題型一：求二項展開式的特定項或特定項的系數(shù)
題型二：二項式之積
題型三：三項式及多項式展開問題
題型四：有關(guān)二項式系數(shù)的性質(zhì)及計算的問題
題型五：利用賦值法進行求有關(guān)系數(shù)和
題型六：二項式定理的綜合運用
【知識點梳理】
知識點一：二項式定理
1、定義
一般地，對于任意正整數(shù)，都有：
（），
這個公式所表示的定理叫做二項式定理， 等號右邊的多項式叫做的二項展開式．
式中的做二項展開式的通項，用Tr+1表示，即通項為展開式的第r+1項：，
其中的系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項式系數(shù)
2、二項式（a+b）n的展開式的特點：
（1）項數(shù)：共有n+1項，比二項式的次數(shù)大1；
（2）二項式系數(shù)：第r+1項的二項式系數(shù)為，最大二項式系數(shù)項居中；
（3）次數(shù)：各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n．字母a降冪排列，次數(shù)由n到0；字母b升冪排列，次數(shù)從0到n，每一項中，a，b次數(shù)和均為n；
知識點二、二項展開式的通項公式
二項展開式的通項：
（）
公式特點：
①它表示二項展開式的第r+1項，該項的二項式系數(shù)是；
②字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標相同；
知識點三：二項式系數(shù)及其性質(zhì)
1、的展開式中各項的二項式系數(shù)、、…具有如下性質(zhì)：
①對稱性：二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即；
②增減性與最大值：二項式系數(shù)在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間取得最大值．其中，當n為偶數(shù)時，二項展開式中間一項的二項式系數(shù)最大；當n為奇數(shù)時，二項展開式中間兩項的二項式系數(shù)，相等，且最大．
③各二項式系數(shù)之和為，即；
④二項展開式中各奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于各偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和，
即．
知識點詮釋：
二項式系數(shù)與展開式的系數(shù)的區(qū)別
二項展開式中，第r+1項的二項式系數(shù)是組合數(shù)，展開式的系數(shù)是單項式的系數(shù)，二者不一定相等．
2、展開式中的系數(shù)求法（的整數(shù)且）
知識點詮釋：
三項或三項以上的展開式問題，把某兩項結(jié)合為一項，利用二項式定理解決．
知識點四：二項式定理的應用
1、求展開式中的指定的項或特定項（或其系數(shù)）．
2、利用賦值法進行求有關(guān)系數(shù)和．
3、利用二項式定理證明整除問題及余數(shù)的求法．
4、證明有關(guān)的不等式問題．
5、進行近似計算．
【典型例題】
題型一：求二項展開式的特定項或特定項的系數(shù)
例1．展開式中的的系數(shù)為______________．（用數(shù)字作答）
【答案】
【解析】設求的項為，
令，，展開式中的的系數(shù)為.
故答案為：
例2．（2022·福建省福州延安中學高三階段練習）的展開式中常數(shù)項為______.（用數(shù)字作答）
【答案】84
【解析】根據(jù)通項公式,
令 ,解得,所以,
故答案為:84.
例3．（2022·全國·高二課時練習）用二項式定理展開(2x－1)4＝____________．
【答案】16x4－32x3＋24x2－8x＋1
【解析】(2x－1)4＝(2x)4(－1)0＋ (2x)3(－1)1＋ (2x)2(－1)2
＋ (2x)1(－1)3＋ (2x)0(－1)4＝16x4－32x3＋24x2－8x＋1．
故答案為：16x4－32x3＋24x2－8x＋1
題型二：二項式之積
例4．（2022·黑龍江·大慶一中高二階段練習（理））展開式中的系數(shù)為_____________.
【答案】-14
【解析】，
則展開式中的系數(shù)為，
故答案為：．
例5．（廣東省部分學校2022屆高三上學期12月大聯(lián)考數(shù)學試題）的展開式中含項的系數(shù)為__________.
【答案】240
【解析】對的展開式通項，令得，此時；令得（舍去），故的展開式中含項的系數(shù)為.
故答案為：240
例6．（2022·江蘇徐州·高三期末）若的展開式中所有項的系數(shù)和為243，則展開式中的系數(shù)是___________.
【答案】9
【解析】中令得：，解得：，
的展開式的通項公式為，
當時，，則，
當時，，則，
當時，，不合要求，舍去，
故展開式中的系數(shù)為.
故答案為：9.
例7．（2022·山東·淄博市臨淄中學高三階段練習）的展開式中，項的系數(shù)為35，則實數(shù)a的值為______．
【答案】或3
【解析】由二項式定理的通項可得，
，
，
，
因為項的系數(shù)為35，
所以，整理得，
解得或，
故答案為：或3.
題型三：三項式及多項式展開問題
例8．（2022·江蘇·高二階段練習）展開式中的系數(shù)是___________.
【答案】
【解析】的展開式中，含有的項為：
，
所以展開式中的系數(shù)是.
故答案為：
例9．（2022·福建省福州第十一中學高三期中）在的展開式中，的系數(shù)為___________.
【答案】
【解析】二項式的通項公式為：，
令，二項式的通項公式為：，
令，
所以的系數(shù)為，
故答案為：
例10．（2022·全國·高三專題練習）的展開式中的系數(shù)為______．
【答案】-36
【解析】因，因此的展開式含的項是展開式的x一次項與展開式的常數(shù)項的積，
加上展開式的x一次項與展開式的常數(shù)項的積的和，即，
所以的展開式中的系數(shù)為.
故答案為：
例11．（2022·全國·高三專題練習）的展開式中，含項的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）.
【答案】
【解析】由，其展開式通項為，
所以含項為，故系數(shù)為.
故答案為：
題型四：有關(guān)二項式系數(shù)的性質(zhì)及計算的問題
例12．（2022·全國·高二課時練習）已知為正整數(shù)，展開式的二項式系數(shù)的最大值為，展開式的二項式系數(shù)的最大值為，且，則的值為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解析】由題意可知,,
,即,
，解得．
故選：C．
例13．（2022·全國·高二課時練習）設，若，則展開式中系數(shù)最大的項是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因為，所以當時，可得；
當時，可得．
又，所以，得，
所以的展開式中系數(shù)最大的項為第4項，即,
故選：B
例14．（2022·安徽·歙縣教研室高二期末）已知的展開式共有13項，則下列說法中正確的有（ ）
A．展開式所有項的系數(shù)和為B．展開式二項式系數(shù)最大為
C．展開式中沒有常數(shù)項D．展開式中有理項共有5項
【答案】D
【解析】因為，所以，令，得所有項的系數(shù)和為，故A錯誤.
由二項式系數(shù)的性質(zhì)可知二項式系數(shù)最大的項為第7項的二項式系數(shù)為，故B錯誤.
因為展開式的通項為，
當時，， 故C錯誤.
當為整數(shù)時，，3，6，9，12，共有5項，故D正確.
故選：D
例15．（2022·廣西百色·高二期末（理））關(guān)于的展開式中共有7項，下列說法中正確的是（ ）
A．展開式中二項式系數(shù)之和為32B．展開式中各項系數(shù)之和為1
C．展開式中二項式系數(shù)最大的項為第3項D．展開式中系數(shù)最大的項為第4項
【答案】B
【解析】因為二項式的展開式中共有7項，所以，
選項A：所有項的二項式系數(shù)和為，故A不正確；
選項B：令，則，所以所有項的系數(shù)的和為1，故B正確；
選項C：二項式系數(shù)最大的項為第4項，故C不正確；
選項D：二項式的展開式的通項為，
故系數(shù)為，系數(shù)的最大項只從中選擇，
當時，當時，當時，當時，
故當時系數(shù)最大，所以展開式中系數(shù)最大的項為第3項，故D不正確.
故選：B
例16．（2022·江蘇常州·高二期中）在的展開式中，系數(shù)絕對值最大項是（ ）
A．第10項B．第9項C．第11項D．第8項
【答案】B
【解析】二項式的通項公式為：，
設第項的系數(shù)絕對值最大，
所以有，
因為，所以，所以系數(shù)絕對值最大項是第9項，
故選：B
題型五：利用賦值法進行求有關(guān)系數(shù)和
例17．（2022·福建省仙游縣度尾中學高二期末）在的展開式中，求：
(1)二項式系數(shù)的和；
(2)各項系數(shù)的和；
(3)奇數(shù)項系數(shù)和．
【解析】（1）由題可知在的展開式中，二項式系數(shù)的和為；
（2）在的展開式中，
令可得各項系數(shù)的和為：；
（3）設，
令，得到，
令，得，
所以，
即奇數(shù)項系數(shù)和為.
例18．（2022·江蘇·南京師大蘇州實驗學校高二階段練習）在①只有第5項的二項式系數(shù)最大；②第4項與第6項的二項式系數(shù)相等；③奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為128；這三個條件中任選一個，補充在下面（橫線處）問題中，解決下面兩個問題.
已知（n∈N*），___________
(1)求的值：
(2)求的值.
【解析】（1）若選①：
因為只有第5項的二項式系數(shù)最大，
所以展開式中共有9項，即，得，
若選②：
因為第4項與第6項的二項式系數(shù)相等，
所以，
若選③：
因為奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為128，
所以，解得.
因為，
令，則有，
即有，
令，得，
所以；
綜上所述：；
（2）由(1)可知：無論選①，②，③都有，
，
兩邊求導得，
令，
則有，
所以.
例19．（2022·廣東·南海中學高二階段練習）.求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)展開式中二項式系數(shù)和以及偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；
(5)求展開式二項式系數(shù)最大的項是第幾項？
(6).
【解析】（1）令，得①.
（2）令，得②.
由①-②得，
.
（3）相當于求展開式的系數(shù)和，
令，得.
（4）展開式中二項式系數(shù)和是.
展開式中偶數(shù)項的二項系數(shù)和是.
（5）展開式有2023項，中間項是第1012項，
所以展開式二項式系數(shù)最大的項是第1012項.
（6）兩邊分別求導得：
，
令，得.
例20．（2022·浙江省杭州第九中學高二期中）若，其中.
(1)求m的值；
(2)求；
(3)求.
【解析】（1）的展開式的通項為，
所以，
所以，解得；
（2）由（1）知，
令，可得，
令，可得，
所以；
（3）令，可得，
由（2）知，
所以
題型六：二項式定理的綜合運用
例21．（2022·江蘇南通·高三期末）今天是星期四，經(jīng)過7天后還是星期四，那么經(jīng)過天后是__________.
【答案】星期五
【解析】根據(jù)題意，周期為，，所以除以的余數(shù)為1，即
經(jīng)過天后，為星期五.
故答案為：星期五
例22．（2022·江西·高二階段練習）設n∈N，且 能被6整除，則n的值可以為_________.(寫出一個滿足條件的n的值即可)
【答案】5（答案不唯一）
【解析】
被6整除，
由能被6整除，可得能被6整除，
則n的值可以為5，或11，或17等，答案不唯一
故答案為：5（答案不唯一）
例23．（2022·福建省南安國光中學高三階段練習）_______（精確到0.01）
【答案】30.84
【解析】原式
故答案為：30.84．
例24．（2022·全國·高二課時練習）（1）用二項式定理證明能被14整除；
（2）除以100的余數(shù)．
【解析】（1）
．
因為上式是14的倍數(shù)，能被14整除，
所以能被14整除．
（2）方法一：，
前面各項均能被100整除，只有末項不能被100整除，于是問題轉(zhuǎn)化為求除以100的余數(shù)．
因為
，
所以除以100的余數(shù)為81．
方法二：由，
得前面各項均能被100整除，只有末尾兩項不能被100整除，因為，所以除以100的余數(shù)為81．
【同步練習】
一、單選題
1．（2022·山東聊城一中高二期中）已知的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則展開式中的第3項為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因為的展開通項為，
所以的展開式的第項的二項式系數(shù)為，
因為的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，
所以，由性質(zhì)得，故，
所以展開式中的第3項為.
故選：D.
2．（2022·河北省文安縣第一中學高二期末）展開式中的系數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
展開式的通項為
令，則展開式中的系數(shù)為．
故選：D．
3．（2022·山東·高三階段練習）在的展開式中，含項的系數(shù)為（ ）．
A．10B．15C．20D．30
【答案】B
【解析】根據(jù)組合可知，展開式中含項為：，
所以含項的系數(shù)為15，
故選：B．
4．（2022·上海閔行·一模）“”是“的二項展開式中存在常數(shù)項”的（ ）
A．充分非必要條件B．必要非充分條件
C．充要條件D．既非充分也非必要條件
【答案】A
【解析】二項式的通項為，
的二項展開式中存在常數(shù)項為正偶數(shù)，
為正偶數(shù)，
n為正偶數(shù)推不出
∴是的二項展開式中存在常數(shù)項的充分不必要條件．
故選：A
5．（2022·甘肅·蘭化一中高三階段練習（理））的展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，若展開式中所有項的系數(shù)和為256，則a的值為（ ）
A．1B．-1C．3D．1或-3
【答案】D
【解析】展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，所以總共有9項，
令得所有項的系數(shù)和為
故選：D
6．（2022·四川·南江中學高三階段練習（理））已知的展開式中二項式系數(shù)的和是1024，則它的展開式中的常數(shù)項是（ ）
A．252B．C．210D．
【答案】B
【解析】由的展開式中二項式系數(shù)的和是1024，故，所以．
由二項式定理得展開通項為，
當時為常數(shù)項，
故選：B
7．（2022·四川成都·二模（理））二項式展開式中的系數(shù)為（ ）
A．120B．135C．140D．100
【答案】B
【解析】的展開式通項公式為，
其中，，，
故二項式中的四次方項為，
即展開式中的系數(shù)為.
故選：B
8．（2022·湖南·模擬預測）展開式中的系數(shù)為（ ）
A．B．21C．D．35
【答案】A
【解析】因為展開式的通項公式為，所以當時，含有的項，此時，故的系數(shù)為．
故選：A
二、多選題
9．（2022·江蘇·沭陽如東中學高二期末）對任意實數(shù)x，有則下列結(jié)論成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】由，
當時，，，A選項錯誤；
當時，，即，C選項正確；
當時，，即，D選項正確；
，由二項式定理，，B選項正確.
故選：BCD
10．（2022·全國·高三專題練習）設，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．展開式中二項式系數(shù)最大的項是第5項
【答案】AC
【解析】因為，令得，故A正確；
令得，所以，故B錯誤；
二項式展開式的通項為，
所以，，所以，故C正確；
因為二項式展開式共項，則展開式中二項式系數(shù)最大的項是第6項，為，故D錯誤；
故選：AC.
11．（2022·全國·高三專題練習）已知二項式，則下列說法正確的是（ ）
A．若a＝1，則展開式中的常數(shù)項為15
B．若a＝2，則展開式中各項系數(shù)之和為1
C．若展開式中的常數(shù)項為60，則a＝2
D．若展開式中各項系數(shù)之和為64，則a＝2
【答案】AB
【解析】二項式，
對于A，若a＝1，則展開式的通項，
令，得r＝4，故所求常數(shù)項為，故A正確；
對于B，若a＝2，令x=1，則展開式中各項系數(shù)之和為，故B正確；
對于C，由通項，
令，得r＝4，
故所求常數(shù)項為，解得，故C錯誤；
對于D，令x=1，則展開式中各項系數(shù)之和為，
由已知得，，解得a＝﹣1或a＝3，故D錯誤.
故選：AB．
12．（2022·重慶·萬州純陽中學校高二階段練習）若，則正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】依題意，令，
，A不正確；
，
，
則，B正確；
顯然，，
則，C正確；
，D不正確.
故選：BC
三、填空題
13．（安徽省部分學校2021-2022學年高三上學期12月聯(lián)考數(shù)學試題）多項式，那么______.
【答案】
【解析】的展開式的通項為，所以，則.
故答案為：
14．（上海市奉賢區(qū)2022屆高三上學期一模數(shù)學試題）在二項式的展開式中，系數(shù)最大的項的系數(shù)為__________（結(jié)果用數(shù)值表示）.
【答案】462
【解析】二項式的展開式的通項公式為，
所以當或時，其系數(shù)最大，
則最大系數(shù)為，
故答案為：462.
15．（2022屆西南3 3 3高考備考診斷性聯(lián)考（一）數(shù)學試題）若的展開式中項的系數(shù)為-160，則的最小值為_______
【答案】16
【解析】展開式的通項公式為，
令，解得：，
故，所以，
解得：，
所以，當且僅當時，等號成立，
故的最小值為16.
故答案為：16
16．（2022·四川·威遠中學校高三階段練習（理））的展開式中常數(shù)項為___________.
【答案】141
【解析】的展開式的通項為，其中
又的通項為，其中
則取常數(shù)項時，則的可能取值為，對應的的取值為
則的展開式的常數(shù)項為：.
故答案為：141.
四、解答題
17．（2022·遼寧·沈陽市第一二〇中學高二階段練習）已知在的展開式中，前3項的系數(shù)分別為，且滿足.求：
(1)展開式中二項式系數(shù)最大項的項；
(2)展開式中系數(shù)最大的項；
(3)展開式中所有有理項.
【解析】（1）因為展開式的通項公式為，，
所以
依題意得，即，由已知,
所以，
所以的展開式有9項，二項式系數(shù)最大的項為第5項，
所以.
（2）由（1）知，，
設展開式中系數(shù)最大的項為第項，則，
即，即，
解得，所以或，
所以展開式中系數(shù)最大的項為和.
（3）由為有理項知，為整數(shù)，得，，
所以展開式中所有有理項為和.
18．（2022·上海市向明中學高一期末）已知對任意給定的實數(shù)，都有.求值：
(1)；
(2).
【解析】（1）因為，
令，則；
（2）令，則，
由（1）知，
兩式相減可得.
19．（2022·上海市嘉定區(qū)安亭高級中學高三期中）已知對于任意給定的實數(shù)，都有.
(1)求的二項展開式中的系數(shù)；
(2)求.
【解析】（1）的二項展開式中，
含的項為第3項，
所以，的二項展開式中的系數(shù)為19800.
（2）令x-1=1，則x=2
代入有，.
令x-1=-1，則x=0，
代入有，.
兩式聯(lián)立可得，.
20．（2022·全國·高三專題練習）在的展開式中，求：
(1)二項式系數(shù)的和；
(2)各項系數(shù)的和；
(3)奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和；
(4)奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和；
(5)的奇次項系數(shù)和與的偶次項系數(shù)和．
【解析】（1）二項式系數(shù)的和為；
（2）令，則各項系數(shù)和為；
（3）奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為，
偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為；
（4）設，
令，得到，
令，得，
所以，
即奇數(shù)項系數(shù)和為，
所以，
即偶數(shù)項系數(shù)和為；
（5）的奇次項系數(shù)和為，
的偶次項系數(shù)和為．
21．（2022·全國·高三專題練習）將的二項展開式中的二項式系數(shù)依次列為：.
(1)依據(jù)二頂式定理，將展開，并求證：；
(2)研究所列二項式系數(shù)的單調(diào)性，并求證：其最大值為.
【解析】（1）由已知，
令得；
（2），，
當，，即時，，，
當，即時，，，
所以中，從到遞增，從到遞減，
所以是最大值．
22．（2022·全國·高三專題練習）已知且的展開式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列．
(1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項；
(2)求展開式中所有的有理項．
【解析】（1）展開式的通項公式為，
因為前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，
∴即，
因為，所以解得，
所以通項公式為，
∴時，二項式系數(shù)最大，即二項式系數(shù)最大項為；
（2）由，所以可以得到或3或6，
所以有理項為，，

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