模塊三  多邊形1．多邊形的基本概念：（1）定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形．（2）要素：頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、外角、對(duì)角線內(nèi)角：、、、、……外角：對(duì)角線：連接不相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的線段是多邊形的對(duì)角線．如BD.n邊形對(duì)角線條數(shù)：條（3）分類：凸、凹多邊形：多邊形的每一邊都在任何一邊所在直線的同一側(cè)，叫做凸多邊形；反之叫做凹多邊形．（如圖）（4）正多邊形：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形（如圖正六邊形）    多邊形     凸多邊形     凹多邊形正六邊形2．多邊形的內(nèi)角和：（1）結(jié)論：n邊形內(nèi)角和等于．（2）證明：①過n邊形一個(gè)頂點(diǎn)，連對(duì)角線，可以得條對(duì)角線，并且將n邊形分成個(gè)三角形，這個(gè)三角形的內(nèi)角和恰好是多邊形的內(nèi)角和．②在n邊形邊上取一點(diǎn)與各頂點(diǎn)相連，得個(gè)三角形，n邊形內(nèi)角和等于這個(gè)三角形內(nèi)角和減去在所取的一點(diǎn)處的一個(gè)平角，即．③在n邊形內(nèi)部取一點(diǎn)與n邊形各頂點(diǎn)相連，得n個(gè)三角形，這n個(gè)三角形所有內(nèi)角之和為，故n邊形內(nèi)角和等于．3．多邊形的外角和：（1）結(jié)論：多邊形外角和等于360°．（2）證明：如圖：，，，……等式右邊共有n個(gè)相加，代表n邊形的內(nèi)角和，即．
（1）如圖1-1，中，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，過D作于E，交AC于F．已知，，則的度數(shù)為___________． （2）如圖1-2，，則          ． （3）如圖1-3，則___________．      圖1-1                 圖1-2                    圖1-3（1）；（2）；（3）．【教師備課提示】這道題主要考查三角形兩大模型的基礎(chǔ)倒角問題——找模型．（1）飛鏢模型：找燕尾；（2）“8”字模型：找×字．（1）如圖2-1，則           ． （2）如圖2-2，則           ．          圖2-1                                 圖2-2（1）本題既可按“8字模型”來考慮，也可按照飛鏢模型來做，也可以應(yīng)用外角定理來解決，此題可以鍛煉學(xué)生一題多解，熟練靈活的應(yīng)用．
①如圖1，連接，應(yīng)用“8字模型”，.②如圖2，應(yīng)用飛鏢模型，∵∵，∴③如圖3，應(yīng)用外角定理，∵又∵，∴圖1                 圖2                   圖3（2）法一：∵∠A+∠B=∠5+∠6       ①∠C+∠D=∠4+∠6         ②∠E+∠F=∠4+∠5         ③①+②+③=2（∠4+∠5+∠6），∵．∴．法二：∵，           ①，               ②．                ③而，，，且．  ④∴①+②+③④得，法三：連接，∴【教師備課提示】這道題相對(duì)復(fù)雜，鍛煉孩子們找模型的能力和倒角能力，一題多解．（1）如圖3-1，已知，，則        ． （2）如圖3-2，則        ．                圖3-1                              圖3-2（1）；利用兩次“8”字模型．（2）；連接BD，利用兩次飛鏢模型．【教師備課提示】這道題主要需要孩子們自己連接輔助線，鍛煉倒角能力．
如圖，已知，BO平分，DO平分，        ．．已知：如圖，，AM，CM分別平分和．（1）求的大?。?/span>（2）當(dāng)，為任意角時(shí)，探索與，間的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)你的結(jié)論加以證明．（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，在和中，，，∴    ①  同理    ②∵，， ∴①+②得，即（2）當(dāng)、為任意角時(shí)，，證明：根據(jù)三角形外角性質(zhì)，可得：，，∴，∴又∵、分別平分、∴，， ∴∴，即【教師備課提示】例4—例5主要考查兩大模型的拓展，自己拓展出結(jié)論．
如圖，AC、BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，且AC、BD相交于點(diǎn)O．求證：（1）；  （2）．（1）在中，，在中，，兩不等式相加得，∴即 （2）應(yīng)用上題的結(jié)論：，，∴．三角形不等式是指一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)度之和大于第三邊的長(zhǎng)度．在下圖中，E位于線段CA上，D位于線段BE上．（1）說明為什么．（2）說明為什么．（3）與，哪一個(gè)更大？證明你的答案；（4）與，哪一個(gè)更大？證明你的答案．（1）由三角形三邊關(guān)系，．（2）由三角形三邊關(guān)系，．因此， ．（3）由三角形三邊關(guān)系，，，以及，將三個(gè)不等式相加，得．（4）由（2）可知．類似可得，以及．將這三個(gè)不等式相加，可得，即．【教師備課提示】例6—例7主要考查兩大模型和邊長(zhǎng)的關(guān)系．
（1）下列平面圖形            不具有穩(wěn)定性．（黑點(diǎn)表示連接點(diǎn)）A．              B．              C．              D．（2）科技館為某機(jī)器人編制一段程序，如果機(jī)器人在平地上按照?qǐng)D示中的步驟行走，那么該機(jī)器人所走的總路程為（    ）A．6米          B．8米C．12米                 D．不確定 （3）m邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有7條對(duì)角線，n邊形沒有對(duì)角線，k邊形對(duì)角線條數(shù)等于邊數(shù)，則
         ．（1）C．提示：三角形具有穩(wěn)定性．（2）B．多邊形的外角和為，每個(gè)外角為，則，故多邊形邊數(shù)為，則周長(zhǎng)為．（3）m邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有7條對(duì)角線，所以，則；沒有對(duì)角線的多邊形顯然是三角形，則；k邊形條數(shù)與其邊數(shù)相等，即，所以．故．（1）若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（    ）A．5    B．6    C．7    D．8 （2）若一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角是，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（    ）A．10      B．9     C．8    D．6 （3）一個(gè)多邊形內(nèi)角和是外角和的4倍，那么這是（    ）邊形.A．10     B．22      C．15       D．8 （4）如果一個(gè)五邊形的4個(gè)內(nèi)角都是，則第5個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是         ．
（5）一個(gè)凸多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于，那么，從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)是          ．（1）B；（2）B.（3）A．設(shè)多邊形的邊數(shù)為，由題意得，解得．（4）.（5）6．每個(gè)外角為，邊數(shù)為，則每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)得到對(duì)角線的條數(shù)：．（1）一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角中，最多有　　　個(gè)銳角． （2）一個(gè)凸n邊形，除一個(gè)內(nèi)角外，其余個(gè)內(nèi)角的和是，則n的值為      ．（1）3．（2）由凸邊形的內(nèi)角得，，解不等式的，故．如圖，求六個(gè)角的和.              連接DE、EF，BE與DG的交點(diǎn)為O∵三角形內(nèi)角和等于，
∴， ∵，∴同理∴．如圖所示，在中，，在上，，是上的任意一點(diǎn)，求證．             作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)落在線段CD上．連接交于點(diǎn)，連接．由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可得，．在中，，在中，．因此，所以．如圖，在三角形ABC中，，為三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié)AP，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D. 求證：（1）；（2）.                   
（1）∵，∴∵，∴，∴∵，∴（2）過點(diǎn)作，交、于、，則，由（1）知∵，∴即幾何證明中后一問常常要用到前一問的結(jié)論.
（1）如圖1-1，已知，，，則__________．（2）如圖1-2，，，則___________．              圖1-1                                  圖1-2（1）130°；（2）10°．（1）如圖2-1，__________．（2）如圖2-2，__________．                 圖2-1                                圖2-2（1）；（2）連接BC，∵（對(duì)頂角相等）∴（等量減等量差相等）∴（等量代換），∵（三角形內(nèi)角和定義），∴（等量代換）．
將圖3-1中線段AD上一點(diǎn)E（點(diǎn)A、D除外）向下拖動(dòng)，依次可得圖3-2、圖3-3、圖3-4．分別探究圖3-2、圖3-3、圖3-4中、、、、（）之間有什么關(guān)系？圖3-1          圖3-2              圖3-3            圖3-4探究圖3-2、圖3-3、圖3-4可得：（或）圖3-2中：證明：，．∵，∴即圖3-3中：同上可證圖3-4中：同上可證（1）已知如圖4-1所示，在圖形ABCDEFG中，若BC//FG，則          ． （2）如圖4-2所示， 的值等于         ． （3）如圖4-3所示， 的度數(shù)為         ．             圖4-1                 圖4-2                  圖4-3（1），，．
（2）連接、，設(shè)與交于，與交于.由，，而，所以，原式.（3）所以．已知，如圖，P，Q為三角形ABC內(nèi)兩點(diǎn)，B，P，Q，C構(gòu)成凸四邊形．
求證：．           作直線PQ，分別與AB，AC交于點(diǎn)M，N由三角形的三邊關(guān)系可得①+②+③得∴，即．（1）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是       ． （2）一凸n邊形最小的內(nèi)角為，其它內(nèi)角依次增加，則_________．
（3）在凸多邊形中，小于的角最多可以有（     ）A．3個(gè)              B．4個(gè)               C．5個(gè)               D．6個(gè)（1）七．（2）這個(gè)凸n邊形的內(nèi)角由小到大依次為，它的外角依次為而這六個(gè)外角之和為∴．（3）設(shè)凸邊形中，小于的角有個(gè)．當(dāng)多邊形的一個(gè)內(nèi)角小于，則它的外角大于，而任意多邊形的外角和等于，故有解得，故小于的角可以有4個(gè)，故選B如圖，圖中的5個(gè)圓都是半徑為1的圓，求圖中五個(gè)扇形（陰影部分）的面積．.  
                   

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初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)電子課本

12.2 三角形全等的判定

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