一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．在含有3件次品的50件產(chǎn)品中，任取3件，則恰好取到1件次品的不同方法數(shù)共有（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先取一件次品是，再取2件正品是，根據(jù)乘法原理得：
故選：B
2．一臺晚會有6個節(jié)目，其中有2個小品，如果2個小品不連續(xù)演出，共有不同的演出順序（ ）種.
A．240B．288C．480D．580
【答案】C
【解析】先安排除小品外的4個節(jié)目，共有種安排方法，再將2個小品插空，共有種安排方法，
故不同的演出順序有種.
故選：C
3．的展開式中的系數(shù)為（ ）
A．270B．135C．－270D．－135
【答案】B
【解析】二項式展開項第項為，
則當時，.
故選：B
4．為了深入貫徹黨中央“動態(tài)清零”的疫情防控要求，更好地開展常態(tài)化疫情防控核酸檢測服務(wù)工作，現(xiàn)選派5名黨員志愿者參加星期一至星期五(每人一天)的值日，協(xié)助免費采樣工作.根據(jù)大家的時間安排，志愿者中的A必須排在B前面值日，則不同的安排方法種數(shù)為（ ）
A．36B．60C．118D．120
【答案】B
【解析】5人隨機安排星期一至星期五(每人一天)的值日，共有種安排方法，
其中A排在B前面值日與A排在B后面值日機會均等，
所以A必須排在B前面值日的安排方法有種，
故選：B
5．已知甲袋子中裝有1個紅球和3個白球，乙袋子中裝有3個紅球和2個白球，若從甲、乙兩個袋子中各取出2個球，則取出的4個球中恰有2個紅球的不同取法共有（ ）
A．9種B．18種C．27種D．36種
【答案】C
【解析】甲、乙各取1個紅球，有種方法；
乙取兩個紅球，有種方法；
共有18+9＝27種方法.
故選：C.
6．A?B?C?D?E?F六人站成一排，C站第三位，A不站在兩端，D和E相鄰，則不同排列方式共有（ ）
A．16種B．20種C．24種D．28種
【答案】B
【解析】符合要求的排法可分為三類，
第一類站在第二位的排法，符合要求的排法可分為3步完成，第一步先排，有一種完成方法，再排，有種排法，再排其余兩人有排法，由分步乘法計數(shù)原理可得第一類共有排法種，即8種排法，
第二類站在第四位的排法，符合要求的排法可分為3步完成，第一步先排，有一種完成方法，再排，有種排法，再排其余兩人有排法，由分步乘法計數(shù)原理可得第一類共有排法種，即8種排法，
第三類站在第五位的排法，符合要求的排法可分為3步完成，第一步先排，有一種完成方法，再排，有種排法，再排其余兩人有排法，由分步乘法計數(shù)原理可得第一類共有排法種，即4種排法，
由分類加法計數(shù)原理可得符合要求的排法共有種，即20種排法.
故選：B.
7．的展開式中的常數(shù)項是（ ）
A．B．C．D．20
【答案】B
【解析】展開式的通項為，令，得，令，得，故展開式的常數(shù)項是.
故選：B．
8．被9除的余數(shù)為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【解析】因為
所以
因為為9的整數(shù)倍，
所以被9除的余數(shù)與被9除的余數(shù)相同，又，1024被9除的余數(shù)為7，故被9除的余數(shù)為7，
故選：C.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。
9．已知的展開式中第二項與第三項的系數(shù)的絕對值之比為1:8，則（ ）
A．B．展開式中所有項的系數(shù)和為1
C．展開式中二項式系數(shù)和為D．展開式中不含常數(shù)項
【答案】AD
【解析】由題意，則，，A正確；
，令，則所有項系數(shù)之和，B錯誤；二項式系數(shù)之和為 ，C錯誤；
，若為常數(shù)項，則有，是分數(shù)，所以不存在常數(shù)項，D正確；
故選：AD.
10．在二項式的展開式中，有（ ）
A．含x的項B．含的項
C．含x4的項D．含的項
【答案】ABC
【解析】二項式的展開式的通項為，
當時，，知A正確；
當時，，知B正確；
當時，，知C正確；
當時，，知D錯誤．
故選：ABC．
11．已知二項式的展開式中各項系數(shù)的和為1，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．展開式中二項式系數(shù)之和為256
C．展開式中第5項為
D．展開式中的系數(shù)為
【答案】AC
【解析】對于A：令可得，解得，故A正確；
對于B：二項式系數(shù)和為，故B錯誤；
對于C：展開式的通項為，第5項即，所以，故C正確；
對于D：令，解得，所以展開式中的系數(shù)為，故D錯誤.
故選：AC
12．若，則正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】依題意，令，
，A不正確；
，
，
則，B正確；
顯然，，
則，C正確；
，D不正確.
故選：BC
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．由6位專家組成的團隊前往某地進行考察后站成一排拍照留念，已知專家甲和乙不相鄰，則不同的站法有_________種.
【答案】480
【解析】先除去甲乙，另外4位專家排成一排，站法共有種，
4位專家排成一排后形成5個空，將甲乙插入這五個空中，共有種，
由分步乘法計數(shù)原理得種，即不同的站法有480種，
故答案為：480
14．如圖，提供4種不同的顏色給圖中，，，四塊區(qū)域涂色，若相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有___________種．
【答案】48
【解析】先對區(qū)域涂色，共有4種不同的涂法，再對區(qū)域涂色，共有3種不同的涂法，再對區(qū)域涂色，共有2種不同的涂法，最后對區(qū)域涂色，共有2種不同的涂法，
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，則不同的涂法共有種，
故答案為：48.
15．若二項式的展開式中所有項的系數(shù)和為1，則展開式中含x項的系數(shù)為_____________．
【答案】280
【解析】因為二項式的展開式中所有項的系數(shù)和為1，
所以可令，得，解得，
所以二項式展開式的通項為，令，
所以含x項的系數(shù)為．
故答案為：280．
16．由1，2，3，4，5，6組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，要求奇數(shù)不相鄰，且4不在第四位，則這樣的六位數(shù)共有______個.
【答案】120
【解析】先排偶數(shù)，有種方法，3個偶數(shù)，共有4個空格，再將奇數(shù)插空，共有種情況，
故組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，奇數(shù)不相鄰的個數(shù)為種情況，
若4位于第四位，則第二位必須為偶數(shù)，可從數(shù)字2和6中二選一，有種選擇，
第五位與第六位，其中之一為偶數(shù)，故從兩個位置中選擇一個放入2和6中剩余的一個偶數(shù)，有種選擇，
剩余3個位置，3個奇數(shù)進行全排列，有種選擇，
則由1，2，3，4，5，6組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)種，奇數(shù)不相鄰，4位于第四位共有個，
所以由1，2，3，4，5，6組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)中，要求奇數(shù)不相鄰，且4不在第四位的個數(shù)共有個.
故答案為：120
四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
17．（10分）
在件產(chǎn)品中，有件合格品，件次品.從這件產(chǎn)品中任意抽出件.
(1)抽出的件中恰好有件是次品的抽法有多少種？
(2)抽出的件中至少有件是次品的抽法有多少種？
【解析】（1）抽出的件產(chǎn)品中恰好有件次品，則有件合格品，
恰好有件次品的抽法有種.
（2）方法一：抽出的件中至少有件是次品包括兩種情況：有件次品和件次品；
至少有件次品的抽法有種.
方法二：從件產(chǎn)品中抽取件，有種抽法；其中沒有次品的抽法有種，
至少有件次品的抽法有種.
18．（12分）
7名同學，在下列情況下，各有多少種不同安排方法？（答案以數(shù)字呈現(xiàn)）
(1)7人排成一排，甲、乙、丙三人必須在一起.
(2)7人排成一排，甲、乙、丙三人兩兩不相鄰.
(3)7人排成一排，甲、乙、丙三人按從高到矮，自左向右的順序（不一定相鄰）.
【解析】（1）利用捆綁法，甲乙丙“捆”在一起有,
再將“捆”在一起的甲乙丙當做一個人與剩余4名同學進行排序，有種排法，
所以有種不同的安排方法.
（2）利用插空法，將剩余4名同學排序，有種方法，
在產(chǎn)生的5個空位中選擇3個空位插空安排甲乙丙，有種方法，
所以共有種安排方法.
（3）7名同學全排列有種方法，甲乙丙三名全排列有種方法，
在種里，只有1種表示甲、乙、丙三人按從高到矮，自左向右的順序，
所以共有種.
19．（12分）
已知二項式 的展開式中 ， .給出下列條件：①第二項與第三項的二項式系數(shù)之比是1：4；②各項系數(shù)之和為512；③第7項為常數(shù)項.
在上面三個條件中選擇兩個合適的條件分別補充在上面的橫線上，并完成下列問題.
(1)求實數(shù)a的值和展開式中二項式系數(shù)最大的項；
(2)求的展開式中的常數(shù)項.
【解析】（1）由①可知，解得；由②得令得；由③得，要使該項為常數(shù)，則；所以條件①與③得到的是同一結(jié)果，所以只有選擇條件①與②和條件②與③；
該兩種組合都會得到，所以，解得；
所以二項式系數(shù)最大的項為或
（2）由（1）可知，，
所以有
所以常數(shù)項為
令，解得；所以常數(shù)項為.
20．（12分）
現(xiàn)要安排名醫(yī)護人員前往四處核酸檢測點進行核酸檢測，每個檢測點安排兩名醫(yī)護人員前往.已知甲?乙兩人不能安排在同一處檢測點.
(1)求不同的安排方法總數(shù)；
(2)記四處檢測點分別為，若甲不能前往檢測點，乙不能前往檢測點，求不同的安排方法數(shù).
【解析】（1）第一步：選擇兩人與甲、乙前往兩個不同的檢測點，則共有種安排方法；
第二步：將剩余人安排到剩余的兩處檢測點，共有種安排方法；
由分步乘法計數(shù)原理得：不同的安排方法有種.
（2）若乙前往檢測點，則有種安排方法；
若乙不前往檢測點，則有種安排方法；
由分類加法計數(shù)原理得：不同的安排方法有種.
21．（12分）
在班級活動中，4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目．請回答下面的問題．（寫出必要的數(shù)學式，結(jié)果用數(shù)字作答）
(1)3名女生不能相鄰，有多少種不同的站法？
(2)女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少種不同的排法？
(3)甲、乙、丙三人按身高從左到右有多少種不同的排法？（甲、乙、丙3名同學身高互不相等）
【解析】（1）根據(jù)題意，分2步進行分析：
①將4名男生全排列，有種情況，排好后有5個空位．
②在5個空位中任選3個，安排3名女生，有種情況，
則三名女生不能相鄰的排法有種；
（2）根據(jù)題意，分2種情況討論：
①女生甲站在右端，此時將其余6人全排列即可，有種情況，
②女生甲不站在右端，甲有5種站法，女生乙有5種站法，將剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，有種站法，
則此時有種站法，
所以一共有種站法；
（3）根據(jù)題意，首先把7名同學全排列，共有種結(jié)果，
甲乙丙三人內(nèi)部的排列共有種結(jié)果，
要使的甲乙丙三個人按照一個高矮順序排列，結(jié)果數(shù)只占6種結(jié)果中的一種，則有；
22．（12分）
（1）若，解不等式；
（2）在的展開式中，第k項，第項，第項的系數(shù)成等差數(shù)列，求n和k的值；
（3）設(shè)計一道排列組合的應(yīng)用題，驗證下面這個等式成立：
【解析】解:(1) 得,,化簡得,又,所以
(2),所以有
展開得:,
化簡得:,整理得,
且,
解得: 或,
所以只能是一個奇數(shù)的平方,
令,
所以,,
此時,
所以,.
(3)題目為: “求的展開式中項的系數(shù)為多少? ”,
解:由題意可得: 展開式中含項為,
也可以拆開為,故展開式中含項可以按照前面提供個x,后面提供個x, 前面提供個x,后面提供個x,……以此類推,
即可得展開式中含項為,
所以得證.

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