°，∠C=45°，BD=10，求AC．


【答案】見解析


【解析】∵AD是BC邊上的高，∴△ABD和△ACD都是直角三角形．


∵=tan30°，BD=10， ∴AD=． ∴=sinC，


∴AC=








課堂小結





特殊角的三角函數(shù)值：（填表并畫出相應的示意圖）








特殊角的三角函數(shù)值得運算：


注意：（sin60°）2用sin260°表示，即為（sin60°）·（sin60°）．











拓展延伸








基礎





1. 2sin60°的值等于（ ）


A．1 B． C． D．


【答案】C


【解析】2sin60°=2×=，故答案選C．


2. 計算：tan60°+2sin45°﹣2cs30°的結果是（ ）


A．2 B． C． D．1


【答案】C


【解析】原式=+﹣=．


故選：C．





在△ABC中，若|csA－|＋(1－tanB)2＝0，則∠C的度數(shù)是( )


A．45° B．60° C．75° D．105°


【答案】C．


【解析】根據三角函數(shù)值倒推角，易得∠A和∠B的度數(shù)，從而求得∠C的度數(shù).





鞏固





1.在△ABC中，∠A＝30°， sinB＝，AC＝2，則AB＝ ．


【答案】4


【解析】據三角函數(shù)值倒推角，∠B的度數(shù),從而確定∠C的度數(shù)，然后根據三角函數(shù)易得AB=4.


2.計算：()－1＋4cs60°－|－3|＋


【答案】4


【解析】把特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可.


3.已知sinA，sinB是方程4x2-2mx+m-1=0的兩個實根，且∠A，∠B是直角三角形的兩個銳角，求：


（1）m的值；（2）∠A與∠B的度數(shù)．


【答案】 見解析


【解析】根據根與系數(shù)的關系以及直角三角形中兩個銳角三角函數(shù)之間的關系，易得：m=2+1，∠A=45° ，∠B=45°.





拔高





1.如圖1，將正方形紙片ABCD對折，使AB與CD重合，折痕為EF．如圖2，展開后再折疊一次，使點C與點E重合，折痕為GH，點B的對應點為點M，EM交AB于N，求tan∠ANE的值．








【答案】見解析


【解析】設正方形的邊長為2a， DH＝x，則CH ＝2a－x，由翻折的性質，DE＝AD＝×2a＝a．EH＝CH＝2a－x，在Rt△DEH中，DE2 ＋DH2＝EH2，即a2＋x2＝(2a－x)2，解得x＝a，∵∠MEH＝∠C＝90°，∴∠AEN＋∠DEH＝90°∵∠ANE＋∠AEN＝90°∴∠ANE＝∠DEH，∴tan∠ANE＝tan∠DEH＝＝＝


2.先化簡，再求值：（1－）÷，其中=sin60°.


【答案】 見解析


【解析】先通分，然后進行四則運算，最后將a=sin60°=1/2代入即可求得答案．


解：原式=（－）· = ·=+1


把=sin60°=代入


原式==


3.如圖，由于水資源缺乏，B、C兩地不得不從黃河上的揚水站A處引水，這就需要在A、B、C之間鋪設地下輸水管道．有人設計了三種鋪設方案：如圖（1）、（2）、（3），圖中實線表示管道鋪設線路，在圖（2）中，AD⊥BC于D；在圖（3）中，OA=OB=OC．為減少滲漏，節(jié)約水資源，并降低工程造價，鋪設線路應盡量縮短．已知△ABC恰好是一個邊長是a的等邊三角形，請你通過計算，判斷哪個鋪設方案最好．








【答案】 見解析


【解析】（1）所示方案的線路總長為AB+BC=2a．


（2）在Rt△ABD中，AD=ABsin60°=a，


∴（2）所示方案的線路總長為AD+BC=（+1）a．


（3）延長AO交BC于E，∵AB=AC，OB=OC，∴OE⊥BC，BE=EC=．


在Rt△OBE中，∠OBE=30°，OB==a．


∴（3）所示方案的線路總長為OA+OB+OC=3OB=a．


比較可知，a

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初中數(shù)學北師大版九年級下冊電子課本

2 30°、45°、60°角的三角函數(shù)值

版本： 北師大版

年級： 九年級下冊

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