一、解答題（共6小題；共100分）


1. 如圖，已知拋物線 經(jīng)過 的三個頂點，其中點 ，點 ， 軸，點 是直線 下方拋物線上的動點．





（1）求拋物線的解析式；


（2）過點 且與 軸平行的直線 與直線 ， 分別交于點 ，，當(dāng)四邊形 的面積最大時，求點 的坐標(biāo)；


（3）當(dāng)點 為拋物線的頂點時，在直線 上是否存在點 ，使得以 ，， 為頂點的三角形與 相似，若存在，求出點 的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．





2. 某水果店出售一種水果，每只定價 元時，每周可賣出 只．試銷發(fā)現(xiàn)以下兩種情況：


情況 ：如果每只水果每降價 元，那么每周可多賣出 只；


情況 ：如果每只水果每漲價 元，那么每周將少賣出 只．


（1）根據(jù)情況 ，如何定價，才能使一周銷售收入最多?


（2）如果物價局規(guī)定該種水果每只價格只能在 元 元之間（包括 元與 元）那么根據(jù)以上兩種情況，你認(rèn)為應(yīng)當(dāng)如何定價才能使一周銷售收入最多?并說明理由．





3. 如圖，已知拋物線 與 軸交于 、 兩點，與 軸交于點





（1）求點 ，， 的坐標(biāo)；


（2）點 是此拋物線上的點，點 是其對稱軸上的點，求以 ，，， 為頂點的平行四邊形的面積；


（3）此拋物線的對稱軸上是否存在點 ，使得 是等腰三角形?若存在，請求出點 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．





4. 某科技開發(fā)公司研制出一種新型產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為 元，銷售單價定為 元．在該產(chǎn)品的試銷期間，為了促銷，鼓勵商家購買該新型產(chǎn)品，公司決定商家一次購買這種新型產(chǎn)品不超過 件時，每件按 元銷售；若一次購買該種產(chǎn)品超過 件時，每多購買一件，所購買的全部產(chǎn)品的銷售單價均降低 元，但銷售單價均不低于 元．


（1）商家一次購買這種產(chǎn)品多少件時，銷售單價恰好為 元?


（2）設(shè)商家一次購買這種產(chǎn)品 件，開發(fā)公司所獲的利潤為 元，求 （元）與 （件）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 的取值范圍；


（3）該公司的銷售人員發(fā)現(xiàn)：當(dāng)商家一次購買產(chǎn)品的件數(shù)超過某一數(shù)量時，會出現(xiàn)隨著一次購買的數(shù)量的增多，公司所獲的利潤反而減少這一情況．為使商家一次購買的數(shù)量越多，公司所獲的利潤越大，公司應(yīng)將最低銷售單價調(diào)整為多少元（其他銷售條件不變）?





5. 如圖，拋物線 與 軸交于 ， 兩點（ 在 的左側(cè)），與 軸交于點 ，已知對稱軸 ．





（1）求拋物線 的解析式；


（2）將拋物線 向下平移 個單位長度，使平移后所得拋物線的頂點落在 內(nèi)（包括 的邊界），求 的取值范圍；


（3）設(shè)點 是拋物線 上任意一點，點 在直線 上， 能否成為以點 為直角頂點的等腰直角三角形?若能，求出符合條件的點 的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．





6. 如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 經(jīng)過 、 、 三點，其頂點為 ，連接 ，點 是線段 上一個動點（不與 、 重合），過點 作 軸的垂線，垂足點為 ，連接 ．





（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點 的坐標(biāo)；


（2）如果 點的坐標(biāo)為 ， 的面積為 ，求 與 之間的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量 的取值范圍，并求出 的最大值；


（3）在（2）的條件下，當(dāng) 取到最大值時，過點 作 軸的垂線，垂足為 ，連接 ，把 沿直線 折疊，點 的對應(yīng)點為點 ，求出 的坐標(biāo)，并判斷 是否在該拋物線上．





答案


第一部分


1. （1） 因為點 ， 在拋物線上，


所以


解得


所以拋物線的解析式為 .


（2） 因為 軸，．


所以 ，


所以 ，，


所以點 的坐標(biāo) ，


因為點 ，，


所以直線 的解析式為 ，


設(shè)點


所以 ，


所以 ，


因為 ，，


所以





因為 ，


所以當(dāng) 時，四邊形 的面積的最大值是 ，


此時點 ．


（3） 因為 ，


所以 ，


所以 ，，


所以 ，


所以 .


同理可得：，


所以 ，


所以在直線 上存在滿足條件的 ，


設(shè) 且 ，， .


因為以 ，， 為頂點的三角形與 相似，


①當(dāng) 時，


所以 ，


所以 ，


所以 ，


所以 .


②當(dāng) 時，


所以 ，


所以 ，


所以 ，


所以 ．


2. （1） 根據(jù)情況 ，設(shè)當(dāng)每只定價為 元時，一周銷售收入為 元．


，


當(dāng) 時， 有最大值，最大值為 元，


答：當(dāng)定價為 元時，一周銷售收入最多，最多為 元．


（2） 根據(jù)情況 ，設(shè)當(dāng)每只定價為 元時，一周銷售收入為 元．


，


當(dāng) 時， 有最大值，最大值為 元，


當(dāng) 時， 隨 的增大而增大，


因此當(dāng) 時， 最大，最大值為 ．


答：當(dāng)定價為 元時，一周銷售收入最多，最多為 元．


3. （1） 令 得 ，


，


或 ，


點 坐標(biāo) ，點 坐標(biāo) ，


令 ，得 .


點 坐標(biāo) ．


（2） ①由圖象可知當(dāng) 為平行四邊形的邊，


，對稱軸 ，


點 的橫坐標(biāo)為 或 ，


點 坐標(biāo) 或 ，此時點 ，


以 ，，， 為頂點的平行四邊形的面積 ．


②當(dāng) 為四邊形的對角線時，點 在頂點 處，四邊形為菱形，其面積為 ．


（3） 如圖所示，





①當(dāng) 為頂點時，，，作 于 .


在 中，


，


點 坐標(biāo) ，點 坐標(biāo) ．


②當(dāng) 為頂點時，


直線 解析式為 ，


線段 的垂直平分線為 ，


點 坐標(biāo)為 ．


③當(dāng)點 為頂點的等腰三角形不存在．


點的坐標(biāo)為 或 或 ．


4. （1） 設(shè)商家一次購買該種產(chǎn)品 件時，銷售單價恰好為 元．


根據(jù)題意得





解得





答：商家一次購買該種產(chǎn)品 件時，銷售單價恰好為 元．


（2） 當(dāng) 時，；


當(dāng) 時，；


當(dāng) 時，．


（3） 由 可知拋物線開口向下，


當(dāng) 時，獲得最大利潤．


此時，銷售單價為 （元）．


答：公司應(yīng)將最低銷售單價調(diào)整為 元．


5. （1） 因為拋物線的對稱軸 ，，


所以 ，


因為拋物線 過點 ，


所以當(dāng) 時，．


又因為拋物線 過點 ，，


所以


所以


所以拋物線的解析式為：．


（2） 因為 ，，


所以直線 解析式為 ，


因為 ，


所以頂點坐標(biāo)為 ，


因為對于直線 ，當(dāng) 時，；將拋物線 向下平移 個單位長度，


所以當(dāng) 時，拋物線頂點落在 上；當(dāng) 時，拋物線頂點落在 上，


所以將拋物線 向下平移 個單位長度，使平移后所得拋物線的頂點落在 內(nèi)（包括 的邊界），則 ．


（3） 設(shè) ，，


①當(dāng) 點在 軸上方時，過 點作 垂直于 軸，交 軸與 點，過 點作 垂直于 的延長線于 點，如圖1．





因為 ，


所以 是以點 為直角頂點的等腰直角三角形，


所以 ，，則 ，，


在 和 中，





所以 ，


所以 ，


因為 ，根據(jù) 點坐標(biāo)可得 ，且 ，


所以 ，


解得： 或 ，


所以 或 ．


②當(dāng) 點在 軸下方時，過 點作 垂直于 于 點，過 點作 垂直于 的延長線與 點，如圖 2．





同理可得 ，


所以 ，


所以 ，，則 ，


解得 ．


所以 或 ．


綜上可得，符合條件的點 的坐標(biāo)是 ，， 或 ．


6. （1） 拋物線 經(jīng)過 、 、 三點，





解得


解析式為 ．


，


拋物線頂點坐標(biāo) 為 ．


（2） ，，


設(shè)直線 的解析式為 ，有


解得


直線 的解析式：．


在直線 上，


，


，


當(dāng) 時， 取最大值 ．


（3） 如圖所示，設(shè) 與 軸交于點 ，過 作 軸于點 ，





沿 翻折得 ，且 ，


，，．


軸，


．


，


，


．


設(shè) ，則 ，．


在 中，


，


．


，


．


在 中，


，


，


．


當(dāng) 時，．


點 不在該拋物線上．


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