題型一：向量搭橋進行翻譯
題型二：弦長、面積問題
題型三：斜率之和、積、差、商問題
題型四：定值問題
題型五：定點問題
題型六：三點共線問題
題型七：中點弦問題
題型八：四點共圓問題
題型九：切線問題
【知識點梳理】
知識點一、直線和曲線聯(lián)立
（1）橢圓與直線相交于兩點，設(shè)，
，
橢圓與過定點的直線相交于兩點，設(shè)為，如此消去，保留，構(gòu)造的方程如下：，
注意：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①如果直線沒有過橢圓內(nèi)部一定點，是不能直接說明直線與橢圓有兩個交點的，一般都需要擺出，滿足此條件，才可以得到韋達定理的關(guān)系．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②焦點在軸上的橢圓與直線的關(guān)系，雙曲線與直線的關(guān)系和上述形式類似，不在贅述．
（2）拋物線與直線相交于兩點，設(shè)，
聯(lián)立可得，時，
特殊地，當直線過焦點的時候，即，，因為為通徑的時候也滿足該式，根據(jù)此時A、B坐標來記憶．
拋物線與直線相交于兩點，設(shè)，
聯(lián)立可得，時，
注意：在直線與拋物線的問題中，設(shè)直線的時候選擇形式多思考分析，往往可以降低計算量．開口向上選擇正設(shè)；開口向右，選擇反設(shè)；注意不可完全生搬硬套，具體情況具體分析．
總結(jié)：韋達定理連接了題干條件與方程中的參數(shù)，所以我們在處理例如向量問題，面積問題，三點共線問題，角度問題等?？純?nèi)容的時候，要把題目中的核心信息，轉(zhuǎn)化為坐標表達，轉(zhuǎn)化為可以使用韋達定理的形式，這也是目前考試最?？嫉姆绞剑?br>知識點二、根的判別式和韋達定理
與聯(lián)立，兩邊同時乘上即可得到，為了方便敘述，將上式簡記為．該式可以看成一個關(guān)于的一元二次方程，判別式為可簡單記．
同理和聯(lián)立，為了方便敘述，將上式簡記為，，可簡記．
與C相離；與C相切；與C相交．
注意：（1）由韋達定理寫出，，注意隱含條件．
（2）求解時要注意題干所有的隱含條件，要符合所有的題意．
（3）如果是焦點在y軸上的橢圓，只需要把，互換位置即可．
（4）直線和雙曲線聯(lián)立結(jié)果類似，焦點在x軸的雙曲線，只要把換成即可；
焦點在y軸的雙曲線，把換成即可，換成即可．
（5）注意二次曲線方程和二次曲線方程往往不能通過聯(lián)立消元，利用判斷根的關(guān)系，因為此情況下往往會有增根，根據(jù)題干的隱含條件可以舍去增根（一般為交點橫縱坐標的范圍限制），所以在遇到兩條二次曲線交點問題的時候，使用畫圖的方式分析，或者解方程組，真正算出具體坐標．
知識點三、弦長公式
設(shè)，根據(jù)兩點距離公式．
（1）若在直線上，代入化簡，得；
（2）若所在直線方程為，代入化簡，得
（3）構(gòu)造直角三角形求解弦長，．其中為直線斜率，為直線傾斜角．
注意：（1）上述表達式中，當為，時，；
（2）直線上任何兩點距離都可如上計算，不是非得直線和曲線聯(lián)立后才能用．
（3）直線和曲線聯(lián)立后化簡得到的式子記為，判別式為，時，，利用求根公式推導(dǎo)也很方便，使用此方法在解題化簡的時候可以大大提高效率．
（4）直線和圓相交的時候，過圓心做直線的垂線，利用直角三角形的關(guān)系求解弦長會更加簡單．
（5）直線如果過焦點可以考慮焦點弦公式以及焦長公式．
知識點四、已知弦的中點，研究的斜率和方程
（1）是橢圓的一條弦，中點，則的斜率為，
運用點差法求的斜率；設(shè)，，，都在橢圓上，
所以，兩式相減得
所以
即，故
（2）運用類似的方法可以推出；若是雙曲線的弦，中點，則；若曲線是拋物線，則．
知識點五、求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．
（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
知識點六、求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明．
知識點七、證明共線的方法
（1）斜率法：若過任意兩點的直線的斜率都存在，通過計算證明過任意兩點的直線的斜率相等證明三點共線；（2）距離法：計算出任意兩點間的距離，若某兩點間的距離等于另外兩個距離之和，則這三點共線；（3）向量法：利用向量共線定理證明三點共線；（4）直線方程法：求出過其中兩點的直線方程，在證明第3點也在該直線上；（5）點到直線的距離法：求出過其中某兩點的直線方程，計算出第三點到該直線的距離，若距離為0，則三點共線．（6）面積法：通過計算求出以這三點為三角形的面積，若面積為0，則三點共線，在處理三點共線問題，離不開解析幾何的重要思想：“設(shè)而不求思想”．
知識點八、證明四點共圓的方法：
方法一：從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，則可肯定這四點共圓．
方法二：把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，則可肯定這四點共圓（根據(jù)圓的性質(zhì)一一同弧所對的圓周角相等證）．
方法三：把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其中一個外角等于其內(nèi)對角時，則可肯定這四點共圓（根據(jù)圓的性質(zhì)一一圓內(nèi)接四邊形的對角和為，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角）．
方法四：證明被證共圓的四點到某一定點的距離都相等，或證明被證四點連成的四邊形其中三邊中垂線有交點），則可肯定這四點共圓（根據(jù)圓的定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡為圓）．
知識點九、切線問題
（1）若點是圓上的點，則過點的切線方程為．
（2）若點是圓外的點，由點向圓引兩條切線，切點分別為A，B，則弦AB所在直線方程為．
（3）若點是橢圓上的點，則過點的切線方程為．
（4）若點是橢圓外的點，由點P向橢圓引兩條切線，切點分別為A，B，則弦AB所在直線方程為．
【典型例題】
題型一：向量搭橋進行翻譯
題型二：弦長、面積問題
例1．（2022·江蘇·連云港市贛馬高級中學(xué)高二期末）已知，是橢圓C：的兩個焦點，P為C上一點.
(1)若為等腰直角三角形，求橢圓C的離心率；
(2)如果存在點P，使得，且的面積等于9，求b的值和a的取值范圍.
例2．（2022·黑龍江齊齊哈爾·高二期末）已知橢圓：（）經(jīng)過點，離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)如圖所示，過橢圓上的點，（）的直線與，軸的交點分別為和，且，過原點的直線與平行，且與橢圓交于、兩點，求面積的最大值.
例3．（2022·安徽·安慶市第二中學(xué)高二期末）已知橢圓：的左、右頂點分別為A，B，左焦點為F，，.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設(shè)點P為x軸上的點，經(jīng)過F且不垂直于坐標軸的直線l與C交于M，N兩點，且.證明；.
例4．（2022·云南·麗江市教育科學(xué)研究所高二期末）已知橢圓的離心率為，且過點．
(1)求的方程；
(2)若是上兩點，直線與圓相切，求的取值范圍．
例5．（2022·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點為，點在拋物線上，，.
(1)求的方程.
(2)過的直線與相交于，兩點，線段的垂直平分線與相交于，兩點，若的斜率為1，求四邊形的面積.
例6．（2022·福建·高三階段練習(xí)）已知橢圓C：的左，右焦點分別為，，動直線l：與橢圓C相切，且當時，.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)作F1P⊥l，F(xiàn)2Q⊥l，垂足分別為P，Q，求四邊形F1F2QP的面積的最大值.
例7．（2022·云南·昆明市官渡區(qū)藝卓中學(xué)高三階段練習(xí)）已知橢圓，其中橢圓C的離心率為，，分別為橢圓的左、右焦點，過橢圓的左焦點的直線與橢圓相交于A、B兩點，的周長為8．
(1)求橢圓C的標準方程．
(2)求AOB面積的最大值．
例8．（2022·湖北·高二階段練習(xí)）在中，已知點與邊上的中線長之和為6.記的重心的軌跡為曲線.
(1)求的方程；
(2)若圓，過坐標原點且與軸不重合的任意直線與圓相交于點，直線與曲線的另一個交點分別是點，求面積的最大值.
題型三：斜率之和、積、差、商問題
例9．（2022·江蘇·高三階段練習(xí)）已知雙曲線的實軸長為4，左?右頂點分別為，經(jīng)過點的直線與的右支分別交于兩點，其中點在軸上方.當軸時，
(1)設(shè)直線的斜率分別為，求的值；
(2)若，求的面積.
例10．（2022·上海普陀·一模）在xy坐標平面內(nèi)，已知橢圓的左、右焦點分別為、，直線與相交于A、B兩點．
(1)記d為A到直線的距離，當變化時，求證：為定值；
(2)當時，求的值；
(3)過B作BM⊥x軸，垂足為M，OM的中點為N，延長AN交于另一點P，記直線PB的斜率為，當取何值時，有最小值？并求出此最小值．
例11．（2022·廣東·深圳科學(xué)高中高二階段練習(xí)）已知橢圓上一點P到兩個焦點的距離之和為4，離心率為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過點的直線與橢圓交于A、B兩點，為左焦點，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：．
例12．（2022·黑龍江·鶴崗一中高三階段練習(xí)）已知橢圓：的短軸長為，且過三點，，中的兩點.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)過橢圓的右焦點的直線交橢圓于，（，不在軸上）兩點，為橢圓的左頂點，記，的斜率分別為，，證明：為定值.
例13．（2022·貴州·貴陽一中高三階段練習(xí)（文））已知橢圓，短軸長為，過橢圓C的右焦點且垂直于x軸的直線被截得的弦長為3．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)過點的直線l與橢圓C交于D，E兩點，則在x軸上是否存在一個定點M，使得直線的斜率互為相反數(shù)？若存在，求出定點M的坐標；若不存在，也請說明理由．
題型四：定值問題
例14．（2022·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓：的離心率為，是上一點.
(1)求的方程.
(2)設(shè)，分別為橢圓的左、右頂點，過點作斜率不為0的直線，與交于，兩點，直線與直線交于點，記的斜率為，的斜率為.證明：①為定值；②點在定直線上.
例15．（2022·湖南·嘉禾縣第六中學(xué)高二階段練習(xí)）已知拋物線上一點到焦點的距離為4.
(1)求拋物線的標準方程；
(2)過焦點的直線與拋物線交于不同的兩點,,為坐標原點，設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值.
例16．（2022·上海·華師大二附中高二階段練習(xí)）已知拋物線的焦點F到準線的距離為.
(1)求拋物線C的方程；
(2)設(shè)點E是拋物線C上任意一點，求線段EF中點D的軌跡方程；
(3)過點的直線與拋物線C交于、兩個不同的點（均與點不重合），設(shè)直線、的斜率分別為、，求證：為定值.
題型五：定點問題
例17．（2022·陜西漢中·一模（文））已知橢圓的焦距為，設(shè)橢圓的上頂點為，左右焦點分別為，且是頂角為的等腰三角形.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)已知是橢圓上的兩點，以橢圓中心為圓心的圓的半徑為，且直線與此圓相切.證明：以為直徑的圓過定點.
例18．（2022·福建·高三階段練習(xí)）已知等軸雙曲線：的虛軸長為.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)過雙曲線的右焦點的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，請問軸上是否存在一定點P，使得?若存在，請求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.
例19．（2022·四川·高三階段練習(xí)（文））已知橢圓C：與橢圓的離心率相同，為橢圓C上一點.
(1)求橢圓C的方程.
(2)若過點的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，試問以AB為直徑的圓是否經(jīng)過定點？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由.
題型六：三點共線問題
例20．（2022·河南·馬店第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知曲線：經(jīng)過點，．
(1)求曲線的方程；
(2)已知定點，過的直線與曲線交于A，B兩點，過的直線與曲線交于C，D兩點．若A，C，M三點共線，證明：B，D，M三點共線．
例21．（2022·河南·民權(quán)縣第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知橢圓的左?右頂點分別為，焦距為2，離心率為.
(1)求橢圓的方程.
(2)已知點的坐標為，是否存在直線，使得對于上任意一點（不在橢圓上），若直線交橢圓于另一點，直線交橢圓于另一點，恒有三點共線？若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由.
例24．（2022·四川·射洪中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知F為拋物線的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè).
(1)若（其中O為坐標原點），求△ABO與△AFO面積之和的最小值；
(2)若A，B，F(xiàn)三點共線，A，B處的切線交點為P，求P到F的最小距離.
題型七：中點弦問題
例25．（2022·江蘇南通·高二期末）已知橢圓的左焦點，右頂點．
(1)求的方程
(2)設(shè)為上一點（異于左、右頂點），為線段的中點，為坐標原點，直線與直線交于點，求證：．
例26．（2022·上海中學(xué)東校高二期末）已知橢圓的C的方程：．
(1)設(shè)P為橢圓C異于橢圓左右頂點上任一點，直線的斜率為，直線的斜率為，試證明為定值．
(2)求橢圓中所有斜率為1的平行弦的中點軌跡方程．
(3)設(shè)橢圓上一點，且點M，N在C上，且，D為垂足．證明：存在定點Q，使得為定值．
例27．（2022·四川資陽·高二期末（文））已知雙曲線的漸近線方程為，焦點坐標為.
(1)求C的方程；
(2)經(jīng)過點的直線l交C于A，B兩點，且M為線段AB的中點，求l的方程.
例28．（2022·四川省資陽中學(xué)高二期末（理））已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個焦點到該漸近線的距離為1.
(1)求的方程；
(2)經(jīng)過點的直線交于兩點，且為線段的中點，求的方程.
例29．（2022·江蘇·連云港市贛馬高級中學(xué)高二期末）已知拋物線的焦點為，直線與C交于A，B兩點．
(1)若的傾斜角為且過點F，求；
(2)若線段AB的中點坐標為，求的方程．
例30．（2022·北京市十一學(xué)校高二期末）已知拋物線E：y2＝8x．
(1)求拋物線的焦點及準線方程；
(2)過點P(-1,1)的直線l1與拋物線E只有一個公共點，求直線l1的方程；
(3)過點M(2,3)的直線l2與拋物線E交于點A，B．若弦AB的中點為M，求直線l2的方程．
題型八：四點共圓問題
例31．（2022·湖北·高三階段練習(xí)）已知點在拋物線上，過動點作拋物線的兩條切線，切點分別為?，且直線與直線的斜率之積為.
(1)證明：直線過定點；
(2)過?分別作拋物線準線的垂線，垂足分別為?，問：是否存在一點使得???四點共圓？若存在，求所有滿足條件的點；若不存在，請說明理由.
例32．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））在平面直角坐標系中，橢圓的右焦點為，橢圓的右準線與軸交于點，經(jīng)過點的直線與橢圓交于，兩點（點在第一象限），點在上的射影為．
(1)若，，，四點共圓，求點的橫坐標；
(2)記，的面積分別為，，求證：為定值．
例33．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線交拋物線于兩點.
（1）設(shè)直線與軸的交點為，若，求實數(shù)的值；
（2）若點在拋物線上，且關(guān)于直線對稱，求證：四點共圓：
（3）記為拋物線的焦點，過拋物線上的點作準線的垂線，垂足分別為點，若的面積是的面積的兩倍，求線段中點的軌跡方程.
題型九：切線問題
例34．（2022·吉林·長春市文理高中有限責任公司高二期中）已知拋物線，直線與拋物線C于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線交C于點N．
(1)若M的坐標是，求k的值；
(2)當時，證明：拋物線C在點N處的切線與AB平行．
例35．（2022·吉林·長春市文理高中有限責任公司高二期中）已知橢圓，橢圓的離心率是．過點作圓的切線l交橢圓G于A，B兩點．
(1)求橢圓G的方程；
(2)當時，求圓的切線方程：
(3)將表示為m的函數(shù)，并求的最大值．
例36．（2022·四川·成都七中高二階段練習(xí)（理））已知拋物線及圓C：．
(1)過圓心C作直線與拋物線和圓交于四個點，自上而下依次為A，M，N，B，若成等差數(shù)列，求直線的方程；
(2)過拋物線上一動點P（P的橫坐標大于）作圓C的兩條切線分別交y軸于E，F(xiàn)兩點，求線段EF的取值范圍．

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