（蘇教版）高二數(shù)學(xué)寒假講義第08講排列組合（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型一：與排列數(shù)有關(guān)的運(yùn)算
題型二：組合概念及組合數(shù)公式
題型三：排列的定義及其理解
題型四：組合的定義及其理解
題型五：位置分析法
題型六：相鄰問題捆綁法
題型七：不相鄰問題插空法
題型八：定序問題
題型九：分組分配問題
題型十：隔板法
題型十一：先選后排
題型十二：分堆問題
題型十三：間接法
題型十四：多面手問題
題型十五：幾何問題
【知識點(diǎn)梳理】
知識點(diǎn)一、排列的概念
1、排列的定義：
一般地，從n個不同的元素中取出m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．
知識點(diǎn)詮釋：
（1）排列的定義中包括兩個基本內(nèi)容，一是“取出元素”，二是“按照一定的順序排列”．
（2）從定義知，只有當(dāng)元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時(shí)，才是同一個排列．
（3）如何判斷一個具體問題是不是排列問題，就要看從n個不同元素中取出m個元素后，再安排這m個元素時(shí)是有順序還是無順序，有順序就是排列，無順序就不是排列．
知識點(diǎn)二：排列數(shù)
1、排列數(shù)的定義
從個不同元素中，任?。ǎ﹤€元素的所有排列的個數(shù)叫做從個元素中取出元素的排列數(shù)，用符號表示．
知識點(diǎn)詮釋：
“排列”和“排列數(shù)”是兩個不同的概念，一個排列是指“從n個不同的元素中，任取m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列”，它不是一個數(shù)，而是具體的一個排列（也就是具體的一件事）；
2、排列數(shù)公式
，其中n，m∈N+，且m≤n．
知識點(diǎn)詮釋：
公式特征：第一個因數(shù)是，后面每一個因數(shù)比它前面一個少1，最后一個因數(shù)是，共有個因數(shù)．
知識點(diǎn)三：階乘表示式
1、階乘的概念：
把正整數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘．表示：，即．
規(guī)定：．
2、排列數(shù)公式的階乘式：
所以．
知識點(diǎn)四：排列的常見類型與處理方法
1、相鄰元素捆綁法
2、相離問題插空法
3、元素分析法
4、位置分析法
知識點(diǎn)五：組合
1、定義：
一般地，從個不同元素中取出（）個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合．
知識點(diǎn)詮釋：
（1）從排列與組合的定義可知，一是“取出元素”；二是“并成一組”，“并成一組”即表示與順序無關(guān)．
排列與元素的順序有關(guān)，而組合與元素的順序無關(guān)，這是它們的根本區(qū)別．
（2）如果兩個組合中的元素相同，那么不管元素的順序怎樣都是相同的組合；只有當(dāng)兩個組合中的元素不完全相同時(shí)，才是不同的組合．因此組合問題的本質(zhì)是分組問題，它主要涉及元素被取到或未被取到．
知識點(diǎn)六：組合數(shù)及其公式
1、組合數(shù)的定義：
從個不同元素中取出（）個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)．記作．
知識點(diǎn)詮釋：
“組合”與“組合數(shù)”是兩個不同的概念：
一個組合是指“從n個不同的元素中取出m（m≤n）個元素并成一組”，它不是一個數(shù)，而是具體的一件事；組合數(shù)是指“從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有組合的個數(shù)”，它是一個數(shù)．
2、組合數(shù)公式：
（1）（、，且）
（2）（、，且）
知識點(diǎn)詮釋：
上面第一個公式一般用于計(jì)算，但當(dāng)數(shù)值、較大時(shí)，利用第二個式子計(jì)算組合數(shù)較為方便，在對含有字母的組合數(shù)的式子進(jìn)行變形和論證時(shí)，常用第二個公式．
知識點(diǎn)七：組合數(shù)的性質(zhì)
性質(zhì)1：（、，且）
性質(zhì)2：（、，且）
知識點(diǎn)詮釋：
規(guī)定：．
知識點(diǎn)八、組合問題常見題型
（1）“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：
“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取．
（2）“至少”或“最多”含有幾個元素的題型：
解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直接法和間接法都可以求解，但通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理．
（3）分堆問題
①平均分堆，其分法數(shù)為：．
②分堆但不平均，其分法數(shù)為．
（4）定序問題．
對于某些元素的順序固定的排列問題，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在總位置中選出定序元素的位置而不參加排列，然后對其他元素進(jìn)行排列．
（5）相同元素分組問題用“隔板法”：
【典型例題】
題型一：與排列數(shù)有關(guān)的運(yùn)算
例1．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
例2．（2022·全國·高二）計(jì)算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
例3．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）（1）解不等式；
（2）證明：．
例4．（2022·全國·高二）求證：．
題型三：排列的定義及其理解
例5．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）從集合中任取兩個元素，①相加可得多少個不同的和？②相除可得多少個不同的商？③作為橢圓中的a，b，可以得到多少個焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程？④作為雙曲線中的a，b，可以得到多少個焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程？
上面四個問題屬于排列問題的是（）
A．①②③④B．②④C．②③D．①④
例6．（2022·吉林·四平市第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)）下列問題是排列問題的是（）
A．10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2022個不同的點(diǎn)，且任意三點(diǎn)不共線，連接任意兩點(diǎn)可以構(gòu)成多少條線段？
C．集合的含有三個元素的子集有多少個？
D．從高三（19）班的54名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會的獨(dú)唱、獨(dú)舞節(jié)目，有多少種選法？
例7．（2022·云南文山·高二期末（理））2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕．某學(xué)校社團(tuán)將舉辦慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年革命歌曲展演．現(xiàn)從《歌唱祖國》《英雄贊歌》《南泥灣》《沒有共產(chǎn)黨就沒有新中國》4首獨(dú)唱歌曲和《保衛(wèi)黃河》《唱支山歌給黨聽》《我和我的祖國》3首合唱歌曲中共選出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必須是合唱，則不同的安排方法共有（）
A．40B．240C．120D．360
例8．（2022·湖北省松滋市第一中學(xué)高二單元測試）給出下列問題：
①有10個車站，任意兩車站都有班次，共需要準(zhǔn)備多少種車票？
②有10個車站，任意兩車站都有班次，各班次票價(jià)不同，但任意兩車站間來回票價(jià)相同，則共有多少種不同的票價(jià)？
③平面內(nèi)有10個點(diǎn)，共可作出多少條不同的有向線段？
④有10個同學(xué)，假期約定每兩人通電話一次，共需通話多少次？
⑤從10個同學(xué)中選出2名分別參加數(shù)學(xué)和物理競賽，有多少中選派方法？
以上問題中，屬于排列問題的是_________（填寫問題序號）．
題型二：組合概念及組合數(shù)公式
例9．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）（1）計(jì)算：；
（2）計(jì)算：；
（3）解方程：．
例10．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）求證：．
例11．（2022·河南·南陽中學(xué)高二階段練習(xí)（理））（1）求值；
（2）已知，求
例12．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）求證：．
題型四：組合的定義及其理解
例13．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）寫出從A，B，C，D，E 5個元素中，依次取3個元素的所有組合．
例14．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）給出下列問題：
（1）從a，b，c，d四名學(xué)生中選2名學(xué)生完成一件工作，有多少種不同的選法？
（2）從a，b，c，d四名學(xué)生中選2名學(xué)生完成兩件不同的工作，有多少種不同的選法？
（3）a，b，c，d四支足球隊(duì)之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，共需賽多少場？
（4）a，b，c，d四支足球隊(duì)爭奪冠亞軍，有多少種不同的結(jié)果？
（5）某人射擊8槍，命中4槍，且命中的4槍均為2槍連中，不同的結(jié)果有多少種？
（6）某人射擊8槍，命中4槍，且命中的4槍中恰有3槍連中，不同的結(jié)果有多少種？
在上述問題中，哪些是組合問題？哪些是排列問題？
例15．（2022·陜西·武功縣普集高級中學(xué)高二階段練習(xí)（理））有4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)．
（1）共有多少種放法？
（2）恰有一個盒子不放球，有多少種放法？
（3）恰有兩個盒不放球，有多少種放法？
例16．（2022·全國·高二單元測試）小明在學(xué)校里學(xué)習(xí)了二十四節(jié)氣歌后，打算在網(wǎng)上搜集一些與二十四節(jié)氣有關(guān)的古詩，他準(zhǔn)備在冬季的個節(jié)氣：立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒與春季的個節(jié)氣：立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨中一共選出個節(jié)氣，搜集與之相關(guān)的古詩，如果冬季節(jié)氣和春季節(jié)氣各至少被選出個，那么小明選取節(jié)氣的不同情況的種數(shù)是（）
A．
B．
C．
D．
題型五：位置分析法
例17．（2022·吉林·東北師大附中高二期末）甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則不同的排法有（）
A．24種B．6種C．4種D．12種
例18．（2022·河南濮陽·高三開學(xué)考試（理））某班開展“學(xué)黨史，感黨恩”演講活動，安排四個演講小組在班會上按次序演講，則A組不是第一個演講的方法數(shù)為（）
A．13B．14C．15D．18
題型六：相鄰問題捆綁法
例19．（2022·遼寧·同澤高中高二階段練習(xí)）某一天的課程表要排入語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物六門課，如果數(shù)學(xué)只能排在第一節(jié)或者最后一節(jié)，物理和化學(xué)必須排在相鄰的兩節(jié)，則共有______種不同的排法
例20．（2022·山西·高二學(xué)業(yè)考試）甲?乙?丙三位同學(xué)站成一排照相，則甲丙相鄰的概率為______．
例21．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法種數(shù)為______．
題型七：不相鄰問題插空法
例22．（2022·寧夏·賀蘭縣景博中學(xué)高二階段練習(xí)（理））五行是中國古代的一種物質(zhì)觀．多用于哲學(xué)、中醫(yī)學(xué)和占卜方面．五行指代：金、木、水、火、土．現(xiàn)將“金、木、水、火、土”排成一排，則“木、土”不相鄰的排法共有______種．
例23．（2022·浙江·溫嶺中學(xué)高二期末）某學(xué)校為貫徹“科學(xué)防疫”理念，實(shí)行“佩戴口罩，不鄰而坐”制度（每兩個同學(xué)不能相鄰）．若該學(xué)校的教室一排有8個座位，安排3名同學(xué)就坐，則不同的安排方法共有___________種．（用數(shù)字作答）
例24．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高二期末）4個人隨機(jī)去坐連成一排的11個座位，由于受新冠疫情影響，要求他們每兩人之間至少留有一個空位，則不同的坐法有______種．
例25．（2022·浙江·紹興市教育教學(xué)研究院高二期末）現(xiàn)要給1個小品類節(jié)目，2個唱歌類節(jié)目，2個舞蹈類節(jié)目排列演出順序，要求同類節(jié)目不相鄰，則不同的排法有___________種．
題型八：定序問題
例26．（2022·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高二期末）共五人站成一排，如果必須站在的右邊，那么不同的排法有___________種．
例27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）7人排隊(duì)，其中甲、乙、丙3人順序一定，共有__不同的排法．
題型九：分組分配問題
例28．（2022·遼寧·沈陽市第三十一中學(xué)高二階段練習(xí)）將5名志愿者分配到世界杯的3個不同體育場進(jìn)行志愿者服務(wù)，每名志愿者分配到1個體育場，每個體育場至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有______種．
例29．（2022·新疆和靜高級中學(xué)高二階段練習(xí)）博鰲亞洲論壇2021年會于4月18日至21日在海南省瓊海市博鰲鎮(zhèn)舉行，為了做好安保工作，大會期間將甲、乙等4個安保小組全部安排到指定A、B、C三個區(qū)域內(nèi)工作，且這三個區(qū)域中每個區(qū)域至少有一個安保小組，則這樣的安排方法共有__________種．（結(jié)果用數(shù)值表示）
例30．（2022·福建·莆田第六中學(xué)高二階段練習(xí)）冬季供暖就要開始，現(xiàn)分配出4名水暖工去3個不同的居民小區(qū)檢查暖氣管道，每名水暖工只去一個小區(qū)，且每個小區(qū)都要有人去檢查，那么分配的方案共有__________種．
題型十：隔板法
例31．（2022·重慶·高二階段練習(xí)）若方程：，則方程的正整數(shù)解的個數(shù)為___________．
例32．（2022·福建三明·高二期末（理））將個數(shù)學(xué)競賽名額分配給個不同的班級，其中甲、乙兩個班至少各有個名額，則不同的分配方案種數(shù)為__________．
例33．（2022·江蘇啟東·高二期中（理））6個相同的小球放入標(biāo)號為1、2、3的3個小盒子中，要求每個盒子都不空，共有方法總數(shù)為_____．
題型十一：先選后排
例34．（2022·江蘇·泰州中學(xué)高二階段練習(xí)）某次燈謎大會共設(shè)置6個不同的謎題，分別藏在如圖所示的6只燈籠里，每只燈籠里僅放一個謎題．并規(guī)定一名參與者每次只能取其中一串最下面的一只燈籠并解答里面的謎題，直到答完全部6個謎題，則一名參與者一共有___________種不同的答題順序．
例35．（2022·江西·浮梁縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)（理））標(biāo)號為0到9的10瓶礦泉水．
（1）從中取4瓶，恰有2瓶上的數(shù)字相鄰的取法有多少種？
（2）把10個空礦泉水瓶掛成如下4列的形式，作為射擊的靶子，規(guī)定每次只能射擊每列最下面的一個（射中后這個空瓶會掉到地下），把10個礦泉水瓶全部擊中有幾種不同的射擊方案？
（3）把擊中后的礦泉水瓶分送給A、B、C三名垃圾回收入員，每個瓶子1角錢．垃圾回收入員賣掉瓶子后有幾種不同的收入結(jié)果？
題型十二：分堆問題
例36．（2022·全國·高二單元測試）已知有6本不同的書．
（1）分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？
（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？
（3）分給甲?乙?丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少種不同的分配方法？
例37．（2022·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)有大小相同的只球，其中只不同的紅球，只不同的白球，只不同的黑球．
（1）將這只球排成一列且相同顏色的球必須排在一起，有多少種排列的方法?（請用數(shù)字作答）
（2）將這只球分成三堆，三堆的球數(shù)分別為：，共有多少種分堆的方法?（請用數(shù)字作答）
（3）現(xiàn)取只球，求各種顏色的球都必須取到的概率．（請用數(shù)字作答）
題型十三：間接法
例38．（2022·海南·三亞華僑學(xué)校高二階段練習(xí)）從5名男生和4名女生中選出4人去參加座談會，問：
（1）如果4人中男生和女生各選2人，有多少種選法？
（2）如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，有多少種選法？
例39．（2022·江蘇·連云港市贛馬高級中學(xué)高二階段練習(xí)）現(xiàn)有9名學(xué)生，其中女生4名，男生5名．
（1）從中選2名代表，必須有女生的不同選法有多少種？
（2）從中選出男、女各2名的不同選法有多少種？
（3）從中選4人分別擔(dān)任四個不同崗位的志愿者，每個崗位一人，且男生中的甲與女生中的乙至少有1人在內(nèi)，有多少種安排方法？
題型十四：多面手問題
例40．（2022·陜西寶雞·高二期末）某出版社的11名工人中，有5人只會排版，4人只會印刷，還有2人既會排版又會印刷，現(xiàn)從11人中選4人排版，4人印刷，有多少種不同的選法？
例41．（2022·江西·宜春九中高二期中（理））（1）把本不同的書分給位學(xué)生，每人至少一本，有多少種方法？
（2）由這個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)由多少個？
（3）某旅行社有導(dǎo)游人，其中人只會英語，人只會日語，其余人既會英語，也會日語，現(xiàn)從中選人，其中人進(jìn)行英語導(dǎo)游，另外人進(jìn)行日語導(dǎo)游，則不同的選擇方法有多少種？
題型十五：幾何問題
例42．（2022·全國·高三競賽）已知直線中的、、是取自集合中的3個不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角．那么這樣的直線的條數(shù)是______．
例43．（2022·全國·高考真題（文））圓周上有個等分點(diǎn)，以其中三個點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的個數(shù)為_____________．
例44．（2022·全國·高三專題練習(xí)）正方體的8個頂點(diǎn)中，選取4個共面的頂點(diǎn)，有______種不同選法
【同步練習(xí)】
一、單選題
1．（2022·陜西省榆林中學(xué)高三階段練習(xí)（理））某學(xué)校文藝匯演準(zhǔn)備從甲、乙、丙、丁、戊5人中選4人參加演出．要求甲和乙必須同時(shí)參加，且他們的演出順序必須滿足甲在前、乙在后，那么不同的演出順序種數(shù)有（）
A．18種B．24種C．36種D．72種
2．（2022·江蘇南通·高三階段練習(xí)）已知電影院有三部影片同時(shí)上映，一部動畫片，一部喜劇片，一部動作片，5名同學(xué)前去觀看，若喜劇片和動作片各至少兩人觀看，則不同的觀影方案共有（）種.
A．30B．40C．50D．80
3．（2022·河南新鄉(xiāng)·一模（理））從2至8的7個整數(shù)中隨機(jī)取2個不同的數(shù)，則這2個數(shù)都是質(zhì)數(shù)的概率為（）
A．B．C．D．
4．（2022·貴州·貴陽一中高三階段練習(xí)（理））高三年級某班組織元旦晚會，共準(zhǔn)備了甲、乙、丙、丁、戊五個節(jié)目，出場時(shí)要求甲、乙、丙三個節(jié)目順序?yàn)椤凹?、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相鄰），則這樣的出場排序有（）
A．24種B．40種C．60種D．84種
5．（2022·四川成都·高三期中（理））某校在重陽節(jié)當(dāng)日安排4位學(xué)生到三所敬老院開展志愿服務(wù)活動，要求每所敬老院至少安排1人，則不同的分配方案數(shù)是（）
A．81B．72C．48D．36
6．（2022·四川·石室中學(xué)模擬預(yù)測（理））某校安排5名同學(xué)去A，B，C，D四個愛國主義教育基地學(xué)習(xí)，每人去一個基地，每個基地至少安排一人，則甲同學(xué)被安排到A基地的排法總數(shù)為（）
A．24B．36C．60D．240
7．（2022·湖北·高三期中）2022年10月16日中國共產(chǎn)黨二十大報(bào)告中指出“我們經(jīng)過接續(xù)奮斗，實(shí)現(xiàn)了小康這個中華民族的千年夢想，打贏人類歷史上規(guī)模最大的脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，歷史性地解決絕對貧困問題，為全球減貧事業(yè)作出了重大貢獻(xiàn)”，為進(jìn)一步了解和鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，某縣選派7名工作人員到A，B，C三個鄉(xiāng)鎮(zhèn)進(jìn)行調(diào)研活動，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少去1人，恰有兩個鄉(xiāng)鎮(zhèn)所派人數(shù)相同，則不同的安排方式共有（）
A．1176B．2352C．1722D．1302
8．（2022·山東聊城一中高二期中）因?yàn)橐咔榉揽氐男枰?，某校高二年?名男教師和3名女教師參與社區(qū)防控新冠肺炎疫情的志愿服務(wù)．根據(jù)崗位需求應(yīng)派3人巡視商戶，且至少一名男教師；另外4人去不同的4個小區(qū)測量出入人員體溫，則這7名教師不同的安排方法有（）種．
A．34B．816C．216D．210
二、多選題
9．（2022·吉林·四平市第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)）下列等式正確的是（）
A．B．
C．！D．
10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）將甲?乙?丙?丁4名志愿者分別安排到三個社區(qū)進(jìn)行暑期社會實(shí)踐活動，要求每個社區(qū)至少安排一名志愿者，則下列選項(xiàng)正確的是（）
A．共有18種安排方法
B．若甲?乙被安排在同社區(qū)，則有6種安排方法
C．若社區(qū)需要兩名志愿者，則有24種安排方法
D．若甲被安排在社區(qū)，則有12種安排方法
11．（2022·全國·高二單元測試）某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法正確的是（）
A．若任意選擇三門課程，則選法種數(shù)為35
B．若物理和化學(xué)至少選一門，則選法種數(shù)為30
C．若物理和歷史不能同時(shí)選，則選法種數(shù)為30
D．若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不能同時(shí)選，則選法種數(shù)為20
12．（2022·河北省文安縣第一中學(xué)高二期末）某校計(jì)劃安排五位老師（包含甲、乙、丙）擔(dān)任四月三日至四月五日的值班工作，每天都有老師值班，且每人最多值班一天.（）
A．若每天安排一人值班，則不同的安排方法共有種
B．若甲、乙、丙三人只有一人安排了值班，則不同的安排方法共有種
C．若甲、乙兩位老師安排在同一天值班，丙沒有值班，則不同的安排方法共有種
D．若五位老師都值班了一天，且每天最多安排兩位老師值班，則不同的安排方法共有種
三、填空題
13．（2022·遼寧·同澤高中高二階段練習(xí)）用數(shù)字組成______個沒有重復(fù)數(shù)字并且是的倍數(shù)的五位數(shù)
14．（2022·遼寧·同澤高中高二階段練習(xí)）北京時(shí)間2022年11月30日7時(shí)33分，神舟十五號航天員乘組在載人飛船與空間站組合體成功實(shí)現(xiàn)對接后，從飛船返回艙進(jìn)入軌道艙，并與神舟十四號航天員乘組“勝利會師”，中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙．假設(shè)中國空間站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天員開展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排3人，問天實(shí)驗(yàn)艙安排2人，夢天實(shí)驗(yàn)的安排1人．若甲、乙兩人不能同時(shí)在一個艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方案共有______種
15．（2022·河南·南陽市第八中學(xué)校高二階段練習(xí)）從正方體的8個頂點(diǎn)中任選4個，則這4個點(diǎn)不在同一平面內(nèi)的選法有___________種.
16．（2022·上海市金山中學(xué)高二期末）某次演出有6個節(jié)目，若甲、乙、丙3個節(jié)目的先后順序已確定，則不同的排法有____種．
甲、乙、丙3個節(jié)目全排列有,
所以演出中的6個節(jié)目，若甲、乙、丙3個節(jié)目的先后順序已確定，則不同的排法有，
故答案為：.
四、解答題
17．（2022·新疆和靜高級中學(xué)高二階段練習(xí)）（1）①計(jì)算：；
②.已知，求.
（2）一場小型晚會有2個唱歌節(jié)目和3個相聲節(jié)目，要求排出一個節(jié)目單.
①.3個相聲節(jié)目要排在一起，有多少種排法？（結(jié)果用數(shù)值表示）
②.2個唱歌節(jié)目不相鄰，有多少種排法？（結(jié)果用數(shù)值表示）
（3）如圖，
從左到右共有5個空格，用4種不同顏色給5個空格涂色，要求相鄰空格用不同的顏色涂色，一共有多少種涂色方案？（結(jié)果用數(shù)值表示）
18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知有6本不同的書.
(1)分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？
(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？
19．（2022·吉林·四平市第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)）現(xiàn)有8個人（5男3女）站成一排．
(1)其中甲必須站在排頭有多少種不同排法？
(2)女生必須排在一起，共有多少種不同的排法？
(3)其中甲、乙兩人不能排在兩端有多少種不同的排法？
(4)其中甲在乙的左邊有多少種不同的排法？
(5)甲、乙不能排在前3位，有多少種不同排法？
(6)女生兩旁必須有男生，有多少種不同排法？
20．（2022·寧夏·賀蘭縣景博中學(xué)高二階段練習(xí)（理））0、1、2、3、4、5這六個數(shù).
(1)可組成沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)多少個？
(2)可組成沒有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中的偶數(shù)多少個？
(3)可組成沒有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)中比24305大的數(shù)有多少個？
21．（2022·浙江·寧波市北侖中學(xué)高二期中）（1）把6個相同的小球放入4個不同的箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法？
（2）把6個不同的小球放入4個相同的箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法？
（3）把6個不同的小球放入4個不同的箱子中，每個箱子都不空，共有多少種放法？
22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）用0、1、2、3四個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)．
(1)把這些自然數(shù)從小到大排成一個數(shù)列，1230是這個數(shù)列的第幾項(xiàng)？
(2)其中的四位數(shù)中偶數(shù)有多少個？它們各個數(shù)位上的數(shù)字之和是多少？它們的和是多少？

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