模塊二  三角形的邊和角1．三角形的邊三角形三邊關(guān)系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊. 三角形三邊關(guān)系定理的推論:三角形任意兩邊之差小于第三邊．即a、b、c三條線段可組成三角形兩條較小的線段之和大于最大的線段．注意：在應(yīng)用三邊關(guān)系定理及推論時，可以簡化為：當三條線段中最長的線段小于另兩條線段之和時，或當三條線段中最短的線段大于另兩條線段之差時，即可組成三角形．      2．三角形的角定  義示例剖析三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于.如圖，在中，．三角形內(nèi)角和定理的三個推論：①推論1：直角三角形的兩個銳角互余．②推論2：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．③推論3：三角形的一個外角大于任意一個和它不相鄰的內(nèi)角．如：外角，，．，，，三角形的外角和：每個頂點處取一個外角再相加，叫三角形的外角和．三角形的外角和等于．注意：三角形的外角與相鄰的內(nèi)角互為鄰補角，因為每個內(nèi)角均有兩個鄰補角，因此三角形共有六個外角，其中有三個與另外三個相等.每個頂點處的兩個外角是相等的．∠1+∠2+∠3=360°
模塊三  三角形中三條重要的線段定  義示例剖析三角形的角平分線：①定義：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線．②性質(zhì)：三角形的三條角平分線交于一點．線段AD為的一條角平分線三角形的中線：①定義：在三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段，叫做這個三角形的中線．②性質(zhì)：三角形的三條中線交于一點．線段AD為BC邊上的中線三角形的高：①定義：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高．②性質(zhì)：銳角三角形的高均在三角形內(nèi)部，三條高的交點也在三角形的內(nèi)部；鈍角三角形有兩條高落在三角形的外部，三條高所在直線的交點也在三角形的外部；直角三角形有兩條高分別與兩條直角邊重合，三條高的交點是三角形的直角頂點．總結(jié)：直角三角形的三條高所在直線交于一點．線段AD為BC邊上的高（1）木工師傅在做完門框后，為防止變形常常像圖中所示那樣釘上兩條斜拉的木板條（即圖中的AB和CD），這樣做的根據(jù)是（　?。?/span>A．矩形的對稱性      B．矩形的四個角都是直角C．三角形的穩(wěn)定性     D．兩點之間線段最短 （2）試通過畫圖來判定，下列說法正確的是（　?。?/span>A．一個直角三角形一定不是等腰三角形  B．一個等腰三角形一定不是銳角三角形C．一個鈍角三角形一定不是等腰三角形  D．一個等邊三角形一定不是鈍角三角形（1）C；（2）D．【教師備課提示】這道題主要考查三角形的基本概念．
（1）兩根木棒的長分別是7cm和10cm，要選擇第三根木棒，將它們釘成一個三角形，若第三根木棒的長是a cm，則a的取值范圍是___________． （2）下列不能構(gòu)成三角形三邊長的數(shù)組是（    ）A．、、         B．、、  C．、、        D．、、 （3）（七中育才半期）有3cm、6cm、8cm、9cm的四條線段，任選其中的三條線段組成一個三角形，則最多能組成三角形的個數(shù)為（    ）A．1    B．2     C．3     D．4（1）；（2）D；（3）C．（1）已知三角形中兩邊長為2和7，若這個三角形的周長為奇數(shù)，則第三邊長為_____． （2）a、b、c為三角形的三邊長，化簡       ．（1）第三邊長x的取值范圍是，由周長為奇數(shù)，可知x為偶數(shù)，所以第三邊的長為6或8．（2）．（1）若三角形的周長為60，求最大邊的范圍． （2）設(shè)m、n、p均為自然數(shù)，足，，試問以m、n、p為邊長的三角形有多少個?（1）設(shè)最大邊為a，另外兩邊為b和c，則，，，∴．∴．．
（2）∵三角形三邊關(guān)系定理，知，即，∴∵，，∴，∴∵p為自然數(shù)，∴p可取5、6、7當時，，；，；，；，；當時，，；，；當時，，．綜上所述，以m、n、p為三邊長的三角形共有7個．【教師備課提示】例2—例4主要考查三角形三邊關(guān)系．（1）（青羊區(qū)期末）如圖5-1，一個角的三角形紙片，剪去這個角后，得到一個四邊形，則的度數(shù)為（    ）A．              B．              C．               D． （2）如圖5-2，中，D為BC上點，，，，則的度數(shù)          ．            圖5-1                               圖5-2 （3）若一個三角形的三個外角的度數(shù)之比為，那么這個三角形是（    ）A．銳角三角形       B．直角三角形       C．鈍角三角形       D．不能確定（1）A；（2）100°；（3）C．已知：如圖，中，，，于D，CE是的平分線，BD與CE交于點F，求、的度數(shù)．∵（三角形內(nèi)角和定理），∴．
∵，∴．  ∴（直角三角形的兩個銳角互余）． ∴．  ∵CE是的平分線，∴,∴（三角形外角性質(zhì)）．如圖，由圖7-1的沿折疊得到圖7-2，圖7-3，圖7-4.（1）如圖7-2，猜想與的關(guān)系，并說明理由；（2）如圖7-3，猜想和與的關(guān)系，并說明理由；（3）如圖7-4，猜想和與的關(guān)系，無需說明理由．         圖7-1             圖7-2              圖7-3            圖7-4（1）；證明：∵（三角形內(nèi)角和），，（平角度數(shù)）；∴（等量代換）；∴．（2），證明略．（3）．【教師備課提示】例5—例7主要考查三角形內(nèi)外角的關(guān)系．（1）（嘉祥半期）如圖，在中，，G為AD的中點，延長BG交AC于E，F為AB上的一點，于H．下列判斷正確的有（    ）A．AD是的角平分線　　　　　　B．BE是邊AD上的中線C．CH為邊AD上的高　　　　　D．AH為的角平分線
（2）下列說法正確的是（　　）A．三角形的角平分線、中線和高都是線段  B．直角三角形只有一條高線C．三角形的中線可能在三角形的外部   D．三角形的高的交點在三角形內(nèi)部（1）C；（2）A．【教師備課提示】這道題主要考查三角形三條重要線段的概念．（1）如圖，CH、AD分別為的高與中線，若的面積為2，，則_________． （2）已知的高為AD，，，則的度數(shù)為______． （3）在中，，AC邊上的中線BD把的周長分成12cm和15cm兩部分，則三角形的各邊的長為_____________．（1）；（2）或；（3）8cm，8cm，11cm或10cm，10cm，7cm．【教師備課提示】這道題主要考查三角形中高和中線的計算．（1）如圖10-1，BO、CO分別是中和的平分線，則與的關(guān)系是____________________（直接寫出結(jié)論）； （2）如圖10-2，BO、CO分別是兩個外角和的平分線，則與的關(guān)系是____________________，請證明你的結(jié)論． （3）如圖10-3，BO、CO分別是一個內(nèi)角和一個外角的平分線，則與的關(guān)系是____________________，請證明你的結(jié)論．圖10-1                   圖10-2                   圖10-3
（1）；（2）；證明：∵BD平分  ∴同理可證：∴ ∵，∴∴  （3）  證明：∵CO平分，BO平分∴，∵是的外角，∴ ∵是的外角，∴，∴．【教師備課提示】這道題主要考查三角形中角平分線的角度關(guān)系，希望孩子們可以自己推導出以后會經(jīng)常應(yīng)用．不等邊三角形ABC的兩條高長度為4和12，若第三條高的長也是整數(shù)，試求它的長．設(shè)第三邊c邊上高為h，三角形面積為S，高為4，12的兩邊為a，b，則有，，，．據(jù)三角形三邊關(guān)系定理及推論，得，．為整數(shù)，所以或5．又三角形為不等邊三角形，．
（1）如圖，一扇窗戶打開后，用窗鉤BC可將其固定，這里所運用的幾何原理是（    ）A．三角形的穩(wěn)定性             B．兩點之間線段最短C．兩點確定一條直線           D．垂線段最短 （2）下列長度的三條線段能組成三角形的是（    ）．A．1cm，2cm，5cm        B．4cm，5cm，9cmC．5cm，8cm，15cm 　    D．6cm，8cm，9cm （3）下列線不能組成三角形的是（    ）
A．2，2，3，         B．2，3，4C．32，42，52         D．（1）A；（2）D；（3）C．（1）若三角形的三邊長為3，4，，則偶數(shù)的值有           ． （2）已知三角形的兩邊為8、10，則周長l的范圍為           ． （3）一個三角形的周長是偶數(shù)，其中的兩條邊分別是3和2011，則三角形的第三邊是             ． （4）已知、、為三角形的三邊長，化簡       ．（1）2，4，6；（2）；（3）設(shè)第三邊邊長為a，且，又周長為偶數(shù)，故或2012.（4）∵三角形任意兩邊之和大于第三邊∴，， ∴原式．
周長為30，各邊長互不相等且都是整數(shù)的三角形共有多少個？設(shè)三角形的三邊長為、、，且，則有故，；又，，即當時，有5組解：，；，；，；，；，；當時，有組解：，；，；，；，；當時，有2組解：，；，； 當時，有1組解：，；故周長為30，各邊長互不相等且都是整數(shù)的三角形共有12個．（1）中，，則________． （2）在中，若，，則   　　　   ．（3）如圖，的高CD、BE相交于O，如果，那么的度數(shù)為（　　）A．        B．  C．       D．  （1）；（2）105°；（3）C．（1）下列命題錯誤的是（　?。?/span>A．三角形的中線將三角形分成兩個面積相等的三角形B．三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角C．三角形的中線、高線和角平分線都在三角形內(nèi)部D．三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形沒有穩(wěn)定性
（2）如圖，BD和CE是的高，BD和CE交于H，已知，，則        ．（1）C；（2）.（1）如圖6-1，中，，，BP平分，CP平分．則的度數(shù)______________． （2）如圖6-2，點M是兩個內(nèi)角平分線的交點，點N是兩個外角平分線的交點，如果，則的度數(shù)為（　?。?/span>A．     B．    C．    　  D． （3）如圖6-3所示，，的內(nèi)角平分線交于點O，的內(nèi)角平分線與的外角平分線交于點D，與的相鄰?fù)饨瞧椒志€交于點E，且，則______，_______，_______． 圖6-1　　　　　　　　圖6-2　　　　　　　  　　　圖6-3（1）；（2）A；（3），，．  
                   

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