題型一：利用定義求條件概率
題型二：條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用
題型三：全概率公式
題型四：貝葉斯公式
題型五：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
1、條件概率的概念
條件概率揭示了P（A），P（AB），P（B|A）三者之間“知二求一”的關(guān)系
一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P（A）>0，我們稱P（B|A）＝eq \f(P（AB）,P（A）)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱條件概率．
2、概率的乘法公式
由條件概率的定義，對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，若P（A）>0，則P（AB）＝P（A）P（B|A）．我們稱上式為概率的乘法公式．
3、條件概率的性質(zhì)
設(shè)P（A）>0，則
（1）P（Ω|A）＝1；
（2）如果B與C是兩個(gè)互斥事件，則P（（B∪C）|A）＝P（B|A）＋P（C|A）；
（3）設(shè)eq \(B,\s\up6(－))和B互為對(duì)立事件，則P（eq \(B,\s\up6(－)) eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(A))）＝1－P（Beq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(A))）．
4、全概率公式
在全概率的實(shí)際問(wèn)題中我們經(jīng)常會(huì)碰到一些較為復(fù)雜的概率計(jì)算，這時(shí)，我們可以用 “化整為零”的思想將它們分解為一些較為容易的情況分別進(jìn)行考慮
一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）>0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，有P（B）＝eq \(∑,\s\up10(n),\s\d10(i＝1))P（Ai）P（Beq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ai）))．
我們稱上面的公式為全概率公式，全概率公式是概率論中最基本的公式之一．
5、貝葉斯公式
設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）>0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意事件B?Ω，P（B）>0，
有P（Aieq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1(B）))＝eq \f(P（Ai）P（B\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(Ai）)),P（B）)
i＝1，2，…，n．
6、在貝葉斯公式中，P（Ai）和P（Ai |B）分別稱為先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率．
【典型例題】
題型一：利用定義求條件概率
例1．（2022·廣東·東涌中學(xué)高三期中）某乒乓球訓(xùn)練館使用、、三種不同品牌的乒乓球，以往使用的記錄數(shù)據(jù)如下：
若這些球是均勻混合的，且無(wú)區(qū)別標(biāo)志，現(xiàn)從中任取一球，該球?yàn)楹细衿返母怕适莀_____．
【答案】
【解析】根據(jù)題意，該球?yàn)楹细衿返母怕剩?br>故答案為：．
例2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從，，，，中，甲、乙兩人各任取一數(shù)（不重復(fù)），已知甲取到的數(shù)是的倍數(shù)，則甲取到的數(shù)大于乙取到的數(shù)的概率為______．
【答案】
【解析】設(shè)事件表示“甲取到的數(shù)比乙大”，事件表示“甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)”，
則甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)，甲取到的數(shù)大于乙取到的數(shù)的概率為，
，
，
所以，
即甲取到的數(shù)大于乙取到的數(shù)的概率為．
故答案為：．
例3．（2022·上?！らh行中學(xué)高三開學(xué)考試）小趙、小錢、小孫、小李到4個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件為“4個(gè)人去的景點(diǎn)不完全相同”，事件為“小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則______．
【答案】
【解析】小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)，則有4個(gè)景點(diǎn)可選，
其余3人只能在小趙剩下的3個(gè)景點(diǎn)中選擇，可能性為種，所以小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)的可能性為種，
因?yàn)?個(gè)人去的景點(diǎn)不完全相同的可能性為種，所以．
故答案為：．
題型二：條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用
例4．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市雅禮實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三開學(xué)考試）已知，分別為隨機(jī)事件A，B的對(duì)立事件，，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．若，則 A，B對(duì)立
C．若A，B獨(dú)立，則
D．若A，B互斥，則
【答案】C
【解析】對(duì)A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，若A，B對(duì)立，則，反之不成立，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，根據(jù)獨(dú)立事件定義，故C正確；
對(duì)D，若A，B互斥，則，故D錯(cuò)誤；
故選：C
例5．（多選題）（2022·山西·高三階段練習(xí)）已知事件相互獨(dú)立，則（ ）
A．事件與事件不相互獨(dú)立B．
C．事件與事件互斥D．在事件發(fā)生的條件下，事件與事件互為對(duì)立事件
【答案】BCD
【解析】因?yàn)?br>，因此事件與事件相互獨(dú)立，故A錯(cuò)誤；
因?yàn)?，故B正確；
因?yàn)槭录嗷オ?dú)立，由A選項(xiàng)證得的結(jié)論知事件與事件相互獨(dú)立，
因此與不可能同時(shí)發(fā)生，所以與互斥，故C正確；
，
，
又因?yàn)?，所以在事件發(fā)生的條件下，事件與事件互為對(duì)立事件，故D正確，
故選：BCD．
例6．（多選題）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．是可能的
C．D．
【答案】AB
【解析】由條件概率公式及知：，故A正確；
當(dāng)事件包含事件有，此時(shí)，故B正確；
由于，，故C，D錯(cuò)誤．
故選：AB
例7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）以下有關(guān)條件概率的所有正確命題的序號(hào)是______．
①；
②若事件A與事件B互斥，則；
③若和B互為對(duì)立事件，則．
【答案】①②③
【解析】對(duì)于①，條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在0和1之間，即，故正確；
對(duì)于②，因?yàn)槭录嗀與事件B互斥，所以，，所以，故正確；
對(duì)于③，利用條件概率的性質(zhì)可得若和B互為對(duì)立事件，則，故正確，
故答案為：①②③
例8．（2022·重慶南開中學(xué)高三階段練習(xí)）記為事件的對(duì)立事件，且，則___________．
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>∴，
∴．
故答案為：．
【答案】（1）
，，
；
則??彼此互斥，且，
，
，
，
，
，
，
所求概率即是發(fā)生的條件下發(fā)生的概率：．
題型三：全概率公式
例9．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）由于身體及心理方面的差異，人們往往認(rèn)為女性駕駛員比男性駕駛員更容易發(fā)生交通事故．為調(diào)查女性駕駛員是否比男性駕駛員更容易發(fā)生交通事故，橙子輔導(dǎo)的同學(xué)組成了調(diào)查小組，對(duì)其所在城市進(jìn)行了調(diào)查研究，結(jié)果卻顯示為：該市2021年男女駕駛員的比例為，男性駕駛員平均萬(wàn)人的發(fā)案率為，女性駕駛員平均萬(wàn)人的發(fā)案率為．（發(fā)案即發(fā)生了交通事故，暫不區(qū)分其是否為肇事責(zé)任人）
（1）若在全市駕駛員中隨機(jī)抽取3人，則恰有1位女駕駛員的概率是多少？
（2）若該市一名駕駛員在2021年發(fā)生了交通事故，則其為女性的概率是多少？（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第三位）
【解析】（1）因?yàn)樵撌?021年男女駕駛員的比例為，
所以，在全市駕駛員中隨機(jī)抽取1人是女駕駛員的概率為，
設(shè)在全市駕駛員中隨機(jī)抽取3人，女駕駛員的人數(shù)為，
所以，
所以，恰有1位女駕駛員的概率是．
（2）設(shè)事件：駕駛員為女性，事件：駕駛員發(fā)生的交通事故．
所以，，，
所以，根據(jù)全概率公式，，
所以，
所以，該市一名駕駛員在2021年發(fā)生了交通事故，則其為女性的概率是多少．
例10．（2022·湖南師大附中高一期末）甲?乙兩人組成“星隊(duì)”參加趣味知識(shí)競(jìng)賽．比賽分兩輪進(jìn)行，每輪比賽答一道趣味題．在第一輪比賽中，答對(duì)題者得2分，答錯(cuò)題者得0分；在第二輪比賽中，答對(duì)題者得3分，答錯(cuò)題者得0分．已知甲?乙兩人在第一輪比賽中答對(duì)題的概率都為p，在第二輪比賽中答對(duì)題的概率都為q．且在兩輪比賽中答對(duì)與否互不影響．設(shè)定甲?乙兩人先進(jìn)行第一輪比賽，然后進(jìn)行第二輪比賽，甲?乙兩人的得分之和為“星隊(duì)”總得分．已知在一次比賽中甲得2分的概率為，乙得5分的概率為．
（1）求p，q的值；
（2）求“星隊(duì)”在一次比賽中的總得分為5分的概率．
【解析】（1）設(shè)分別表示在一次比賽中甲得分的事件，分別表示在一次比賽中乙得分的事件．
因?yàn)樵谝淮伪荣愔屑椎?分的概率為，乙得5分的概率為，
所以，即，解得．
（2）由已知得，
，
，
，
設(shè)為“6星隊(duì)'在一次比賽中的總得分為5分"，
則，
則
，
所以“星隊(duì)”在一次比賽中的總得分為5分的概率是．
例11．（2022·山東棗莊·高二期末）兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占，次品率為；第二批占，次品率為．將兩批產(chǎn)品混合，從混合產(chǎn)品中任取一件．
（1）求這件產(chǎn)品是次品的概率；
（2）已知取到的是次品，求它取自第一批產(chǎn)品的概率．
【解析】（1）設(shè)事件為“取到的產(chǎn)品是次品”，為“取到的產(chǎn)品來(lái)自第批”．
則，，，，
由全概率公式，所求概率為
．
（2）所求概率為．
題型四：貝葉斯公式
例12．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個(gè)廠供應(yīng)由長(zhǎng)期的經(jīng)驗(yàn)知，三個(gè)廠的正品率分別為0．95，0．90，0．80，三個(gè)廠供應(yīng)的產(chǎn)品數(shù)之比為2：3：5，將三個(gè)廠的產(chǎn)品混合在一起現(xiàn)取到一件產(chǎn)品為正品，問(wèn)它是由甲、乙、丙三個(gè)廠中哪個(gè)廠生產(chǎn)的可能性大？
【解析】設(shè)事件A表示“取到的產(chǎn)品為正品”，事件，，分別表示“產(chǎn)品由甲、乙、丙廠生產(chǎn)”．
由題意知，，，，，．
由全概率公式得．
由貝葉斯公式得，
，．
所以這件產(chǎn)品由丙廠生產(chǎn)的可能性最大．
例13．（2022·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）某品牌汽車廠今年計(jì)劃生產(chǎn)10萬(wàn)輛轎車，生產(chǎn)每輛轎車都需要安裝一個(gè)配件M，其中由本廠自主生產(chǎn)的配件M可以滿足20%的生產(chǎn)需要，其余的要向甲、乙兩個(gè)配件廠家訂購(gòu)．已知本廠生產(chǎn)配件M的成本為500元/件，從甲、乙兩廠訂購(gòu)配件M的成本分別為600元/件和800元/件，該汽車廠計(jì)劃將每輛轎車使用配件M的平均成本控制為640元/件．
（1）分別求該汽車廠需要從甲廠和乙廠訂購(gòu)配件M的數(shù)量；
（2）已知甲廠、乙廠和本廠自主生產(chǎn)的配件M的次品率分別為4%，2%和1%，求該廠生產(chǎn)的一輛轎車使用的配件M是次品的概率；
（3）現(xiàn)有一輛轎車由于使用了次品配件M出現(xiàn)了質(zhì)量問(wèn)題，需要返廠維修，維修費(fèi)用為14 000元，若維修費(fèi)用由甲廠、乙廠和本廠按照次品配件M來(lái)自各廠的概率的比例分擔(dān)，則它們各自應(yīng)該承擔(dān)的維修費(fèi)用分別為多少？
【解析】（1）設(shè)使用甲廠生產(chǎn)的配件M的比例為a，則使用乙廠生產(chǎn)的配件M的比例為0．8-a，
由已知可得，解得a＝0．5．
所以需要從甲廠訂購(gòu)配件M的數(shù)量為100．5＝5萬(wàn)個(gè)；
從乙廠訂購(gòu)配件M的數(shù)量為＝3萬(wàn)個(gè)．
（2）由（1）知甲廠、乙廠和本廠自主生產(chǎn)的配件M的比例分別為0．5，0．3，0．2，
所以該汽車廠使用的配件M的次品率的估計(jì)值為
，
所以該廠生產(chǎn)的一輛轎車使用的配件M是次品的概率為0．028．
（3）設(shè)A＝“該轎車使用了次品配件”，“配件M來(lái)自甲廠”，“配件M來(lái)自乙廠”，“配件M來(lái)自本廠”．由（2）可知 ．
該次品配件M來(lái)自甲廠的概率為： ，
該次品配件M來(lái)自乙廠的概率為： ，
該次品配件M來(lái)自本廠的概率為： ，
所以甲廠應(yīng)承擔(dān)的費(fèi)用為元，
乙廠應(yīng)承擔(dān)的費(fèi)用為元，
本廠應(yīng)承擔(dān)的費(fèi)用為元．
例14．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)某公路上經(jīng)過(guò)的貨車與客車的數(shù)量之比為，貨車中途停車修理的概率為0．02，客車中途停車修理的概率為0．01，今有一輛汽車中途停車修理，求該汽車是貨車的概率．
【解析】設(shè)表示“中途停車修理”，表示“經(jīng)過(guò)的是貨車”，表示“經(jīng)過(guò)的是客車”，
則，由題意得，，，，，
由貝葉斯公式得，．
題型五：全概率公式與貝葉斯公式的綜合應(yīng)用
例15．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）兩臺(tái)車床加工同樣的零件，第一臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率是0．03，第二臺(tái)出現(xiàn)廢品的概率是0．02．加工出來(lái)的零件放在一起，并且已知第一臺(tái)加工的零件比第二臺(tái)加工的零件多一倍．
（1）求任意取出1個(gè)零件是合格品的概率；
（2）如果任意取出的1個(gè)零件是廢品，求它是第二臺(tái)車床加工的概率．
【解析】（1）設(shè)表示“第i臺(tái)機(jī)床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出現(xiàn)廢品”；C表示“出現(xiàn)合格品”．
．
（2）
．
例16．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)甲、乙、丙三個(gè)地區(qū)爆發(fā)了某種流行病，三個(gè)地區(qū)感染此病的比例分、、．現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)任抽取一個(gè)人．
（1）求此人感染此病的概率；（結(jié)果保留三位小數(shù)）
（2）若此人感染此病，求此人來(lái)自乙地區(qū)的概率．（結(jié)果保留三位小數(shù)）．
【解析】（1）設(shè)事件表示“來(lái)自第i個(gè)地區(qū)，”；事件B表示“感染此病”．
所以，，，
所以，，．
；
（2）．
例17．（2022·重慶市第十一中學(xué)校高二階段練習(xí)）某電子設(shè)備制造廠所用的元件是由甲、乙、丙三家元件制造廠提供的，根據(jù)以往的記錄有下圖所示的數(shù)據(jù)．設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉(cāng)庫(kù)中是均勻混合的且不區(qū)別標(biāo)志．
（1）在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)取一只元件，求它是次品的概率；
（2）在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)地取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品出自甲工廠生產(chǎn)的概率是多少？
【解析】（1）設(shè)事件表示“取到的是一只次品”，事件表示“所取到的產(chǎn)品是由第家工廠提供的”，
則，，，，，，
由全概率公式可得：，
即在倉(cāng)庫(kù)中隨機(jī)取一只元件，則它是次品的概率為．
（2）由貝葉斯公式得：，
即在取到的是次品的條件下，此次品出自甲工廠生產(chǎn)的概率是．
【同步練習(xí)】
一、單選題
1．（2022·湖北·武漢市第十九中學(xué)高三階段練習(xí)）若將整個(gè)樣本空間想象成一個(gè)的正方形，任何事件都對(duì)應(yīng)樣本空間的一個(gè)子集，且事件發(fā)生的概率對(duì)應(yīng)子集的面積，則如圖所示的涂色部分的面積表示（ ）
A．事件發(fā)生的概率
B．事件發(fā)生的概率
C．事件不發(fā)生條件下事件發(fā)生的概率
D．事件，同時(shí)發(fā)生的概率
【答案】B
【解析】由題意可知：表示在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率，表示在事件不發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率，結(jié)合在一塊就是事件發(fā)生的概率.
故選：B.
2．（2022·廣東·廣州市禺山高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）某科技公司聯(lián)歡會(huì)進(jìn)行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，袋中裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3的大小、質(zhì)地完全相同的3個(gè)小球，每次從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，記下它的號(hào)碼，放回袋中，這樣連續(xù)摸三次.規(guī)定“三次記下的號(hào)碼都是2”為一等獎(jiǎng).已知小張摸球“三次記下的號(hào)碼之和是6”，此時(shí)小張能得一等獎(jiǎng)的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)樗谢臼录膫€(gè)數(shù)為，三次抽到的號(hào)碼之和為6，包括3次號(hào)碼都不一樣，分別是1，2，3，基本事件的個(gè)數(shù)為；號(hào)碼都一樣全是2，基本事件的個(gè)數(shù)為1，故事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)為，事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)為1，事件包含的基本事件個(gè)數(shù)為1，
所以，，
由條件概率公式可得，
故選：C．
3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某種疾病的患病率為5%，通過(guò)驗(yàn)血診斷該病的誤診率為2%，即非患者中有2%的人診斷為陽(yáng)性，患者中有2%的人診斷為陰性隨機(jī)抽取一人進(jìn)行驗(yàn)血，則其診斷結(jié)果為陽(yáng)性的概率為（ ）
A．0.46B．0.046C．0.68D．0.068
【答案】D
【解析】由題意得：
，
故選：．
4．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）在醫(yī)學(xué)生物學(xué)試驗(yàn)中，經(jīng)常以果蠅作為試驗(yàn)對(duì)象，一個(gè)關(guān)有6只果蠅的籠子里，不慎混入了兩只蒼蠅（此時(shí)籠內(nèi)共有8只蠅子：6只果蠅和2只蒼蠅），只好把籠子打開一個(gè)小孔，讓蠅子一只一只地往外飛，直到兩只蒼蠅都飛出，再關(guān)閉小孔.記事件表示“第k只飛出籠的是蒼蠅”，，則為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題得，，
則，故A，B，D錯(cuò)誤.
故選：C.
5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）袋中裝有大小質(zhì)地完全相同的3個(gè)小球，小球上分別標(biāo)有數(shù)字4，5，6.每次從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，記下它的號(hào)碼，放回袋中，這樣連續(xù)摸三次.設(shè)事件為“三次記下的號(hào)碼之和是15”，事件為“三次記下的號(hào)碼不全相等”，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】事件所包含的基本事件有，，，，，，共7個(gè)，事件所包含的基本事件有，，，，，共6個(gè)，
所以．
故選：A．
6．（2022·山東·高二階段練習(xí)）從一副不含大小王的52張撲克牌中任意抽取兩張，若已知其中一張是A牌，則兩張都是A牌的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依題意，不妨設(shè)事件為抽取的兩張牌中其中一張是A牌，事件為抽取的兩張牌都是A牌，
則，，則，
所以，
故已知其中一張是A牌，則兩張都是A牌的概率為.
故選：D.
7．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）將甲、乙、丙、丁4名志愿者隨機(jī)派往①，②，③三個(gè)社區(qū)進(jìn)行核酸信息采集，每個(gè)社區(qū)至少派1名志愿者，表示事件“志愿者甲派往①社區(qū)”；表示事件“志愿者乙派往①社區(qū)”；表示事件“志愿者乙派往②社區(qū)”，則（ ）
A．事件與相互獨(dú)立
B．事件與為互斥事件
C．
D．
【答案】C
【解析】每個(gè)社區(qū)至少派一名志愿者，則有種方法，
事件：甲派往①，則若①社區(qū)分2人，則有種，若①社區(qū)分1人：則有種，共有種，∴，同理，
若甲與乙同時(shí)派往①社區(qū)，則①社區(qū)分兩人，有種，∴，，A錯(cuò)誤；
由互斥事件概念易知，B錯(cuò)誤；
事件：志愿者乙派往②社區(qū)，若②村分2人，則有種，若②村分1人，則有種，共有種，
∴，若事件，同時(shí)發(fā)生，則有種，∴，，C正確；
，D錯(cuò)誤，
故選：C
8．（2022·陜西省榆林中學(xué)高三階段練習(xí)（理））近日，各地有序開展新冠疫苗加強(qiáng)針接種工作，某社區(qū)疫苗接種點(diǎn)為了更好的服務(wù)市民，決定增派甲、乙、丙、丁4名醫(yī)務(wù)工作者參加登記、接種、留觀3項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少1人參加，若表示事件：“甲參加登記這項(xiàng)工作”；事件表示“乙參加登記這項(xiàng)工作”；事件表示“乙參加接種這項(xiàng)工作”，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．事件與相互獨(dú)立B．事件與相互獨(dú)立
C．D．
【答案】D
【解析】先將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)務(wù)工作者分為3組，1組2人，2組1人，則有種選擇，
再將分好的3組人員與參加登記、接種、留觀3項(xiàng)工作全排列，故共有種基本事件，
若甲與另外一人，共同參加登記這項(xiàng)工作，則只需將乙、丙、丁與登記、接種、留觀3項(xiàng)工作全排列即可，此時(shí)由種選擇，
若甲單獨(dú)參加登記這項(xiàng)工作，則先將剩余的乙、丙、丁分為兩組，再和接種、留觀2項(xiàng)工作全排列，有種選擇，
故事件包含的基本事件數(shù)為：，則，
同理，
事件包含的基本事件數(shù)為：，則，
事件包含兩種情況，一是甲單獨(dú)參加登記這項(xiàng)工作，乙單獨(dú)參加接種這項(xiàng)工作，則剩余的兩人參加留觀工作，此時(shí)由種選擇，
二是甲乙兩人，有1人不是單獨(dú)參加工作，此時(shí)有種選擇，
故事件包含的基本事件數(shù)為：，則
∵，故A錯(cuò)誤；
∵，故B錯(cuò)誤；
∵，故C錯(cuò)誤；
∵，故D正確．
故選：D.
二、多選題
9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)A，B是兩個(gè)事件，若B發(fā)生時(shí)A必定發(fā)生，且，，給出下列各式，其中錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】發(fā)生必定發(fā)生，
，，故A，D錯(cuò)誤，
，故B錯(cuò)誤，
，故C正確．
故選：ABD．
10．（2022·福建·莆田錦江中學(xué)高三階段練習(xí)）甲袋子中有5個(gè)黑球，4個(gè)白球，乙袋子中有3個(gè)黑球，4個(gè)白球．假設(shè)這些球除了顏色外其他都相同，分兩次從袋子中取球，第一次先從甲袋子中隨機(jī)取出一球放入乙袋子，分別用事件，表示由甲袋子取出的球是黑球，白球：第二次再?gòu)囊掖又须S機(jī)取出兩球，分別用事件，表示從乙袋子取出的球是“兩球都為黑球”，“兩球?yàn)橐缓谝话住?，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】由題意得：，，
，A正確；
，B錯(cuò)誤；
，C錯(cuò)誤；
，D正確.
故選：AD
11．（2022·湖北·高二期末）已知事件，滿足，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，，所以A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，，所以C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，，則，所以D選項(xiàng)正確．
故選：ACD．
12．（2022·山東·淄博市臨淄中學(xué)高三階段練習(xí)）甲盒子中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙盒子中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲盒子中隨機(jī)取出一球放入乙盒子，分別以，和表示由甲盒子取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊液凶又须S機(jī)取出一球，以表示由乙盒子取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．，，是兩兩互斥的事件B．
C．事件與事件相互獨(dú)立D．
【答案】AD
【解析】，
又，故D正確.
故
，故B錯(cuò)誤.
，故，
所以事件與事件不相互獨(dú)立，故C錯(cuò)誤，
根據(jù)互斥事件的定義可得兩兩互斥，故A正確.
故選：AD
三、填空題
13．（2022·福建省福州第十一中學(xué)高三期中）一道單項(xiàng)選擇題有4個(gè)答案，要求學(xué)生將正確答案選擇出來(lái).某考生知道正確答案的概率為，在亂猜時(shí)，4個(gè)答案都有機(jī)會(huì)被他選擇，若他答對(duì)了，則他確實(shí)知道正確答案的概率是___________.
【答案】
【解析】設(shè)表示“考生答對(duì)”，表示“考生知道正確答案”，由全概率公式得
故
故答案為：
14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲箱中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球（球除顏色外，大小質(zhì)地均相同）.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別以，和表示由甲箱中取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊蚁渲须S機(jī)取出一球，以表示由乙箱中取出的球是紅球的事件，則________.
【答案】
【解析】根據(jù)題意，事件發(fā)生且事件發(fā)生的概率為；
事件發(fā)生且事件發(fā)生的概率為；
事件發(fā)生且事件發(fā)生的概率為；
故.
故答案為：.
15．（2022·上海市金山中學(xué)高三期中）已知，，則 _________.
【答案】
【解析】因?yàn)椋?br>所以.
故答案為：
16．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）某班有6名班干部，其中4名男生、2名女生，從中選出3人參加學(xué)校組織的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為______．
【答案】
【解析】記“男生甲被選中”為事件，“女生乙被選中”為事件，則事件為“男生甲、女生乙都被選中”，
故，，故，即在男生甲被選中的情況下，女生乙也被選中的概率為.
故答案為：.
四、解答題
17．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）一個(gè)袋中有大小與質(zhì)地相同的2個(gè)黑球和3個(gè)白球，如果不放回地抽取2個(gè)球，記事件A表示“第一次抽到黑球”；事件B表示“第二次抽到黑球”．
(1)分別求事件A、B、發(fā)生的概率；
(2)求．
【解析】（1）記“第一次抽到黑球”為事件，則；
“第二次抽到黑球”為事件．則；
表示“第一次和第二次都抽到黑球”，則；
（2）由（1）得：．
18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中隨機(jī)抽出1道題，______．
從①抽出的題不再放回，②抽出的題放回這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在橫線上，并作答．
(1)求第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題的概率；
(2)求在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率．
【解析】（1）若選①
設(shè)事件A表示“第1次抽到代數(shù)題”，事件B表示“第2次抽到幾何題”，則，
所以第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題的概率．
若選②
設(shè)事件A表示“第1次抽到代數(shù)題”，事件B表示“第2次抽到幾何題”，
則，所以第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題的概率．
（2）若選①
由（1）可得，在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率．
若選②
由（1）可得，在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率
.
19．（2022·江蘇宿遷·高二階段練習(xí)）甲，乙，丙三名同學(xué)相約一起打乒乓球，已知丙與甲，乙比賽，丙每局獲勝的概率分別為，，每局比賽的結(jié)果互不影響，若乙，丙采用“三局兩勝制”進(jìn)行比賽，丙獲勝的概率為.
(1)求的值；
(2)在甲，乙兩名同學(xué)中用抽簽法隨機(jī)選擇一名同學(xué)與丙進(jìn)行一局比賽，求丙獲勝的概率.
【解析】(1)由題知，乙，丙進(jìn)行比賽，丙每局獲勝的概率為，若乙，丙采用“三局兩勝制”進(jìn)行比賽，丙獲勝有兩種可能：丙前兩局連勝，概率為；或者前兩局乙，丙各勝一局且第三局丙勝，概率為，所以丙獲勝的概率為，計(jì)算得.
(2)設(shè)事件為：甲與丙進(jìn)行比賽，事件為：乙與丙進(jìn)行比賽，事件為：丙比賽獲勝，則，，，，所以.
20．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從有3個(gè)紅球和4個(gè)藍(lán)球的袋中，每次隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回，記表示事件“第次摸到紅球”，．
(1)求第一次摸到藍(lán)球的條件下第二次摸到紅球的概率；
(2)記表示，，同時(shí)發(fā)生的概率，表示已知與都發(fā)生時(shí)發(fā)生的概率．
①證明：；
②求．
【解析】（1）由條件概率公式可得；
所以第一次摸到藍(lán)球，第二次摸到紅球的概率為；
（2）①由條件概率乘法公式
可得，
由,可得,
所以
②由①可得
=
，所以．
21．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（1）已知與獨(dú)立，且，求；
（2）已知，，，求，．
【解析】（1）由，可得，
因?yàn)榕c獨(dú)立，所以.
（2）因?yàn)?，，所以，?br>又因?yàn)椋?br>由全概率公式，可得,
，
又由，所以.
22．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)九江中學(xué)高二階段練習(xí)）一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：
從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”．與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R．
(1)證明：；
(2)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出及R的估計(jì)值．
【解析】(1)，，
又，，
則；
(2)，，，
，即，，R的估計(jì)值為6.
品牌名稱
合格率
三種用球占比
96％
30%
98％
50%
97％
20%
元件制造廠
次品率
提供元件的份額
甲
乙
丙
不夠良好
良好
病例組
40
60
對(duì)照組
10
90

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