（1）∠AOB的度數(shù)為 ；
（2）若∠ABC＝60°，求∠DAE的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得出∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC），根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝110°，進(jìn)而即可求解；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠DAC，∠BAC，根據(jù)AE是∠BAC的角平分線，得出∠CAE＝∠CAB＝25°，根據(jù)∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD，即可求解．
【解答】（1）解：∵AE、BF是∠BAC、∠ABC的角平分線，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC），
在△ABC中，∠C＝70°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝110°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝125°．
故答案為：125°；
（2）解：∵在△ABC中，AD是高，∠C＝70°，∠ABC＝60°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝50°
∵AE是∠BAC的角平分線，
∴∠CAE＝∠CAB＝25°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝25°﹣20°＝5°，
∴∠DAE＝5°．
2．（2023春?洛寧縣期末）如圖，AD為△ABC的高，AE，BF為△ABC的角平分線，∠CBF＝30°，∠AFB＝70°．
（1）∠BAD＝ °；
（2）求∠DAE的度數(shù)．
【分析】（1）利用角平分線的定義求出∠ABC，再利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BAD．
（2）根據(jù)∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD，求出∠BAE，∠BAD即可．
【解答】解：（1）∵BF平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠CBF＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°，
故答案為：30；
（2）∵∠AFB＝∠FBC+∠C，
∴∠C＝70°﹣30°＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝＝40°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣30°＝10°．
3．（2023春?豐城市期末）如圖，在△ABC中，BD，CD分別是∠ABC，∠ACB的平分線，BP，CP分別是∠EBC，∠FCB的平分線．
（1）當(dāng)∠ABC＝64°，∠ACB＝66°時，∠D＝ °，∠P＝ °；
（2）∠A＝56°，求∠D，∠P的度數(shù)；
（3）請你猜想，當(dāng)∠A的大小變化時，∠D+∠P的值是否變化？請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理解答即可；
（2）根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理解答即可；
（3）利用（2）的結(jié)論即得結(jié)果．
【解答】解：（1）∵BD，CD分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∠ABC＝64°，∠ACB＝66°，
∴，∠EBC＝116°，∠BCF＝114°，
∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝115°；
∵BP，CP分別是∠EBC，∠FCB的平分線，
∴，
∴∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝65°；
（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵BD，CD分別是∠ABC，∠ACB的平分線，
∴，
∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）
＝
＝
＝
＝
＝118°；
∵BP，CP分別是∠EBC，∠FCB的平分線，
∴∠CBP+∠BCP
＝
＝
＝
＝
＝90°+28°
＝118°；
∴∠BPC＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）
＝
＝90°﹣28°
＝62°；
（3）∠D+∠P的值不變．
∵由（1）知，，
∴∠D+∠P＝180°．
∴當(dāng)∠A的大小變化時，∠D+∠P的值不變．
4．（2023春?樂山期末）（1）如圖1，△ABC中，延長AB到M，BP平分∠MBC，延長AC到N，CP平分∠NCB，PB交PC于點P，若∠ABC＝α，∠ACB＝β，∠BPC＝θ，求證：α＝；
（2）如圖2，△ABC中，E是AB邊上一點，F(xiàn)是AC邊上一點，延長AB到M，PB平分∠MBC，PF平分∠EFC，BP交PF于點P，若∠AEF＝α，∠ACB＝β，∠BPF＝θ，求證：θ＝；
（3）如圖3，△ABC中，E是AB邊上一點，F(xiàn)是AC邊上一點，延長EF到G，PB平分∠ABC，PF平分∠AFG，BP交PF于點P，若∠AEF＝α，∠ACB＝β，∠BPF＝θ，探究并直接寫出α，β，θ之間的等量關(guān)系．
【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，求出∠CBP+∠BCP，∠A，再次利用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行解答；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，求出∠CBP，∠CFP，∠BOP，再次利用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行解答；
（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，求出∠OFP，∠CBO，∠POF，再次利用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行解答；
【解答】（1）證明：∵BP平分∠MBC，CP平分∠BCN，
∴∠CBP＝∠MBC＝，∠BCP＝∠BCN＝，
∴，
∵∠A+α+β＝180°，
∴∠A＝180°﹣α﹣β，
∵∠CBP+∠BCP+∠P＝180°，
∴，
，
∴；
（2）證明：如圖所示：
∵BP平分∠MBC，F(xiàn)P平分∠EFC，
∴∠CBP＝∠MBC＝，
∠CFP＝∠EFC＝，
∵∠OFC+∠FOC+∠ACB＝180°，∠BOP＝∠FOC，
∴∠BOP＝180°﹣β﹣∠OFC＝180°﹣β＝，
∵∠CBP+∠P+∠BOP＝180°，
∴，
∴；
（3）解：如圖所示：
∵BP平分∠ABC，PF平分∠AFG，
∴∠OFP＝∠AFG＝，
∠CBO＝，
∵∠POF＝∠CBO+∠ACB＝，
∵∠POF+∠OFP+∠P＝180°，
∴，
∴．
5．（2022秋?黃石期末）如圖，直線CD與EF相交于點O，∠COE＝60°，將一直角三角尺AOB（含30°和60°）的直角頂點與O重合，OA平分∠COE．
（1）求∠BOD的度數(shù)；
（2）圖中互余的角有 對；
（3）將三角尺AOB以每秒3°的速度繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，同時直線EF以每秒9°的速度繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運動時間為ts（0≤t≤40）．
①當(dāng)t為何值時，直線EF平分∠AOB．
②當(dāng)t＝ 時，直線EF平分∠BOD．
【分析】（1）依據(jù)∠COE＝60°，OA平分∠COE，可得∠AOC＝30°，再根據(jù)∠AOB＝90°，即可得到∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°；
（2）互余的角有12對分別是：∠A與∠B；∠A與∠AOC，∠A與∠AOE，∠COE與∠B，∠COE與∠AOC，∠COE與∠AOE，∠COA與∠BOD；∠AOE與∠BOD；∠A與∠BOD；
（3）①分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)OE平分∠AOB時，∠AOE＝45°；當(dāng)OF平分∠AOB時，∠AOF＝45°；分別依據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行計算即可得到t的值；
②分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)OE平分∠BOD時，∠BOE＝∠BOD；當(dāng)OF平分∠BOD時，∠DOF＝∠BOD；分別依據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行計算即可得出t的值．
【解答】解：（1）∵∠COE＝60°，OA平分∠COE，
∴∠AOC＝30°，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝180°﹣30°﹣90°＝60°；
（2）互余的角有4對分別是：∠A與∠B；∠A與∠AOC，∠A與∠AOE，∠COE與∠B，∠COE與∠AOC，∠COE與∠AOE，∠COA與∠BOD；∠AOE與∠BOD；∠A與∠BOD，∠COA與∠BOE；∠AOE與∠BOE；∠A與∠BOE；
（3）①分兩種情況：
當(dāng)OE平分∠AOB時，∠AOE＝45°，
即9°t+30°﹣3°t＝45°，
解得t＝2.5；
當(dāng)OF平分∠AOB時，∠AOF＝45°，
即9°t﹣150°﹣3°t＝45°，
解得t＝32.5；
綜上所述，當(dāng)t＝2.5s或32.5s時，直線EF平分∠AOB；
②t的值為12s或36s．
分兩種情況：
當(dāng)OE平分∠BOD時，∠BOE＝∠BOD，
即9°t﹣60°﹣3°t＝（60°﹣3°t），
解得t＝12；
當(dāng)OF平分∠BOD時，∠DOF＝∠BOD，
即9°t﹣300°＝（3°t﹣60°），
解得t＝36；
綜上所述，若直線EF平分∠BOD，t的值為12s或36s．
6．（2022秋?淮南期末）（1）如圖1，有一塊直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的兩條直角邊XY、XZ分別經(jīng)過點B、C．△ABC中，∠A＝30°，則∠ABC+∠ACB＝ ，∠XBC+∠XCB＝ ．
（2）如圖2，△ABC的位置不變，改變直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的兩條直角邊XY、XZ仍然分別經(jīng)過B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否變化？若變化，請舉例說明；若不變化，請求出∠ABX+∠ACX的大?。?br>【分析】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理．已知∠A＝30°易求∠ABC+∠ACB的度數(shù)．又因為∠X為90°，所以易求∠XBC+∠XCB．
【解答】解：（1）∵∠A＝30°，
∴∠ABC+∠ACB＝150°，
∵∠X＝90°，
∴∠XBC+∠XCB＝90°，
故答案為：150°；90°．
（2）不變化．
∵∠A＝30°，
∴∠ABC+∠ACB＝150°，
∵∠X＝90°，
∴∠XBC+∠XCB＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝（∠ABC﹣∠XBC）+（∠ACB﹣∠XCB）
＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠XBC+∠XCB）
＝150°﹣90°
＝60°．
7．（2023春?欒城區(qū)校級期末）在△ABC中，點D在線段AC上，DE∥BC交AB于點E，點F在線段AB上（點F不與點A，E，B重合），連接DF，過點F作FG⊥FD交射線CB于點G．
（1）如圖1，點F在線段BE上．
①直接寫出∠EDF與∠BGF的數(shù)量關(guān)系；
②求證：∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；
（2）當(dāng)點F在線段AE上時，請在備用圖中補全圖形，并直接寫出∠EDF與∠BGF的數(shù)量關(guān)系．
【分析】（1）①結(jié)論：∠EDF+∠BGF＝90°．如圖1中，過點F作FH∥BC交AC于點H．利用平行線的性質(zhì)求解即可．
②過點F作FH∥BC交AC于點H．利用平行線的性質(zhì)求解即可．
（2）作出圖形，利用平行線的性質(zhì)，以及三角形的外角的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：（1）①結(jié)論：∠EDF+∠BGF＝90°．
理由：如圖1中，過點F作FH∥BC交AC于點H．
∵DE∥BC，
∴DE∥FH，
∴∠EDF＝∠1，
∵FH∥BC，
∴∠BGF＝∠2．
∵FG⊥FD，
∴∠DFG＝90°．
∴∠1+∠2＝90°．
∴∠EDF+∠BGF＝90°．
②證明：過點F作FH∥BC交AC于點H．如圖2，
∴∠ABC＝∠AFH，
∴∠ABC＝∠1+∠3，
∴∠3＝∠ABC﹣∠1，
∵∠EDF＝∠1，
∴∠3＝∠ABC﹣∠EDF，
∵FG⊥FD，
∴∠DFG＝90°，
∴∠BFG+∠3＝90°，
∴∠3＝90°﹣∠BFG，
∴90°﹣∠BFG＝∠ABC﹣∠EDF，
∴∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；
（2）解：結(jié)論：∠BGF﹣∠EDF＝90°．
理由：設(shè)DE交FG于J．如圖3，
∵DE∥BC，
∴∠BGF＝∠FJE，
∵∠FJE＝∠DFJ+∠EDF，∠DEJ＝90°，
∴∠BGF﹣∠EDF＝90°．
當(dāng)點G在CB的延長線上時，同法可證∠EDF+∠BGF＝90°，如圖4，
8．（2023春?邗江區(qū)期中）閱讀下列材料并解答問題：
在一個三角形中，如果一個內(nèi)角α的度數(shù)是另一個內(nèi)角度數(shù)的2倍，那么這樣的三角形我們稱為“優(yōu)雅三角形”，其中α稱為“優(yōu)雅角”．例如：一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)分別是、100°、，這個三角形就是“優(yōu)雅三角形”，其中“優(yōu)雅角”為100°．反之，若一個三角形是“優(yōu)雅三角形”，那么這個三角形的三個內(nèi)角中一定有一個內(nèi)角α的度數(shù)是另一個內(nèi)角度數(shù)的2倍．
（1）一個“優(yōu)雅三角形”的一個內(nèi)角為120°，若“優(yōu)雅角”為銳角，則這個“優(yōu)雅角”的度數(shù)為 ．
（2）如圖1，已知∠MON＝60°，在射線OM上取一點A，過點A作AB⊥OM交ON于點B，以A為端點畫射線交線段OB于點C（點C不與點O、點B重合）．若△AOC是“優(yōu)雅三角形”，求∠ACB的度數(shù)．
（3）如圖2，△ABC中，點D在邊BC上，DE平分∠ADB交AB于點E，F(xiàn)為線段AD上一點，且∠AFE+∠ADC＝180°，∠FED＝∠C．若△ADC是“優(yōu)雅三角形”，求∠C的度數(shù)．
?
【分析】本題考查“優(yōu)雅三角形”的新定義問題，靈活運用三角形的內(nèi)角和定理．
【解答】解：（1）一個“優(yōu)雅三角形”的一個內(nèi)角為 120°，另兩個角之和為：180°﹣120°＝60°，
“優(yōu)雅角”為銳角，根據(jù)“優(yōu)雅三角形”的定義，“優(yōu)雅角”為40°，另一個角為20°．
（2）AB⊥OM交ON于點B，∴∠MOB＝90°，
∠MON＝60°，△AOC 是“優(yōu)雅三角形”，①當(dāng)“優(yōu)雅角”為60°時，另一個角為30°，則∠ACO＝90°，∠ACB的度數(shù)為90°，②當(dāng)另兩個角中有優(yōu)雅角時，另兩個角之和為120°，
根據(jù)“優(yōu)雅三角形”的定義，另兩個角分別為：40°，80°，
則∠ACO＝80°，∠ACB的度數(shù)為100°，
∠ACO＝40°，∠ACB的度數(shù)為140°．
（3）∵∠AFE+∠ADC＝180°，∠AFE+∠EFD＝180°，
∴∠ADC＝∠EFD，
∴EF∥BC，
△ADC是“優(yōu)雅三角形”，
DE平分∠ADB交AB于點E，
①當(dāng)∠C＝α，∠ADC＝，
∠ADB＝180°﹣＝（180°﹣）×2，
解得α＝72°，∠C＝72°；
②當(dāng)∠C＝α，∠DAC＝，
無解，故不符合題意；
③當(dāng)∠ADC＝α，∠DAC＝，
∠ADB＝180°﹣α＝[180°﹣α﹣（180°﹣）]×2，
解得α＝90°，∠C＝45°；
④當(dāng)∠ADC＝α，∠C＝，
∠ADB＝180°﹣α＝（180°﹣﹣α）×2，
解得α＝90°，∠C＝45°；
⑤當(dāng)∠DAC＝α，∠ADC＝，
∠ADB＝180°﹣＝[180°﹣（180°﹣）﹣]×2，
解得α＝72°，∠C＝72°；
⑥當(dāng)∠DAC＝α，∠C＝，
無解，故不符合題意；
綜上，∠C的度數(shù)為：72°，45°．
9．（2023春?邗江區(qū)期中）綜合與探究：愛思考的小明在學(xué)習(xí)過程中，發(fā)現(xiàn)課本有一道習(xí)題，他在思考過程中，對習(xí)題做了一定變式，讓我們來一起看一下吧．在△ABC中，∠ABC 與∠ACB的平分線相交于點P．
?
（1）如圖1，如果∠A＝80°，那么∠BPC＝ °
（2）如圖2，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分線交于點Q，試探究∠Q與∠BPC的數(shù)量關(guān)系．
（3）如圖3，在（2）的條件下，延長線段BP，QC交于點E，在△BQE中，若∠Q＝4∠E，求∠A的度數(shù)．
【分析】（1）運用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義，首先求出∠ABC+∠ACB，進(jìn)而求出∠BPC即可解決問題；
（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出∠MBC與∠BCN，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，由∠Q＝4∠E，得出2∠A＝90°﹣∠A，求解即可．
【解答】解：（1）∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣8°＝100°，
∵∠ABC與∠ACB的平分線交于點P，
∴，，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180＝130°；
故答案為：130°；
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的平分線交于點Q，
∴，．
∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（∠MBC+∠NCB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣，
∵∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+，
∴∠Q+∠BPC＝180°；
（3）如圖，延長BC至F，
∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A，
∵∠Q＝4∠E，
∴∠Q＝2∠A，
∵∠Q＝90°﹣∠A，
∴2∠A＝90°﹣∠A，
∴∠A＝36°．
10．（2022秋?海豐縣期末）綜合與探究：
【情境引入】
（1）如圖1，BD，CD分別是△ABC的內(nèi)角∠ABC，∠ACB的平分線，說明∠D＝90°+∠A的理由．
【深入探究】
（2）①如圖2，BD，CD分別是△ABC的兩個外角∠EBC，∠FCB的平分線，∠D與∠A之間的等量關(guān)系是 ；
②如圖3，BD，CD分別是△ABC的一個內(nèi)角∠ABC和一個外角∠ACE的平分線，BD，CD交于點D，探究∠D與∠A之間的等量關(guān)系，并說明理由．
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理證明即可；
（2）①根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理求解即可；
②根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義求解即可．
【解答】（1）證明：∵BD，CD分別是△ABC的內(nèi)角∠ABC，∠ACB的平分線，
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，
∴∠1+∠2+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠1﹣∠2
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A；
（2）解：①∠D＝90°﹣∠A，理由如下：
∵BD，CD分別是△ABC的兩個外角∠EBC，∠FCB的平分線，
∴∠DBC＝∠EBC＝（∠A+∠ACB），∠DCB＝∠FCB＝（∠A+∠ABC），
∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣（∠EBC+∠FCB）
＝180°﹣
＝90°﹣∠A，
故答案為：∠D＝90°﹣∠A；
②∠D＝∠A，理由如下：
∵BD，CD分別是△ABC的一個內(nèi)角∠ABC和一個外角∠ACE的平分線，
∴∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠D+∠DBC，
∴∠D+∠ABC＝（∠A+∠ABC），
∴∠D＝∠A．
11．（2023春?南陽期末）如圖，在△ABC中，BD，CD分別是∠ABC，∠ACB的平分線，BP，CP分別是∠EBC，∠FCB的平分線．
（1）若∠A＝30°，則∠D＝ °，∠P＝ °，∠D+∠P＝ °；
（2）當(dāng)∠A變化時，∠D+∠P的值是否變化？請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理用∠A表示出∠ABC+∠ACB，再根據(jù)角平分線的定義表示出∠DBC+∠DCB，然后在△BCD中利用三角形的內(nèi)角和定理可得出∠D的度數(shù)；根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及其推論以及角平分線的定義及三角形外角的性質(zhì)即可得出∠P的度數(shù)；
（2）根據(jù)（1）中∠D與∠P的式子即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵∠A＝30°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝150°，
∵BD，CD分別是∠ABC，∠ACB的平分線，
∴，，
∴，
∴∠D＝180°﹣75°＝105°；
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝150°，
∴∠CBE+∠BCF＝210°，
∵BP，CP分別是∠EBC，∠FCB的平分線，
∴，，
∴∠CBP+∠BCP＝，
∴∠P＝180°﹣105°＝75°；
∴∠D+∠P＝105°+75°＝180°；
故答案為：105，75，180．
（2）結(jié)論：∠D+∠P的值不變．理由如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵BD，CD分別是∠ABC，∠ACB的平分線，
∴，，
∴，
在△BCD中，∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝＝，
∵BP，CP分別是∠EBC，∠FCB的平分線，
∴，，
∴＝
＝＝，
在△BCP中，∠P＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）
＝＝，
∴．
12．（2023春?洪洞縣期末）在△ABC中，AD⊥BC于點D．
特例研究：
（1）如圖1，若∠BAC的平分線AE能交BC于點E，∠B＝35°，∠EAD＝5°，求∠C的度數(shù)；
操作發(fā)現(xiàn)：
如圖2，點M，N分別在線段AB，AC，將△ABC折疊，點B落在點F處，點C落在點G處，折痕分別為DM和DN，點G，F(xiàn)都在射線DA上；
（2）若∠B+∠C＝60°，試猜想∠AMF與∠ANG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）將△DFM繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角記為α（0°＜α＜360°）．記旋轉(zhuǎn)中的△DMF為△DM1F1，在旋轉(zhuǎn)過程中，點M，F(xiàn)的對應(yīng)點分別為M1，F(xiàn)1，直線M1F1，與直線BC交于點Q，與直線AB交于點P．若∠B＝35°，∠PQB＝90°，請直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．
【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義即可解決問題；
（2）結(jié)論：∠AMF+∠ANG＝60°．由翻折可知∠B＝∠AFM，∠C＝∠G，由∠B+∠C＝60°得出∠BAC＝120°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得出∠BAC＝∠AMF+∠ANG+∠B+∠C，從而得出結(jié)論；
（3）分兩種情形分別求解即可解決問題．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°．
又∵∠B＝35°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝55°．
∵∠EAD＝5°，
∴∠BAE＝55°+5°＝60°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝60°，
∴∠C＝180°﹣90°﹣60°﹣5°＝25°．
（2）結(jié)論：∠AMF+∠ANG＝60°．理由：
由折疊可知：∠B＝∠AFM，∠C＝∠G，
∵∠B+∠C＝60°，
∴∠BAC＝120°，
∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝∠AMF+∠AFM+∠ANG+∠G，
∴∠BAC＝∠AMF+∠ANG+∠B+∠C，
即120°＝∠AMF+∠ANG+60°，
∴∠AMF+∠ANG＝60°．
（3）旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為35°或215°．
①當(dāng)0°＜α≤90°時，
∵∠PQB＝90°，
∴∠F1QD＝180°﹣90°＝90°，
∵將△ABC折疊，點B落在點F處，折痕為DM，將△DMF繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度α，
∴∠DF1M1＝∠DFM＝∠B＝35°，
∴∠F1DQ＝180°﹣∠F1QD﹣∠DF1M1＝180°﹣90°﹣35°＝55°，
∴∠FDF1＝∠ADB﹣∠F1DQ＝90°﹣55°＝35°，
∴α＝35°；
②當(dāng)90°＜α≤360°時，
∵∠PQB＝90°，
∴∠F1QD＝180°﹣90°＝90°，
∵將△ABC折疊，點B落在點F處，折痕為DM，將△DMF繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度α，
∴∠DF1M1＝∠DFM＝∠B＝35°，
∴∠F1DQ＝180°﹣∠F1QD﹣∠DF1M1＝180°﹣90°﹣35°＝55°，
∴∠FDF1＝∠ADC+∠F1DQ＝90°+55°＝145°，
∴α＝360°﹣145°＝215°；
∴∠DF1M1＝∠DFM＝∠B＝35°，
∴∠PQB＝∠BPQ﹣∠B＝90°﹣35°＝55°，
∵∠PQB＝∠DF1M1+∠F1DB，
∴∠F1DB＝∠PQB﹣∠DF1M1＝55°﹣35°＝20°，
∴∠FDF1＝∠ADB﹣∠F1DB＝90°﹣20°＝70°，
∴α＝70°．
綜上所述，旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為35°或215°．
13．（2023春?東方校級期末）在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．
?
（1）如圖1，如果∠A＝70°，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BPC的度數(shù)；
（2）如圖1，如果∠A＝α，用含α的代數(shù)式表示∠BPC；
（3）探索：如圖2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分線交于點Q，試寫出∠Q、∠A之間的數(shù)量關(guān)系；
（4）拓展：如圖3，延長線段BP、QC交于點E，△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，請直接寫出∠A的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)已知條件和角平分線的性質(zhì)，求出∠PBC和∠BCP，再利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計算；
（2）根據(jù)已知條件和角平分線的性質(zhì)，把∠PBC和∠BCP用∠ABC和∠ACB表示出來，再利用∠A表示出來，最后利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行代換即可；
（3）根據(jù)已知條件和角平分線的性質(zhì)，求出∠CBQ和∠BCQ，再利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計算；
（4）根據(jù)已知條件求出∠EBQ的度數(shù)，然后由（3）求出的∠Q，利用三角形內(nèi)角和求出∠E，再分4種情況討論，求出∠A的度數(shù)．
【解答】解：（1）∵BP，CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，
∴∠PBC＝∠ABC＝25°，∠BCP＝∠ACB＝30°，
∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°，
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝125°；
（2））∵BP，CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，
∴∠PBC＝∠ABC，∠BCP＝∠ACB，
∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°，
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP
＝180°﹣
＝180°﹣
＝
＝；
（3）∵BQ，CQ分別是∠CBM，∠BCN的角平分線，
∴∠CBQ＝，∠BCQ＝∠BCN，
∵∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，
∴∠CBQ＝，∠BCQ＝∠A+∠ABC，
∵∠CBQ+∠BCQ+∠Q＝180°，
∴+∠Q＝180°，
，
∴∠Q＝；
（3）∵BP是∠ABC的角平分線，BQ是∠CBM的角平分線，
∴∠PBC＝∠ABC，∠CBQ＝，
∵∠ABC+∠CBM＝180°，
∴∠PBC+∠CBQ＝，
∴∠QBE＝∠PBC+∠CBQ＝90°，
由（3）知∠Q＝，
∴∠E+∠Q＝90°，
∴∠E＝，
∵在△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的3倍，∠QBE＝90°，
∴∠Q，∠E都是銳角，
∴分四種情況討論：
①∠Q＝3∠E，
∴，
2∠A＝90°，
∴∠A＝45°；
②∠QBE＝3∠E，
∴，
∴∠A＝60°；
③∠BQE＝3∠Q，
∴，
270﹣1.5∠A＝90°，
∴∠A＝120°，
④∠E＝3∠Q，
，
解之得：∠A＝135°，
綜上可知：∠A的度數(shù)為45°或60°或120°或135°．
14．（2023春?商水縣期末）【基本模型】
（1）如圖1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACD，試說明∠P＝∠A．
【變式應(yīng)用】
（2）如圖2，∠MON＝90°，A，B分別是射線ON，OM上的兩個動點，∠ABO與∠BAN的平分線的交點為P，則點A，B的運動的過程中，∠P的大小是否會發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請求出其值；若發(fā)生變化，請說明理由．
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖3，∠MON＝90°，作∠MON的平分線OD，A是射線OD上的一定點，B是直線OM上的任意一點（不與點O重合），連接AB，設(shè)∠ABO的平分線與∠BAO的鄰補角的平分線的交點為P，請直接寫出∠P的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和求出∠P和∠A，再根據(jù)角平分線的定義∠ACD＝2∠1，∠ABC＝2∠2，最后由∠A＝∠ACD﹣∠ABC進(jìn)行等量代換即可；
（2）根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和求出∠P和∠O，再根據(jù)角平分線的定義∠NAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，最后由∠O＝∠NAB﹣∠ABO進(jìn)行等量代換即可；
（3）根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和求出∠P和∠AOB，再根據(jù)角平分線的定義∠DAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，最后由∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO進(jìn)行等量代換即可；
【解答】解：（1）如圖1所示：
∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABC，
∴∠ACP＝，∠2＝∠ABC，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠ACP＝，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠2+∠P+∠ACB+∠ACP＝180°，
∴，
∠，
，
∴；
（2）∠P的大小不變，理由如下：
如圖2所示：
∵∠2+∠P＝∠1，∠ABO+∠O＝∠NAB，
∴∠P＝∠1﹣∠2，∠AOB＝∠NAB﹣∠ABO，
又∵BP平分∠ABO，CA平分∠NAB，
∴∠NAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，
∴∠AOB＝∠NAB﹣∠ABO＝2（∠1﹣∠2）＝2∠P，
∴；
（3）∠P＝22.5°或67.5°，分兩種情況：
①如圖3所示：
∵∠2+∠P＝∠1，∠ABO+∠AOB＝∠DAB，
∴∠P＝∠1﹣∠2，∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO，
又∵BP平分∠ABO，CA平分∠DAB，
∴∠DAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，
∴∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO＝2（∠1﹣∠2）＝2∠P，
∴；
②如圖4所示：
∵∠2+∠P＝∠1，∠ABO+∠AOB＝∠DAB，
∴∠P＝∠1﹣∠2，∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO，
又∵BP平分∠ABO，AC平分∠DAB，
∴∠DAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，
∴∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO＝2（∠1﹣∠2）＝2∠P，
∴．
15．（2023春?大荔縣期末）我們將內(nèi)角互為對頂角的兩個三角形稱為“對頂三角形”．例如，在圖1中，△AOB的內(nèi)角∠AOB與△COD的內(nèi)角∠COD為對頂角，則△AOB與△COD為“對頂三角形”，根據(jù)三角形三個內(nèi)角和是180°，“對頂三角形”有如下性質(zhì)：∠A+∠B＝∠C+∠D．
性質(zhì)理解：
（1）如圖1，在“對頂三角形”△AOB與△COD中，則∠AOB＝85°，則∠C+∠D＝ 95 °．
性質(zhì)應(yīng)用：
（2）如圖2，在△ABC中，AD、BE分別平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大8°，求∠BED的度數(shù)．
拓展提高：
（3）如圖3，BE、CD是△ABC的角平分線，且∠BDC和∠BEC的平分線DP和EP相交于點P，設(shè)∠A＝α，請嘗試求出∠P的度數(shù)（用含α的式了表示∠P）．
【分析】（1）由對頂三角形可得∠A+∠B＝∠C+∠D，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到答案；
（2）由對頂三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理得到∠ADE+∠BED＝60°，再根據(jù)已知即可求解；
（3）利用三角形內(nèi)角和定理求得，再利用角平分線的定義求得∠CEP＝（∠ABE+∠A），，最后根據(jù)對頂三角形的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：（1）由對頂三角形可得∠A+∠B＝∠C+∠D，
在△AOB中，∠A+∠B＝180°﹣∠AOB＝180°﹣85°＝95°，
∴∠C+∠D＝95°．
故答案為：95；
（2）在△ABC中，∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°．
∵AD、BE分別平分∠BAC和∠ABC，
∴，
∴∠ADE+∠BED＝60°．
又∵∠ADE﹣∠BED＝8°，
∴∠ADE＝34°，∠BED＝26°；
（3）．
理由：在△ABC中，∠A＝α，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α．
∵BE、CD分別平分∠ABC和∠ACB，
∴，，
∴．
∵∠BDC和∠BEC的平分線DP和EP相交于點P，
∴，．
∵∠CEP+∠ACD＝∠CDP+∠P，
∴∠P＝∠CEP+∠ACD+∠CDP
＝（∠ABE+∠A）+∠ACD﹣（∠ACD+∠A）
＝∠ABE+∠ACD
＝（∠ABE+∠ACD）
＝×（90°﹣α）
＝45°﹣α，
即．
16．（2023春?金華期末）數(shù)學(xué)興趣小組圍繞“三角形的內(nèi)角和是180°”，進(jìn)行了一系列探究，過程如下：
【論證】如圖1，延長BA至D，過點A作AE∥BC，就可以說明∠BAC+∠B+∠C＝180°成立，即：三角形的內(nèi)角和為180°，請完成上述說理過程．
【應(yīng)用】如圖2，在△ABC中，∠BAC的平分線與∠ACB的角平分線交于點P，過點A作AE∥BC，M在射線AE上，且∠ACM＝∠AMC，MC的延長線與AP的延長線交于點D．
①求∠DCP的度數(shù)；
②設(shè)∠B＝α，請用α的代數(shù)式表示∠D．
【拓展】如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，過點A作EF∥BC，直線MN與EF相交于A點右側(cè)的點P，∠APN＝75°．△ABC繞點A以每秒12°的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，同時MN繞點P以每秒5°的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，與EF重合時MN再繞著點P以原速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)一周時，運動全部停止，設(shè)運動時間為t秒，在旋轉(zhuǎn)過程中，是否某一時刻，使得MN與△ABC的一邊平行？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．
【分析】論證：利用平行線的性質(zhì)以及平角的性質(zhì)即可證明；
應(yīng)用：①利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義求得∠MAC＝2∠2，再推出∠2+∠ACM＝90°，再利用平角的性質(zhì)即可求解；②在△ABC中，∠ABC+2∠2+2∠3＝180°，由三角形的外角性質(zhì)推出∠4＝∠2+∠3，結(jié)合①的結(jié)論得到∠2+∠3＝90°，據(jù)此計算即可求解．
拓展：當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)一周時，運動全部停止，求得總時間為30秒，MN與EF重合時間為15秒，分在前15秒內(nèi)和后15秒內(nèi)，兩種情況討論，根據(jù)MN與BC平行的次數(shù)，求解即可．
【解答】論證：
證明：延長BA至D，過點A作AE∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠CAE＝∠C，
∵∠BAC+∠CAE+∠DAE＝180°，
∴∠BAC+∠C+∠B＝180°，
即三角形的內(nèi)角和為180°．
應(yīng)用：
解：①如圖，
∵AE∥BC，
∴∠MAC＝∠ACB，
∵CP是∠ACB的角平分線，
∴，
∴∠MAC＝2∠2，
又2∠2+∠ACM+∠1＝180°，∠ACM＝∠1，
∴2∠2+2∠ACM＝180°，
∴∠2+∠ACM＝90°，
∴∠PCD＝180°﹣（∠2+∠ACM）＝180°﹣90°＝90°；
②∵AP是∠BAC的角平分線，
∴，
在△ABC中，∠B+2∠2+2∠3＝180°，
∵∠4＝∠2+∠3，∠PCD＝90°，
∴∠4＝90°﹣∠D，即∠2+∠3＝90°﹣∠D，
∴∠B+2∠2+2∠3＝∠B+2（90°﹣∠D）＝180°，
∴∠B+180°﹣2∠D＝180°，
∴∠B＝2∠D，
∵∠B＝α，
∴∠α＝2∠D，
拓展：
∵當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)一周運動停止，
∴總時間t＝360÷12＝30（秒），
∵M(jìn)N與EF重合時MN再以原速返回，
∴重合時間為t1＝75÷5＝15秒，此時∠EPN＝0°，延長CB交EF于點Q，
∵在前15秒內(nèi)，∠EQC由180°逐漸減少，∠EPN由75°逐漸減少至0°，
又∵當(dāng)t＝15秒時，△ABC旋轉(zhuǎn)至15×12°＝180°，此時EF∥BC，而∠EPN由75°逐漸減少至0°，
在前15秒內(nèi)，MN與BC僅一次平行，即MN與EF重合時，些時t＝15（秒）．
同理，后15秒，∠EQC由0°逐漸增至180°，∠EPN由0°逐漸增至75°，MN與BC僅可能一次平行，
有∠EQC＝12t2＝180﹣5t2，
解得，
（秒），
綜上，t的值為15秒或秒．
17．（2023春?云浮期末）如圖1，在直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，∠C＝30°，現(xiàn)將△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α角度得到△ADE．
（1）若α＝28°時，則∠DAC＝ °；若0°＜α＜90°時，α與∠CAE的關(guān)系是 ；
（2）∠DAC與∠BAE有怎樣的關(guān)系？請說明理由；
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，若0°＜α＜180°時，△ADE與△ABC這兩個三角形是否存在一組邊互相平行？若存在，請求出α的所有可能取值．
【分析】（1）直接利用角的和差關(guān)系可得答案，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得α＝∠CAE；
（2）證明∠DAC＝∠EAP，結(jié)合∠EAP+∠BAE＝180°，可得∠DAC+∠BAE＝180°
（3）分情況討論：①如圖，當(dāng)AE∥BC時，②如圖，當(dāng)DE∥AB時，③如圖，當(dāng)AD∥BC時，④如圖，當(dāng)AC∥DE時，再利用數(shù)形結(jié)合的方法解答即可．
【解答】解：（1）∵∠BAD＝α＝28°，∠BAC＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣28°＝62°；
當(dāng)0°＜α＜90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：α＝∠CAE；
（2）∠DAC與∠BAE的關(guān)系是：∠DAC+∠BAE＝180°，
理由如下：
∵∠CAE+∠DAC＝90°，∠CAE+∠EAP＝90°，
∴∠DAC＝∠EAP，
∵∠EAP+∠BAE＝180°，
∴∠DAC+∠BAE＝180°；
（3）“△ADE與△ABC這兩個三角形存在一組邊互相平行”
∵∠C＝30°，
∴∠E＝30°，∠ABC＝∠D＝90°﹣30°＝60°，
①如圖，當(dāng)AE∥BC時，
∴∠EAC＝∠C＝30°，
∴α＝∠EAC＝30°；
②如圖，當(dāng)DE∥AB時，
∴α＝∠D＝60°，
③如圖，當(dāng)AD∥BC時，
∴∠CAD＝∠C＝30°，
∴α＝90°+30°＝120°．
④如圖，當(dāng)AC∥DE時，
∴∠CAD＝∠D＝60°，
∴α＝90°+∠CAD＝150°；
綜上：△ADE與△ABC這兩個三角形的一組邊互相平行時，α為60°或30°或120°或150°．
18．（2023春?榮成市期末）實驗證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖1，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n，則入射光線m，反射光線n與平面鏡a所夾的銳角∠1＝∠2．
（1）如圖2，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射，若被b反射出的光線n與光線m平行，且∠1＝50°，則∠2＝ ，∠3＝ ；
（2）圖2中，當(dāng)被b反射出的光線n與光線m平行時，不論∠1如何變化，∠2與∠1總具有一定的數(shù)量關(guān)系，請猜想∠2和∠1的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）圖2中，請你探究：當(dāng)任何射到平面鏡a上的光線m，經(jīng)過平面鏡a、b的兩次反射后，入射光線m與反射光線n平行，求兩平面鏡a、b的夾角∠3的度數(shù)；
（4）如圖3，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射，若被b反射出的光線n與光線m垂直，求出此時∠O的度數(shù)？（友情提示：三角形內(nèi)角和等于180°）
?
【分析】利用題目所給的平面鏡反射光線的規(guī)律，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理以及兩直線平行，同旁內(nèi)角互補可解決問題．
【解答】解：（1）由題知，
∠1＝∠4，則∠6＝180°﹣2∠1＝80°．
又m∥n，
所以∠6+∠2＝180°，則∠2＝100°．
又∠5＝∠7，則∠5＝（180°﹣100°）＝40°．
由三角形的內(nèi)角和可知，∠3＝180°﹣（∠4+∠5）＝90°．
故答案為：100°，90°．
（2）∠2＝2∠1．
由題知，
因為m∥n，
所以∠6+∠2＝180°．
又∠6＝180°﹣2∠1，
則180°﹣2∠1+∠2＝180°，
即∠2＝2∠1．
故∠2和∠1的數(shù)量關(guān)系為：∠2＝2∠1．
（3）由題知，
因為m∥n，
所以∠6+∠2＝180°．
又∠6＝180°﹣2∠4，∠2＝180°﹣2∠5，
所以180°﹣2∠4+180°﹣2∠5＝180°，
即∠4+∠5＝90°．
由三角形的內(nèi)角和得，∠3＝180°﹣90°＝90°．
故∠3的度數(shù)為90°．
（4）
由題知，
∠1＝90°﹣∠3，∠2＝90°﹣∠4，
又∠3+∠4＝90°，
所以∠1+∠2＝180°﹣（∠3+∠4）＝135°．
所以∠O＝180°﹣135°＝45°．
故∠O的度數(shù)為45°．
19．（2023春?定興縣期末）綜合與實踐課上，同學(xué)們以“一個含30°角的直角三角尺和兩條平行線”為背景開展數(shù)學(xué)活動，如圖，已知兩直線a，b且a∥b，三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠BAC＝30°．操作發(fā)現(xiàn)：
（1）如圖1，若∠1＝42°，求∠2的度數(shù)；
（2）小聰同學(xué)把圖1中的直線a向上平移得到如圖2，請你探究圖2中的∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）小穎同學(xué)將圖2中的直線b向上平移得到圖3，若∠2＝4∠1，求∠1的度數(shù)．
【分析】（1）由題意可求得∠ACP＝∠1+∠ACB＝132°，再由平行線的性質(zhì)即可求得∠2的度數(shù)；
（2）由題意可求得∠ACP＝∠1+∠ACB，由平行線的性質(zhì)可得∠AGF＝∠ACP，再由三角形的外角性質(zhì)即可求解；
（3）由圖可知∠1＝∠CMN，則由三角形的外角性質(zhì)得∠ANM＝∠1+90°，利用平行線的性質(zhì)得∠2＝∠ANM，從而可求解．
【解答】解：（1）如圖1，
∵∠ACB＝90°，∠1＝42°，
∴∠ACP＝∠1+∠ACB＝132°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠ACP＝132°；
（2）∠2﹣∠1＝120°，理由如下：
如圖2，由題意得：∠ACP＝∠1+∠ACB＝∠1+90°，
∵a∥b，
∴∠AGF＝∠ACP＝∠1+90°，
∵∠2是△AFG的外角，
∴∠2＝∠BAC+∠AGF＝30°+∠1+90°，
即∠2﹣∠1＝120°；
（3）∵∠1＝∠CMN，∠ACB＝90°，
∴∠ANM＝∠CMN+∠ACB＝∠1+90°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠ANM＝∠1+90°，
∵∠2＝4∠1，
∴4∠1＝∠1+90°，
解得：∠1＝30°．
20．（2023春?鹽都區(qū)期中）【教材呈現(xiàn)】蘇科版義務(wù)教育數(shù)學(xué)教科書七下第42頁第20題，是一道研究雙內(nèi)角平分線的夾角和雙外角平分線夾角的數(shù)學(xué)問題，原題如下．
在△ABC中，∠A＝n°．
（1）設(shè)∠B、∠C的平分線交于點O，求∠BOC的度數(shù)；
（2）設(shè)△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分線交于點O′，求∠BO′C的度數(shù)；
（3）∠BOC與∠BO′C有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
【問題解決】聰聰對上面的問題進(jìn)行了研究，得出以下答案：
如圖1，在△ABC中，∠A＝n°．
（1）∠ABC、∠ACB的平分線交于點O，則∠BOC的度數(shù)為 ；
（2）△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分線交于點O′，則∠BO′C的度數(shù)為 ；
（3）∠BOC與∠BO'C的數(shù)量關(guān)系是 ．
（4）【問題深入】：
如圖2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點O，將△ABC沿MN折疊使得點A與點O重合，請直接寫出∠1+∠2與∠BOC的一個等量關(guān)系式；
（5）如圖3，過△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分線的交點O′，作直線PQ交AD于點P，交AE于點Q．當(dāng)∠APQ＝∠AQP時，∠CO′Q與∠ABC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出結(jié)果．
【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理得到，∠ABC+∠ACB＝180°﹣n°，再根據(jù)角平分線的定義，推出，即可求出∠BOC的度數(shù)；
（2）根據(jù)三角形外角的定義，推出∠CBD+∠BCE＝180°+n°，再根據(jù)角平分線的定義，推出，然后利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠BO'C的度數(shù)；
（3）根據(jù)（1）和（2）的結(jié)果即可得到答案；
（4）由折疊的性質(zhì)可知，∠AMN＝∠OMN，∠ANM＝∠ONM，得到∠1＝180°﹣2∠AMN，∠2＝180°﹣2∠ONM，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，推出∠1+∠2＝2∠A，由（1）同理可證，據(jù)此即可得到答案；
（5）根據(jù)多邊形內(nèi)角和與角平分線的定義，推出∠BO'C＝∠BPQ，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到∠CO'Q＝∠PBO'，最后根據(jù)∠ABC＝180°﹣2∠PBO'，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵∠A＝n°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣n°，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）∵∠CBD＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，
∴∠CBD+∠BCE＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+∠A＝180°+n°，
∵BO'平分∠CBD，CO′平分∠BCE，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：；
（3）由（1）和（2）可知，，，
∴∠BOC+∠BO'C＝180°，
故答案為：∠BOC+∠BO'C＝180°
（4）∠1+∠2＝4∠BOC﹣360°，理由如下：
由折疊的性質(zhì)可知，∠AMN＝∠OMN，∠ANM＝∠ONM，
∴∠1＝180°﹣∠AMN﹣∠OMN＝180°﹣2∠AMN，∠2＝180°﹣∠ANM﹣∠ONM＝180°﹣2∠ONM，
∵∠AMN+∠ANM＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠2＝180°﹣2∠AMN+180°﹣2∠ANM＝360°﹣2（∠AMN+∠ANM）＝2∠A，
由（1）同理可證，，∴2∠A＝4∠BOC﹣360°，∴∠1+∠2＝4∠BOC﹣360°；
（5）∵四邊形BCQP的內(nèi)角和為360°，
∴∠CBP+∠BPQ+∠PQC+∠BCQ＝360°，
∵BO'平分∠CBD，CO′平分∠BCE，
∴∠CBD＝2∠CBO'，∠BCE＝2∠BCO'，
∵∠APQ＝∠AQP，
∴2∠CBO'+2∠BPQ+2∠BCO'＝360°，
∴∠CBO'+∠BPQ+∠BCO'＝180°，
∴∠CBO'+∠BCO'+∠BO'C＝180°，
∴∠BO'C＝∠BPQ，
∵∠BO'Q＝∠BPQ+∠PBO'＝∠BO'C+∠CO'Q，
∴∠CO'Q＝∠PBO'，
∵∠ABC＝180°﹣∠CBD＝180°﹣2∠PBO'，
∴∠ABC＝180°﹣2∠CO'Q，
∴．
21．（2023春?郯城縣期中）已知AB∥CD，直線MN交AB、CD交于點M、N．
（1）如圖1所示，點E在線段MN上，設(shè)∠MBE＝15°，∠MND＝70°，則∠MEB＝ ．
（2）如圖2所示，點E在線段MN上，∠1＝∠2，DF平分∠EDC，交BE的延長線于點F，試找出∠AEN、∠1、∠3之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（提示：不能使用“三角形內(nèi)角和是180°”）．
（3）如圖3所示，點B、C、D在同一條直線上，∠ABC與∠ACD的角平分線交于點P，請直接寫出∠A與∠P的數(shù)量關(guān)系： ．
【分析】（1）過點E作EG∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BEG和∠MEG的度數(shù)，即可求出∠MEB的度數(shù)；
（2）過點E作EH∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，推出∠MEH＝2∠1，再結(jié)合角平分線的定義，推出∠HED＝2∠3，進(jìn)而求得∠MED＝2∠1+2∠3，然后利用對頂角相等，即可求出∠AEN的度數(shù)；
（3）根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行求解即可得到答案．
【解答】解：（1）過點E作EG∥AB，
∴∠BEG＝∠MBE＝15°，
∵AB∥CD，
∴EG∥CD，
∴∠MEG＝∠MND＝70°，
∴∠MEB＝∠MEG﹣∠BEG＝70°﹣15°＝55°，
故答案為：55°；
（2）解：∠AEN＝2∠1+2∠3，證明如下：
過點E作EH∥AB，
∴∠1＝∠BEH，
∵∠1＝∠2，
∴∠MEH＝∠2+∠BEH＝∠1+∠1＝2∠1，
∵DF平分∠EDC，
∴∠EDC＝2∠3，
∵AB∥CD，
∴EH∥CD，
∴∠HED＝∠EDN＝2∠3，
∴∠MED＝∠MEH+∠HED＝2∠1+2∠3，
∴∠AEN＝2∠1+2∠3；
（3）解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACD＝2∠PCD，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P，
∴∠ACD＝∠A+2∠PBC＝2（∠PBC+∠P），
∴∠A＝2∠P，
故答案為：∠A＝2∠P．
（2023春?單縣期末）如圖①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝38°，∠C＝64°．

（1）求∠DAE的度數(shù)；
（2）如圖②，若把“AE⊥BC”變成“點F在DA的延長線上，F(xiàn)E⊥BC”，∠B＝α，∠C＝β（α＜β），請用α、β的代數(shù)式表示∠DFE．
【分析】（1）求出∠ADE的度數(shù)，利用∠DAE＝90°﹣∠ADE即可求出∠DAE的度數(shù)．
（2）求出∠ADE的度數(shù)，利用∠DFE＝90°﹣∠ADE即可求出∠DAE的度數(shù)．
【解答】解：（1）∵∠B＝38°，∠C＝64°，
∴∠BAC＝78°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝39°，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝77°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝13°．
（2）∵∠B＝α，∠C＝β，
∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝90°﹣（α+β），
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝α+90°﹣（α+β），
∵FE⊥BC，
∴∠FEB＝90°，
∴∠DFE＝90°﹣∠ADE＝（β﹣α）．
23．（2023春?秀英區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，∠CBD、∠BCE是△ABC的外角，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，BQ平分∠CBD，CQ平分∠BCE．
（1）若∠A＝70°，求∠P＝ 度；
（2）求∠PBQ及∠PCQ的度數(shù)；
（3）若∠A＝α，求∠P及∠Q的度數(shù)．（用含α的代數(shù)式表示）
【分析】（1）由∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）可得∠P度數(shù)，由∠Q＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB＝180°﹣（180°﹣∠ABC）﹣（180°﹣∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）可得∠Q度數(shù)；
（2）由角平分線知∠PBC＝∠ABC、∠QBC＝∠DBC，由∠ABC+∠DBC＝180°知∠PBQ＝∠PBC+∠QBC＝（∠ABC+∠DBC）＝90°，同理可得∠PCQ的度數(shù)；
（3）（3）與（2）同理可得．
【解答】解：（1）∵∠PBC＝∠ABC、∠PCB＝∠ACB，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB
＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝180°﹣（180°﹣70°）
＝125°；
∵∠QBC＝∠ABC、∠QCB＝∠ACB，
∴∠Q＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB
＝180°﹣（180°﹣∠ABC）﹣（180°﹣∠ACB）
＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠A）
＝（180°﹣70°）
＝55°．
故答案為：55；
（2）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，BQ平分∠CBD，CQ平分∠BCE．
∴∠PBC＝∠ABC、∠QBC＝∠DBC、∠PCB＝∠ACB、∠QCB＝∠BCE，
∵∠ABC+∠DBC＝180°、∠ACB+∠BCE＝180°，
∴∠PBQ＝∠PBC+∠QBC＝（∠ABC+∠DBC）＝90°，
∠PCQ＝∠PCB+∠QCB＝（∠ACB+∠BCE）＝90°；
（3）與（2）同理知∠P＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+α，
∠Q＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A＝90°﹣α，
24．（2023?東興區(qū)校級二模）如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度數(shù)；
（2）如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，試探索∠Q、∠A之間的數(shù)量關(guān)系．
（3）如圖③，延長線段BP、QC交于點E，△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，求∠A的度數(shù)．
【分析】（1）運用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的定義，首先求出∠PBC+∠PCB，進(jìn)而求出∠BPC即可解決問題；
（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)分別表示出∠MBC與∠BCN，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，那么分四種情況進(jìn)行討論：①∠EBQ＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°；③∠Q＝2∠E；④∠E＝2∠Q；分別列出方程，求解即可．
【解答】（1）解：∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵點P是∠ABC和∠ACB的平分線的交點，
∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）
＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝（180°+∠A）
＝90°+∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；
（3）延長BC至F，
∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+∠MBC
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，那么分四種情況：
①∠EBQ＝2∠E＝90°，則∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
②∠EBQ＝2∠Q＝90°，則∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；
③∠Q＝2∠E，則90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；
④∠E＝2∠Q，則∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．
綜上所述，∠A的度數(shù)是90°或60°或120°．
25．（2023春?桂林期末）實驗與探究
小芳同學(xué)在用數(shù)學(xué)圖形軟件探究平行線的性質(zhì)時，進(jìn)行如下實驗與探究：在直線CD上取一定點N，作一任意三角形MNP，過點M作直線AB∥CD，并標(biāo)記∠BMP為∠1，∠DNP為∠2，請用平行線的相關(guān)知識解決下列問題．
（1）如圖1，小芳發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點P落在直線AB與CD之間時，總有∠1+∠2＝∠P的結(jié)論，請你幫小芳說明理由；
（2）將三角形MNP繞點N旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點P落在直線AB與CD之外時（如圖2），小芳發(fā)現(xiàn)∠1，∠2，∠P之間依然滿足某種數(shù)量關(guān)系，請你寫出這個數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，當(dāng)點P落在直線AB與CD之間時，小芳用數(shù)學(xué)軟件作出∠AMP與∠CNP的角平分線MQ和NQ，交點為點Q，發(fā)現(xiàn)∠P與∠MQN之間也滿足某種數(shù)量關(guān)系，請你寫出這個數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠EPN＝∠2，∠EPM＝∠1即可；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠2＝∠PFB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠PFB＝∠P+∠1，進(jìn)而得出答案；
（3）利用（1）的結(jié)論以及角平分線的定義進(jìn)行計算即可．
【解答】解：（1）如圖1，過點P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠EPN＝∠2，∠EPM＝∠1，
∴∠MPN＝∠EPN+∠EPM＝∠1+∠2；
（2）∠2＝∠P+∠1，理由如下：如圖2，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠PFB，
∵∠PFB＝∠P+∠1，
∴∠2＝∠P+∠1；
（3）∠P+2∠MQN＝360°，理由如下：
如圖3，由（1）可得，∠P＝∠BMP+∠DNP，∠Q＝∠AMQ+∠CNQ，
∵M(jìn)Q平分∠AMP，NQ平分∠CNP，
∴∠AMQ＝∠QMP，∠CNQ＝∠QNP，
∵∠AMQ+∠QMP+∠BMP＝180°，∠CNQ+∠QNP+∠DNP＝180°，
∴2∠Q+∠P＝180°+180°＝360°，
即∠P+2∠MQN＝360°．
26．（2023春?徐州期末）已知：在△ABC中，∠BAC＝α．過AC邊上的點D作DE⊥BC，垂足為點E．BF為△ABC的一條角平分線，DG為∠ADE的平分線．
（1）如圖1，若α＝90°，點G在邊BC上且不與點B重合．
①判斷∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②判斷BF與GD的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖2，若0°＜α＜90°，點G在邊BC上，DG與FB的延長線交于點H，用含α的代數(shù)式表示∠H，并說明理由；
（3）如圖3，若0°＜α＜90°，點G在邊AB上，DG與BF交于點M，用含α的代數(shù)式表示∠BMD，則∠BMD＝ ．
【分析】（1）①利用角平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可解答，②利用角的關(guān)系可證明BF與GD的位置關(guān)系；
（2）和（3）均利用角平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理找到各角之間的等量關(guān)系求解即可．
【解答】（1）解：①∵∠ABC+∠C＝90°，∠CDE+∠C＝90°，
∴∠ABC＝∠CDE＝2∠1．
又∵∠CDE+∠ADE＝180°，
∴2∠1+2∠2＝180，即2（∠1+∠2）＝180°，
∴∠1+∠2＝90°．
②∵∠BFC＝∠BAC+∠ABF＝90°+∠1，∠GDC＝∠GDE+∠CDE＝∠2+2∠1＝∠1+∠2+∠1＝90°+∠1，
∴∠BFC＝∠GDC＝90°+∠1，
∴BF∥GD．
（2）∠H＝45°﹣α．
證明：∵∠H+∠BGH＝∠FBG，∠BGH＝∠DGE＝90°﹣∠EDG，
∴∠H+90°﹣∠EDG＝∠FBG，
∴∠H＝∠FBG+∠EDG﹣90°．
∵∠BGD＝∠EDG+90°，∠BFD＝∠ABF+α，∠BGD+∠BFD+∠FBG+∠FDG＝360°，
∴∠EDG+90°+∠ABF+α+∠FBG+∠FDG＝360°．
又∵∠ABF＝∠FBG，∠FDG＝∠EDG，
∴∠EDG+90°+∠ABF+α+∠FBG+∠FDG＝∠EDG+90°+∠FBG+α+∠FBG+∠EDG＝360°，
整理得2（∠EDG+∠FBG）＝360°﹣90°﹣α＝270﹣α，
∴∠FBG+∠EDG＝（270﹣α）＝135﹣α．將之代入∠H＝∠FBG+∠EDG﹣90°，
得∠H＝135﹣α﹣90°＝45°﹣α．
（3）∵∠BMD+90°+∠MBE+∠MDE＝360°，
∴∠BMD＝360°﹣90°﹣（∠MBE+∠MDE）＝270°﹣（∠MBE+∠MDE）．
又∵α+90°+∠ABE+∠ADE＝360°，∠ABE＝2∠MBE，∠ADE＝2∠MDE，
∴α+90°+2∠MBE+2∠MDE＝α+90°+2c（∠MBE+∠MBE）＝360°，
∴∠MBE+∠MBE＝（360°﹣90°﹣α）＝135°﹣α．將之代入∠BMD＝270°﹣（∠MBE+∠MDE），
得∠BMD＝270°﹣（135°﹣α）＝135°+α．
故答案為：135°+α．
27．（2023春?江都區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于點D，AE平分∠BAC．
（1）若∠B＝64°，∠C＝42°，則∠DAE＝ °；
（2）∠B、∠C與∠DAE有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；
（3）點G是線段CE上任一點（不與C、E重合），作GH⊥CE，交AE的延長線于點H，點F在BA的延長線上．若∠FAC＝α，∠GHE＝β，求∠B、∠C（用含α、β代數(shù)式表示）．
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BAE的度數(shù)，在Rt△ADB中求出∠BAD的度數(shù)，即可求出∠DAE的度數(shù)；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理用∠B、∠C表示出∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義表示出∠BAE，在Rt△ADB中用∠B表示出∠BAD，即可求出∠DAE與∠B、∠C的關(guān)系；
（3）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠FAC＝∠B+∠C，即∠B+∠C＝α①，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DAE＝∠GHE＝β，根據(jù)（2）中的結(jié)論得到∠B﹣∠C＝2β②，①與②組成方程組，求解即可．
【解答】（1）解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∵∠B＝64°，∠C＝42°，
∴∠BAC＝180°﹣64°﹣42°＝74°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝64°，
∴∠BAD＝90°﹣64°＝26°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝37°﹣26°＝11°，
故答案為：11；
（2），
證明：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝；
（3）解：∵∠FAC是△ABC的一個外角，
∴∠FAC＝∠B+∠C，
∵∠FAC＝α，
∴∠B+∠C＝α①，
∵AD⊥BC，GH⊥CE，
∴AD∥GH，
∴∠DAE＝∠GHE，
∵∠GHE＝β，
∴∠DAE＝β，
由（2）知，
∴，
即∠B﹣∠C＝2β②，
①、②組成方程組得，
解得．
28．（2023春?增城區(qū)期末）如圖1，已知兩條直線AB，CD被直線EF所截，分別交于點E，點F，EM平分∠AEF交CD于點M，且∠FEM＝∠FME．
（1）直線AB與直線CD是否平行，說明你的理由；
（2）如圖2，點G是射線MD上一動點（不與點M，F(xiàn)重合），EH平分∠FEG交CD于點H，過點H作HN⊥EM于點N，設(shè)∠EHN＝α，∠EGF＝β．
①當(dāng)點G在點F的右側(cè)時，若β＝60°，求α的度數(shù)；
②當(dāng)點G在運動過程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明．
【分析】（1）結(jié)論：AB∥CD．只要證明∠AEM＝∠EMD即可．
（2）①想辦法求出∠HEN即可解決問題．
②結(jié)論：α＝β．想辦法用β表示∠HEN即可解決問題．
【解答】解：（1）結(jié)論：AB∥CD．
理由：如圖1中，
∵EM平分∠AEF交CD于點M，
∴∠AEM＝∠MEF，
∵∠FEM＝∠FME．
∴∠AEM＝∠FME，
∴AB∥CD．
（2）①如圖2中，
∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠EGH＝β＝60°，
∴∠AEG＝120°，
∵∠AEM＝∠EMF，∠HEF＝∠HEG，
∴∠HEN＝∠MEF+∠HEF＝∠AEG＝60°，
∵HN⊥EM，
∴∠HNE＝90°，
∴∠EHN＝90°﹣∠HEN＝30°．
②猜想：α＝β或α＝90°﹣β
理由：①當(dāng)點G在F的右側(cè)時，
∵AB∥CD，
∴∠BEG＝∠EGH＝β，
∴∠AEG＝180°﹣β，
∵∠AEM＝∠EMF，∠HEF＝∠HEG，
∴∠HEN＝∠MEF+∠HEF＝∠AEG＝90°﹣β，
∵HN⊥EM，
∴∠HNE＝90°，
∴α＝∠EHN＝90°﹣∠HEN＝β．
②當(dāng)點G在F的左側(cè)在線段FM上時，同法可得α＝90°﹣β，
綜上所述，α＝β或α＝90°﹣β．
29．（2023春?信都區(qū)期末）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，點E是線段AC上的動點（不與點D重合），過點E作EF∥BC交射線BD于點F，∠CEF的平分線所在直線與射線BD交于點G．
（1）如圖，點E在線段AD上運動．
①若∠ABC＝40°，∠C＝60°，則∠A的度數(shù)是 ；∠EFB的度數(shù)是 ，
②探究∠BGE與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
若點E在線段DC上運動時，請直接寫出∠BGE與∠A之間的數(shù)量關(guān)系．

【分析】（1）①根據(jù)三角形的內(nèi)角和及平行線的性質(zhì)可知∠EFB＝∠FBC，再利用角平分線的定義即可解答；②根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)得到∠C＝∠DEF，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及角平分線的定義即可解答；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義得到，再根據(jù)角平分線的定義及外角的性質(zhì)即可解答．
【解答】解：（1）①∵∠ABC＝40°，∠C＝60°，
∴在△ABC中，∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵EF∥BC，
∴∠EFB＝∠FBC，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∴∠EFB＝∠FBC＝20°，
故答案為：80°、20°；
②∵∠BGE是△EGF是一個外角，
∴∠BGE＝∠EFG+∠FEG，
∵EF∥BC，
∴∠C＝∠DEF，
∵∠ABC+∠C＝180°﹣∠A，
∴∠ABC+∠DEF＝180°﹣∠A，
∵BD平分∠ABC，EG平分∠CEF，
∴，，
∴，
∵EF∥BC，
∴∠EFG＝∠CBD，
∴，
∴；
（2）∵EF∥BC，
∴∠FEH＝∠EHC，
∵GH是∠FEG的平分線，
∴∠FEH＝∠HEG，
∴∠HEG＝∠EHC，
∴，
∵BG平分∠ABC，
∴，
∴，
30．（2023春?曹縣期末）如圖，∠AOB＝90°，點C、D分別在射線OA、OB上，CE是∠ACD 的平分線，CE的反向延長線與∠CDO的平分線交于點F．
（1）在圖1中，當(dāng)∠CDO＝50°時，求∠F的度數(shù)；
（2）如圖2，當(dāng)C、D兩點分別在射線OA、OB上移動時（不與點O重合），其他條件不變，∠F的大小是否變化？若變化，請說明理由；若不變化，試求出∠F的度數(shù)．
?
【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得∠ACD＝∠O+∠CDO，∠ECD＝∠F+∠CDF，根據(jù)角平分線定義得∠ECD＝∠ACD，∠CDF＝∠CDO，由已知可求∠ACD＝90°+50°＝140°，∠ECD＝∠ACD＝70°，可求∠F＝∠ECD﹣∠CDF＝70°﹣25°＝45°；
（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得∠ACD＝∠O+∠CDO，∠ECD＝∠F+∠CDF，根據(jù)角平分線定義得∠ECD＝∠ACD，∠CDF＝∠CDO，可推出∠F＝∠ECD﹣∠CDF＝∠ACD﹣∠CDO＝（∠O+∠CDO）﹣∠CDO＝∠O＝45°，即∠F恒等于45°．
【解答】解：（1）∵∠ACD是△COD的外角，∠ECD是△CDF的外角，
∴∠ACD＝∠O+∠CDO，∠ECD＝∠F+∠CDF，
∵CE是∠ACD 的平分線，DF是∠CDO的平分線，
∴∠ECD＝∠ACD，∠CDF＝∠CDO，
∵∠CDO＝50°，∠AOB＝90°，
∴∠ACD＝∠O+∠CDO＝90°+50°＝140°，∠ECD＝∠ACD＝70°，
∴∠F＝∠ECD﹣∠CDF＝70°﹣25°＝45°；
（2）∠F的大小不變化，
∵∠ACD是△COD的外角，∠ECD是△CDF的外角，
∴∠ACD＝∠O+∠CDO，∠ECD＝∠F+∠CDF，
∵CE是∠ACD 的平分線，DF是∠CDO的平分線，
∴∠ECD＝∠ACD，∠CDF＝∠CDO，
∴∠F＝∠ECD﹣∠CDF＝∠ACD﹣∠CDO＝（∠O+∠CDO）﹣∠CDO＝∠O＝45°，
即∠F恒等于45°．

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