題型一：求平面的法向量
題型二：利用向量研究平行問(wèn)題
題型三：利用向量研究垂直問(wèn)題
題型四：異面直線(xiàn)所成的角
題型五：線(xiàn)面角
題型六：二面角
題型七：距離問(wèn)題
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
知識(shí)點(diǎn)一：直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量
1、直線(xiàn)的方向向量：
點(diǎn)A是直線(xiàn)l上的一個(gè)點(diǎn)，是直線(xiàn)l的方向向量，在直線(xiàn)l上取，取定空間中的任意一點(diǎn)O，則點(diǎn)P在直線(xiàn)l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使或，這就是空間直線(xiàn)的向量表達(dá)式.
知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?br>（1）在直線(xiàn)上取有向線(xiàn)段表示的向量，或在與它平行的直線(xiàn)上取有向線(xiàn)段表示的向量，均為直線(xiàn)的方向向量．
（2）在解具體立體幾何題時(shí)，直線(xiàn)的方向向量一般不再敘述而直接應(yīng)用，可以參與向量運(yùn)算或向量的坐標(biāo)運(yùn)算．
2、平面的法向量定義：
直線(xiàn)l⊥α，取直線(xiàn)l的方向向量，我們稱(chēng)向量為平面α的法向量．給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量，那么過(guò)點(diǎn)A，且以向量為法向量的平面完全確定，可以表示為集合.
知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)阂粋€(gè)平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時(shí)，可適當(dāng)取平面的一個(gè)法向量．已知一平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)的方向向量，可求出該平面的一個(gè)法向量．
3、平面的法向量確定通常有兩種方法：
（1）幾何體中有具體的直線(xiàn)與平面垂直，只需證明線(xiàn)面垂直，取該垂線(xiàn)的方向向量即得平面的法向量；
（2）幾何體中沒(méi)有具體的直線(xiàn)，一般要建立空間直角坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：
（i）設(shè)出平面的法向量為；
（ii）找出（求出）平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)的向量的坐標(biāo)，；
（iii）根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x、y、z的方程；
（iv）解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量．由于一個(gè)平面的法向量有無(wú)數(shù)個(gè)，故可在代入方程組的解中取一個(gè)最簡(jiǎn)單的作為平面的法向量．
知識(shí)點(diǎn)二：用向量方法判定空間中的平行關(guān)系
空間中的平行關(guān)系主要是指：線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行、面面平行．
（1）線(xiàn)線(xiàn)平行
設(shè)直線(xiàn)的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即．
（2）線(xiàn)面平行
線(xiàn)面平行的判定方法一般有三種：
①設(shè)直線(xiàn)的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明，即．
②根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理：要證明一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線(xiàn)的方向向量是共線(xiàn)向量．
③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，只要證明這條直線(xiàn)的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)向量線(xiàn)性表示即可．
（3）面面平行
①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線(xiàn)面平行、線(xiàn)線(xiàn)平行即可．
②若能求出平面，的法向量，則要證明，只需證明．
知識(shí)點(diǎn)三、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系
空間中的垂直關(guān)系主要是指：線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直、面面垂直．
（1）線(xiàn)線(xiàn)垂直
設(shè)直線(xiàn)的方向向量分別為，則要證明，只需證明，即．
（2）線(xiàn)面垂直
①設(shè)直線(xiàn)的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明．
②根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)垂直．
（3）面面垂直
①根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線(xiàn)面垂直、線(xiàn)線(xiàn)垂直．
②證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直．
知識(shí)點(diǎn)四、用向量方法求空間角
（1）求異面直線(xiàn)所成的角
已知a，b為兩異面直線(xiàn)，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點(diǎn)，a，b所成的角為，
則．
知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)簝僧惷嬷本€(xiàn)所成的角的范圍為．兩異面直線(xiàn)所成的角可以通過(guò)這兩直線(xiàn)的方向向量的夾角來(lái)求得，但二者不完全相等，當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時(shí)，應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩異面直線(xiàn)所成的角．
（2）求直線(xiàn)和平面所成的角
設(shè)直線(xiàn)的方向向量為，平面的法向量為，直線(xiàn)與平面所成的角為，與的角為，
則有．
（3）求二面角
如圖，若于于，平面交于，則為二面角的平面角，.
若分別為面的法向量，
則二面角的平面角或，
即二面角等于它的兩個(gè)面的法向量的夾角或夾角的補(bǔ)角．
①當(dāng)法向量與的方向分別指向二面角的內(nèi)側(cè)與外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于的夾角的大小．
②當(dāng)法向量的方向同時(shí)指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于的夾角的補(bǔ)角的大?。?br>知識(shí)點(diǎn)五、用向量方法求空間距離
1、求點(diǎn)面距的一般步驟：
①求出該平面的一個(gè)法向量；
②找出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線(xiàn)段對(duì)應(yīng)的向量；
③求出法向量與斜線(xiàn)段向量的數(shù)量積的絕對(duì)值再除以法向量的模，即可求出點(diǎn)到平面的距離．
即：點(diǎn)A到平面的距離，其中，是平面的法向量．
2、線(xiàn)面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)行求解．
直線(xiàn)與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．
兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．
3、點(diǎn)線(xiàn)距
設(shè)直線(xiàn)l的單位方向向量為，，，設(shè)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離 .
【典型例題】
題型一：求平面的法向量
例1．（2022·湖北·高二階段練習(xí)）已知平面內(nèi)有兩點(diǎn)，，平面的一個(gè)法向量為，則（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【解析】
解：因?yàn)?，，所以?br>因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，所以，
則，解得，
故選：C.
例2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體，分別寫(xiě)出對(duì)角面和平面的一個(gè)法向量．
【答案】平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為；
【解析】
解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則、、、、，所以，，，設(shè)面的法向量為，所以，令，則，，所以，即平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，所以平面的一個(gè)法向量為；
題型二：利用向量研究平行問(wèn)題
例3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為的中點(diǎn)，P、Q是正方體表面上相異兩點(diǎn)．若P、Q均在平面上，滿(mǎn)足，．
(1)判斷PQ與BD的位置關(guān)系；
(2)求的最小值．
【解析】
(1)以D為原點(diǎn)，以射線(xiàn)DA，DC，分別為x，y，z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，，，．
因?yàn)镻、Q均在平面上，所以設(shè)，，
則，，．
因?yàn)?，?br>所以
解得:
所以，，
即，，
所以PQ與BD的位置關(guān)系是平行．
(2)由（1）可知：，，
所以．
當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為．
例4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體中，棱長(zhǎng)為2a，M是棱的中點(diǎn).求證：平面.
【解析】
以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以?與的方向?yàn)閤?y與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.則???????，M是棱的中點(diǎn)得，.設(shè)面的一個(gè)法向量為，，，則令，則.又，因?yàn)槠矫?，所以平?
題型三：利用向量研究垂直問(wèn)題
例5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體，中，E、F分別是棱AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且，其中，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．
(1)求證：；
(2)若、E、F、四點(diǎn)共面，求證：．
【解析】
(1)解：由已知得，，，，
則，，
∴，
∴，
即．
(2)，，．
設(shè)，
由解得，．
所以．
例6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知長(zhǎng)方體中，，判斷滿(mǎn)足下列條件的點(diǎn)M，N是否存在：.
【解析】
解：假設(shè)存在滿(mǎn)足條件.在長(zhǎng)方體中以D為原點(diǎn)，分別以所在的直線(xiàn)為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
不妨設(shè)則
在中，
，
又
解得：
即存在點(diǎn)滿(mǎn)足
例7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，O是AC與BD的交點(diǎn)，M是的中點(diǎn)．求證：平面MBD．
【解析】
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，則，
，，
由于，所以平面.
題型四：異面直線(xiàn)所成的角
例8．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，O為中點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)求異面直線(xiàn)與OD所成角的大?。?br>【解析】
(1)如圖，以D為原點(diǎn)，射線(xiàn)DA、DC、分別為x、y、z軸的正向，
建立空間直角坐標(biāo)系，則有，， ,
故，．
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
由得，
令，則，，所以．
又，從而，即．
∵不在平面內(nèi)，所以平面．
(2)直線(xiàn)與OD的一個(gè)方向向量為，，
得，
又設(shè)異面直線(xiàn)與OD所成角為 ，則，故 ，
所以異面直線(xiàn)與OD所成角的大小為．
例9．（2022·江蘇常州·高二期中）如圖，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，，是線(xiàn)段的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)試在線(xiàn)段上確定一點(diǎn)，使與所成角是60°.
【解析】
(1)設(shè)，連接，因?yàn)槭钦叫?，所以是中點(diǎn)，
又因?yàn)槭蔷匦危蔷€(xiàn)段的中點(diǎn)，所以,,
所以四邊形為平行四邊形，所以,
因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫?br>(2)如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
依題意設(shè)，
則，，
因?yàn)?，，?br>與所成角是，
所以，即，
化簡(jiǎn)得，解得或（不合題意舍去），
從而，因此點(diǎn)應(yīng)在線(xiàn)段的中點(diǎn)處．
題型五：線(xiàn)面角
例10．（2022·天津和平·一模）平行四邊形所在的平面與直角梯形所在的平面垂直，∥，，且為的中點(diǎn).
(1)求證：；
(2)求點(diǎn)到平面的距離；
(3)若直線(xiàn)上存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)所成角的余弦值為，求直線(xiàn)與平面成角的大小.
【解析】
(1)中，，
由余弦定理得，，
，，
平面平面，平面平面＝，平面，
平面，.
(2)以A為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則，
則，，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，取，
∴點(diǎn)到平面的距離；
(3)，，，，
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，，
∵E、H、F三點(diǎn)共線(xiàn)，∴，
，∴，
∴，
解得，
，
設(shè)平面的法向量為，
則，即，令，則，
設(shè)直線(xiàn)與平面成的角為，
，
∴直線(xiàn)與平面成的角為.
例11．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，三棱臺(tái)中，，，．
(1)證明：；
(2)求直線(xiàn)與平面所成的角．
【解析】
(1)由題，取中點(diǎn)，連接，由，，則，又面，故面，
因?yàn)槊?，故，又，則，得證；
(2)由題，，則，又，，
故，故.
分別以為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
易得，，，，，，設(shè)平面法向量，
則，令，則，
故，故直線(xiàn)與平面所成的角為.
即直線(xiàn)與平面所成的角為.
題型六：二面角
例12．（2022·福建·三明一中模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形為菱形，，將沿折起，得到三棱錐，點(diǎn)M，N分別為和的重心．
(1)證明：∥平面；
(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的余弦值．
【解析】
(1)延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)交于O點(diǎn)，連接．
因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別為和的重心，所以點(diǎn)P，
O分別為和的中點(diǎn)，所以，
又平面，平面，
所以平面．
(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，點(diǎn)D到底面的距離最大，
即平面平面，
連接，因?yàn)楹途鶠檎切危?br>于是，又平面平面，
所以平面，所以?xún)蓛纱怪保?br>以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
又二面角即二面角，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則
可得，取，則，
同理設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則,即，取，則，
所以，
由圖可知二面角為鈍角，
所以二面角的余弦值為．
例13．（2022·青海玉樹(shù)·高三階段練習(xí)（理））如圖，在多面體ABCDFE中，平面平面ABEF，四邊形ABCD是矩形，四邊形ABEF為等腰梯形，且，，．
(1)求證：；
(2)求二面角的余弦值．
【解析】
(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，故，又平面平面，平面平面，平面ABEF，又平面ABEF，
取EF中點(diǎn)G，連接BG
四邊形ABGF為平行四邊形
在中，，
平面BCE，且交于點(diǎn)B
平面BCE
平面BCE
(2)由（1），平面ABEF，可得兩兩垂直，故以為原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，由（1）同理可得，，故，，，
故，，.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，故 ，令，則
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，故 ，令，則
二面角為，則，即二面角的余弦值為
題型七：距離問(wèn)題
例14．（2022·上海交大附中模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱柱，其中．
(1)若點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，求三棱錐的體積．
(2)求點(diǎn)到平面的距離
【解析】
(1)實(shí)際上需求三棱錐的體積．
由正四棱柱，
角形的面積為
因?yàn)镻是棱上的動(dòng)點(diǎn)且與平面平行，則只需寫(xiě)出與平面間的距離即可．
由于平面，不妨記三棱錐的高為
則三棱錐的體積
(2)以D為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．
則
可知
設(shè)平面的法向量為
則
不妨設(shè)，同時(shí)設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d
則
故點(diǎn)到平面的距離為
例15．（2022·全國(guó)·高二）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，的中點(diǎn)．
(1)求證：平面平面EFG；
(2)求平面與平面EFG間的距離．
【解析】
(1)∵E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，
∴連接AC得，EF∥AC，
∵是平行四邊形，
∴，
又平面平面，
∥平面，
同理，連接可得，可得EG∥平面，
與平面EFG，
∴平面∥平面EFG﹒
(2)如圖：
以D為原點(diǎn)，DA、DC、分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz﹒
則
∴，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，
則平面與平面EFG間的距離為﹒
【同步練習(xí)】
一、單選題
1．（2022·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)為陽(yáng)馬.如圖，在陽(yáng)馬中，平面，底面是正方形，且，，分別為，的中點(diǎn)，則（ ）
A．平面
B．平面
C．點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為
D．點(diǎn)到平面的距離為
【答案】D
【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空直角坐標(biāo)系如圖所示
由題意可知，，，，，，，
所以，， ，，，
對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椋圆淮怪?，即不垂直?br>所以直線(xiàn)與平面不垂直，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)平面EFC的法向量為，則
,即，令，則，所以．
因?yàn)?，所以，所以直線(xiàn)與平面不平行，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，設(shè)點(diǎn)F到直線(xiàn)CD的距離為h，，，則，即，所以點(diǎn)F到直線(xiàn)CD的距離為，故C錯(cuò)誤；
設(shè)點(diǎn)A到平面EFC的距離為d，，則
，所以點(diǎn)A到平面EFC的距離為，故D正確.
故選：D.
2．（2022·河北邢臺(tái)·高二階段練習(xí)）在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，若，則異面直線(xiàn)與夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)，則，，，，，，，，因?yàn)?，所以，解?
因?yàn)椋?，所以，故異面直線(xiàn)與夾角的余值為.
故選：B.
3．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高二期中）已知直線(xiàn)的方向向量分別為，若，則等于（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】由于，所以，則.，解得.
故選：C.
4．（2022·陜西·乾縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，側(cè)棱長(zhǎng)為，點(diǎn)，分別在上，為的中點(diǎn)，若，則線(xiàn)段的長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由于直三棱柱，且，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則．由，可得．
設(shè)，則
，，即，解得．
所以
故選：B
5．（2022·安徽省宿州市第二中學(xué)高二期末）已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且是的方向向量，則點(diǎn)到的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題設(shè)，則，
所以，而，
故到l的距離為.
故選：C
6．（2022·山西運(yùn)城·高二階段練習(xí)）已知空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，，，則點(diǎn)Р到直線(xiàn)AB的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，，
，，，
在上的投影為，
則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.
故選：D．
7．（2022·江西·高二階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中， ，當(dāng) 時(shí)，有平面，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．1B．2C．3D．
【答案】C
【解析】如下圖所示：
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系；設(shè)，
則，設(shè)
即，，
由得
即，所以
則
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
，所以
令，則；所以
由平面可知，,即.
所以.
故選：C
8．（2022·湖北·武漢市第十七中學(xué)高二期中）在正四面體中，點(diǎn)E在棱AB上，滿(mǎn)足，點(diǎn)F為線(xiàn)段AC上的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．存在某個(gè)位置，使得
B．存在某個(gè)位置，使得
C．存在某個(gè)位置，使得直線(xiàn)DE與平面DBF所成角的正弦值為
D．存在某個(gè)位置，使得平面DEF與平面DAC夾角的余弦值為
【答案】C
【解析】如下圖所示，設(shè)正四面體的底面中心為點(diǎn)，連接，則平面，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線(xiàn)分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，
則，，，，，
設(shè)，其中，
對(duì)于A，若存在某個(gè)位置使得，，，
所以，解得，不滿(mǎn)足題意，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若存在某個(gè)位置使得，，，
則，該方程無(wú)解，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
，，
由，令，則，
若存在某個(gè)位置，使得直線(xiàn)DE與平面DBF所成角的正弦值為，又，
則，
整理得，解得或（舍去），
所以存在，即為的中點(diǎn)，滿(mǎn)足題意，故C正確；
對(duì)于D，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
又，，
由，取，得，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
，，
由，取，則，
若存在某個(gè)位置，使得平面DEF與平面DAC夾角的余弦值為，
則，
整理得，易得，所以該方程無(wú)解，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
二、多選題
9．（2022·云南·高二階段練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)為陽(yáng)馬．如圖，在陽(yáng)馬中，平面ABCD，底面是正方形，且，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點(diǎn)，則（ ）
A．平面PACB．平面EFC
C．點(diǎn)F到直線(xiàn)CD的距離為D．點(diǎn)A到平面EFC的距離為
【答案】AD
【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空直角坐標(biāo)系如圖所示
由題意可知，，，，，，，
所以，，，．
因?yàn)?，所以，?br>，所以，即．又，
所以平面PAC，故A正確；
設(shè)平面EFC的法向量為，則
,即，令，則，所以．
因?yàn)?，所以，故B不正確；
設(shè)點(diǎn)F到直線(xiàn)CD的距離為h，，，則，即，所以點(diǎn)F到直線(xiàn)CD的距離為，故C不正確；
設(shè)點(diǎn)A到平面EFC的距離為d，，則
，所以點(diǎn)A到平面EFC的距離為，故D正確.
故選：AD.
10．（2022·重慶·高二階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是棱上一動(dòng)點(diǎn)，則到平面的距離可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，故，，設(shè)平面的法向量，由，取，則為平面的法向量，，所以到平面的距離．因?yàn)?，所以，而，即BC選項(xiàng)的數(shù)值才符合.
故選：BC
11．（2022·浙江·杭師大附中高二期中）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為線(xiàn)段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則（ ）
A．點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為B．直線(xiàn)到直線(xiàn)的距離為
C．點(diǎn)到平面的距離為D．直線(xiàn)到平面的距離為
【答案】BD
【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則
因?yàn)椋?br>所以.
所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)樗?，?br>所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離即為直線(xiàn)到直線(xiàn)的距離，
，
所以直線(xiàn)到直線(xiàn)的距離為，故B正確；
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，.
由令，則，即.
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即點(diǎn)到平面的距離為，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>所以直線(xiàn)到平面的距離等于到平面的距離.，
由（3）得平面的一個(gè)法向量為，
所以到平面的距離為，
所以直線(xiàn)到平面的距離為，故D正確.
故選：BD
12．（2022·廣東惠州·高二階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中,已知E為線(xiàn)段的中點(diǎn),點(diǎn)F和點(diǎn)P分別滿(mǎn)足,,其中,則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí),平面與平面FAC的夾角余弦值為
B．當(dāng)時(shí),四棱錐的外接球的表面積是
C．的最小值為
D．存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì),使得平面PDF
【答案】ABD
【解析】對(duì)于A,當(dāng)時(shí),F為線(xiàn)段的中點(diǎn),
以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA所在的直線(xiàn)為軸,DC所在的直線(xiàn)為軸,所在的直線(xiàn)為軸,建立空間直角坐標(biāo)系，
,,,.
,,,
設(shè)平面的法向量為,平面ACF的法向量為,
由,即,令，得,
同理，即，令，得,
所以,故A正確;
對(duì)于B,當(dāng)時(shí),點(diǎn)P為正方體的中心,設(shè)四棱錐的外接球的半徑為,由,解得,
故四棱錐的外接球的表面積為,故選項(xiàng)B正確;
對(duì)于C,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi)求點(diǎn)P使得最小,如圖,作點(diǎn)E關(guān)于線(xiàn)段的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作、AB的垂線(xiàn),垂足分別為F和H,交于點(diǎn)P.
則,設(shè),
結(jié)合,,，
,
故,故,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
,,,,,
故,,,
若平面PDF,
則即,
解得（舍）或,
故存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì),使得平面PDF,故選項(xiàng)D正確,
故選:ABD．
三、填空題
13．（2022·陜西·禮泉縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)（理））如圖，直三棱柱中，，M，N分別是，的中點(diǎn)，，則BM與AN所成角的余弦值為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】以C為原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)，則有，，，，
，，
.
則BM與AN所成角的余弦值為.
故答案為：
14．（2022·河南洛陽(yáng)·高二期中（文））已知是直線(xiàn)l的方向向量，是平面的法向量．若，則______．
【答案】27
【解析】∵，
∴，
∴，
故，解得，
∴．
故答案為：.
15．（2022·山西太原·高二期中）如圖，在正三棱柱中，若，則與所成角的大小為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】
即可得到與所成角為.
故答案為：.
16．（2022·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)平面；
②直線(xiàn)到平面的距離是；
③存在點(diǎn)，使得；
④面積的最小值是．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．
【答案】①③
【解析】對(duì)①，如下圖所示：因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，，
所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，顯然也是的交點(diǎn)，連接，
所以，而平面，平面，所以直線(xiàn)平面，①對(duì)；
以A為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，,
對(duì)②，分別是棱的中點(diǎn)，∴，平面，平面，故平面，
故直線(xiàn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，設(shè)為h，
，，，，
由得，②錯(cuò)；
對(duì)③，設(shè) ，則，則，，
由即得，
由，故存在點(diǎn)，使得，③對(duì)；
對(duì)④，由③得到的投影為，故P到的距離，
△面積為 ，由二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，④錯(cuò).
故答案為：①③
四、解答題
17．（2022·陜西·西安市臨潼區(qū)鐵路中學(xué)高二階段練習(xí)（理））如圖,四棱錐中,平面?底面為菱形,為的中點(diǎn)．
(1)證明：平面;
(2)設(shè),菱形的面積為,求平面與平面夾角的正切值．
【解析】（1）解:由題知連接交于點(diǎn),連接,如圖所示:
因?yàn)榈酌鏋榱庑?
所以為中點(diǎn),
又因?yàn)闉橹悬c(diǎn),
,
平面,平面,
平面;
（2）由題知菱形的面積為,
,
,
,
,
取為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S,的方向?yàn)檩S,過(guò)做平行線(xiàn)為軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
則有,
,
記平面的法向量為 ,
則有,
即,
令,可得,
記平面的法向量為,
則有,
即,
令,可得,
,
即平面與平面夾角的余弦值為,
則其夾角的正切值為.
18．（2022·浙江大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）如圖，C是以為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，平面平面，為正三角形，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足．
(1)求證：；
(2)是否存在，使得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，
因?yàn)槭菆AO的直徑，所以，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?br>所以平面，而平面，
所以；
（2）連接，因?yàn)?，所以?br>因?yàn)闉檎切?，的中點(diǎn)為，
所以，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br>所以平面，而平面，
所以，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，
，
設(shè)平面的法向量為，
，
所以有，
所以，，
假設(shè)存在，使得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為，所以有，或（舍去），
即存在，使得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.
19．（2022·福建·廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校石獅分校高二期中）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為線(xiàn)段的中點(diǎn)，F(xiàn)為線(xiàn)段的中點(diǎn).
(1)求直線(xiàn)與直線(xiàn)的所成角的余弦值；
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
【解析】（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
，
設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)的所成角為，
所以.
（2），
，
設(shè)平面的法向量為，
，故可設(shè).
設(shè)到平面的距離為，
則.
20．（2022·黑龍江·哈爾濱市第四中學(xué)校高二階段練習(xí)）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，M為BC的中點(diǎn)，，，．
(1)證明：A1B∥平面AMC1；
(2)求異面直線(xiàn)與所成的角．
【解析】（1）取的中點(diǎn)G，連接，和GM，由直三棱柱ABC-A1B1C1，和都是中點(diǎn)，
可得四邊形和是平行四邊形，，，又
，，平面平面，而平面，
A1B∥平面AMC1
（2），，，由余弦定理得，
解得，在中滿(mǎn)足，，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，
，，因?yàn)楫惷嬷本€(xiàn)的夾角范圍在，
所以異面直線(xiàn)與所成的角為.
21．（2022·陜西·禮泉縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)（理））四棱錐中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，側(cè)面底面ABCD，，，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在側(cè)棱PC上.請(qǐng)用空間向量知識(shí)解答下列問(wèn)題：
(1)求平面PAD與平面PDC所成角的余弦值；
(2)是否存在點(diǎn)Q，使平面DEQ？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.
【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接 ，
因?yàn)?br>所以，
因?yàn)閭?cè)面底面ABCD，且兩個(gè)面相交于
平面，平面ABCD
所以平面ABCD, 又平面 ABCD
所以
在菱形中，，且邊長(zhǎng)為4，
所以
所以
所以
所以量?jī)蓛苫ハ啻怪?br>所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為 軸
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則：
由，即，
因?yàn)閭?cè)面底面ABCD，且相交于
平面，平面ABCD
所以平面
所以為平面的一個(gè)法向量且
設(shè)為平面的一個(gè)法向量
由
令
所以
設(shè)平面PAD與平面PDC所成的角為，
且由圖知為銳角
所以
所以平面PAD與平面PDC所成角的余弦值為
（2）假設(shè)存在，設(shè)，
由（2）可知，
設(shè),則，
又因?yàn)椋?br>所以，即，
所以在平面中，，
設(shè)平面的法向量為，
則有，
可取，
又因?yàn)槠矫妫?所以，
即，解得.
所以當(dāng)時(shí)，平面.
22．（2022·浙江金華第一中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，，，，點(diǎn)M為線(xiàn)段的中點(diǎn)．
(1)求證：．
(2)求二面角的大?。?br>(3)求三棱錐的體積．
【解析】（1）取的中點(diǎn)為，由于和為正三角形，則，，
又，故平面，又平面，故；
（2）由于，，故為二面角的平面角．
由于，，
由余弦定理得，
從而，故二面角的大小為；
（3）如圖以點(diǎn)原點(diǎn)，、所在直線(xiàn)為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則、、、、，
由于，，，
設(shè)平面的法向量為，
由，可得，取，則，，則，
設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則由于，，
從而.
所以點(diǎn)到平面的距離為：，
由（1）可知：，而，所以，
所以三棱錐的體積為.

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