題型一：相關(guān)關(guān)系的理解
題型二：散點圖與相關(guān)性
題型三：散點圖及其應(yīng)用
題型四：線性相關(guān)性的檢驗
題型五：判斷線性相關(guān)的強(qiáng)弱
題型六：求回歸直線方程
題型七：利用回歸直線方程對總體進(jìn)行估計
題型八：線性回歸分析
題型九：非線性回歸分析
【知識點梳理】
1、相關(guān)關(guān)系
兩個變量間的關(guān)系有函數(shù)關(guān)系，相關(guān)關(guān)系和不相關(guān)關(guān)系
兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系．
2、正相關(guān)、負(fù)相關(guān)
從整體上看，當(dāng)一個變量的值增加時，另一個變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢，我們就稱這兩個變量正相關(guān)；如果一個變量值增加時，另一個變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減少的趨勢，則稱這個兩個變量負(fù)相關(guān)．
3、線性相關(guān)
一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點落在一條線附近，我們就稱這兩個變量線性相關(guān)．
一般地，如果兩個變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)．
4、相關(guān)系數(shù)的計算
注意：相關(guān)系數(shù)是研究變量之間線性相關(guān)程度的量
假設(shè)兩個隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)分別為，對數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的“標(biāo)準(zhǔn)化處理”處理，，分別除和（和分別為，和的均值），得，為簡單起見，把上述“標(biāo)準(zhǔn)化"處理后的成對數(shù)據(jù)分別記為，則變量和變量的樣本相關(guān)系數(shù)的計算公式如下：．
5、一元線性回歸模型
我們稱為關(guān)于的一元線性回歸模型，其中稱為因變量或響應(yīng)變量，稱為自變量或解釋變量；和為模型的末知參數(shù)，稱為截距參數(shù)，稱為斜率參數(shù)；是與之間的隨機(jī)誤差．
6、線性回歸方程與最小二乘法
回歸直線方程過樣本點的中心，是回歸直線方程最常用的一個特征
我們將稱為關(guān)于的線性回歸方程，也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗回歸直線．這種求經(jīng)驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估計（leastsquaresestimate），
其中
【典型例題】
題型一：相關(guān)關(guān)系的理解
例1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）下列兩個變量間的關(guān)系，是相關(guān)關(guān)系的是（ ）
A．任意實數(shù)和它的平方B．圓半徑和圓的周長
C．正多邊形的邊數(shù)和內(nèi)角度數(shù)之和D．天空中的云量和下雨
例2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）有幾組變量：①汽車的重量和汽車每消耗1升汽油所行駛的平均路程；②平均日學(xué)習(xí)時間和平均學(xué)習(xí)成績；③立方體的棱長和體積.其中兩個變量成正相關(guān)的是（ ）
A．①③B．②③
C．②D．③
題型二：散點圖與相關(guān)性
例3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）如下四個散點圖中，正相關(guān)的是（ ）
A．B．
C．D．
題型三：散點圖及其應(yīng)用
例5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）兩對變量A和B，C和D的取值分別對應(yīng)如表1和表2，畫出散點圖，分別判斷它們是否具有相關(guān)關(guān)系；若具有相關(guān)關(guān)系，說出它們相關(guān)關(guān)系的區(qū)別.
表1
表2
題型四：線性相關(guān)性的檢驗
例6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）兩對變量A和B，C和D的取值分別對應(yīng)如表1和表2，畫出散點圖，分別判斷它們是否具有相關(guān)關(guān)系；若具有相關(guān)關(guān)系，說出它們相關(guān)關(guān)系的區(qū)別.
表1
表2
例7．（2022·全國·高二課時練習(xí)）某個男孩的年齡與身高的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示.
（1）畫出散點圖；
（2）判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系.
題型五：判斷線性相關(guān)的強(qiáng)弱
例8．（2022·全國·高二課時練習(xí)）某公司為了準(zhǔn)確地把握市場，做好產(chǎn)品生產(chǎn)計劃，對過去四年的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理得到了第年與年銷量（單位：萬件）之間的關(guān)系如表：
在圖中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖，推斷兩個變量是否線性相關(guān)，計算樣本相關(guān)系數(shù)，并估計它們的相關(guān)程度．
附注：參考數(shù)據(jù)：，，．
參考公式：相關(guān)系數(shù)
例9．（2022·吉林吉林·三模（文））年是決勝全面建成小康社會、決戰(zhàn)脫貧攻堅之年，面對新冠肺炎疫情和嚴(yán)重洪澇災(zāi)害的考驗.黨中央堅定如期完成脫貧攻堅目標(biāo)決心不動搖，全黨全社會戮力同心真抓實干，取得了積極成效．某貧困縣為了響應(yīng)國家精準(zhǔn)扶貧的號召，特地承包了一塊土地，已知土地的使用面積與相應(yīng)的管理時間的關(guān)系如下表所示:
并調(diào)查了某村名村民參與管理的意愿，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示;
（1）做出散點圖，判斷土地使用面積與管理時間是否線性相關(guān);并根據(jù)相關(guān)系數(shù)說明相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱．(若，認(rèn)為兩個變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性，值精確到) .
（2）若以該村的村民的性別與參與管理意風(fēng)的情況估計貧困縣的情況，且每位村民參與管理的意互不影響，則從該貧困縣村民中任取人，記取到不愿意參與管理的女性村民的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考公式：
參考數(shù)據(jù)：
題型六：求回歸直線方程
例1．（2022·甘肅·臨澤縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知變量和正相關(guān)，則由如下表所示的觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程為
A．B．
C．D．
例2．（2022·新疆·烏魯木齊市第二十中學(xué)高二期中）隨著人們經(jīng)濟(jì)收入的不斷增長，個人購買家庭轎車已不再是一種時尚車的使用費用，尤其是隨著使用年限的增多，所支出的費用到底會增長多少，一直是購車一族非常關(guān)心的問題某汽車銷售公司作了一次抽樣調(diào)查，并統(tǒng)計得出某款車的使用年限與所支出的總費用（萬元）有如表的數(shù)據(jù)資料：
(1) 在給出的坐標(biāo)系中作出散點圖；
（2）求線性回歸方程中的、；
（3）估計使用年限為年時，車的使用總費用是多少？
（最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式， .）
題型七：利用回歸直線方程對總體進(jìn)行估計
例3．（2022·江西撫州·高二期末（理））保護(hù)生態(tài)環(huán)境，提倡環(huán)保出行，節(jié)約資源和保護(hù)環(huán)境，某地區(qū)從2016年開始大力提倡新能源汽車，每年抽樣1000汽車調(diào)查，得到新能源汽車y輛與年份代碼x年的數(shù)據(jù)如下表：
(1)建立y關(guān)于x的線性回歸方程；
(2)假設(shè)該地區(qū)2022年共有30萬輛汽車，用樣本估計總體來預(yù)測該地區(qū)2022年有多少新能源汽車．
參考公式：回歸方程斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．
例4．（2022·陜西·西安中學(xué)高二期中（理））偏差是指個別測定值與測定的平均值之差，在成績統(tǒng)計中，我們把某個同學(xué)的某科考試成績與該科班平均分的差叫某科偏差（實際成績平均分偏差）.在某次考試成績統(tǒng)計中，某老師為了對學(xué)生數(shù)學(xué)偏差（單位：分）與物理偏差（單位：分）之間的關(guān)系進(jìn)行分析，隨機(jī)挑選了8位同學(xué)，得到他們的兩科成績偏差數(shù)據(jù)如下：
(1)若與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；
(2)若該次考試該數(shù)學(xué)平均分為120分，物理平均分為91.5分，試由（1）的結(jié)論預(yù)測數(shù)學(xué)成績?yōu)?28分的同學(xué)的物理成績.（下面是參考數(shù)據(jù)和參考公式）
，回歸直線方程為，其中
題型八：線性回歸分析
17．（2021·陜西·府谷縣第三中學(xué)高二期中（理））為了鞏固脫貧成果，某農(nóng)科所實地考察，研究發(fā)現(xiàn)某脫貧村適合種植兩種經(jīng)濟(jì)作物，可以通過種植這兩種經(jīng)濟(jì)作物鞏固脫貧成果.通過大量考察研究得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)：經(jīng)濟(jì)作物的畝產(chǎn)量約為300公斤，其收購價格處于上漲趨勢，最近五年的價格如下表：
經(jīng)濟(jì)作物的收購價格始終為25元/公斤，其畝產(chǎn)量的頻率分布直方圖如圖所示：
(1)若經(jīng)濟(jì)作物的單價（單位：元/公斤）與年份編號之間具有線性相關(guān)關(guān)系，請求出關(guān)于的線性回歸方程；
(2)根據(jù)（1）中所求的線性回歸方程，估計2022年經(jīng)濟(jì)作物的單價；
(3)用頻率分布直方圖估計經(jīng)濟(jì)作物的平均畝產(chǎn)量（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點值為代表），若不考慮其他因素，試判斷2022年該村應(yīng)種植經(jīng)濟(jì)作物還是經(jīng)濟(jì)作物？并說明理由.
參考公式：.
參考數(shù)據(jù)：.
18．（2021·陜西·府谷縣第三中學(xué)高二期中（文））某企業(yè)堅持以市場需求為導(dǎo)向，合理配置生產(chǎn)資源，不斷改革?探索銷售模式.下表是該企業(yè)每月生產(chǎn)的一種核心產(chǎn)品的產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)總成本（萬元）的五組對照數(shù)據(jù).
(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，請用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程；
(2)預(yù)測當(dāng)為8時，生產(chǎn)總成本的估計值.
參考公式：.
19．（2021·陜西省米脂中學(xué)高二期中（文））機(jī)動車排氣污染已經(jīng)成為我國影響城市大氣環(huán)境質(zhì)量的重要因素，為了探究車流量與PM2.5的濃度的關(guān)系，現(xiàn)采集到某城市2021年5月份內(nèi)連續(xù)七天的車流量與PM2.5的數(shù)據(jù)如下表所示．
(1)由散點圖知與具有線性相關(guān)關(guān)系，求與的線性回歸方程；
(2)根據(jù)（1）中所得結(jié)果，預(yù)測該市車流量為9萬輛時PM2.5的濃度；
(3)規(guī)定：當(dāng)一天內(nèi)PM2.5的濃度平均值在內(nèi)時，空氣質(zhì)量等級為優(yōu)；當(dāng)一天內(nèi)PM2.5的濃度平均值在內(nèi)時，空氣質(zhì)量等級為良．為使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或者為良，則應(yīng)控制當(dāng)天車流量在多少萬輛以內(nèi)？
參考公式：，；參考數(shù)據(jù)：，
題型九：非線性回歸分析
20．（2022·四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校高三期中）為適應(yīng)高中新課程改革，某學(xué)校在通用技術(shù)課程中開設(shè)了一門模具加工課，經(jīng)過一段時間的學(xué)習(xí)，擬舉行一次模具加工大賽，學(xué)生小明?小紅打算報名參加大賽．
(1)賽前，小明進(jìn)行了一段時間的強(qiáng)化訓(xùn)練，加工完成一個模具的平均速度(秒)與訓(xùn)練天數(shù)(天)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到如下表數(shù)據(jù)：
經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，可用作為回歸方程模型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并預(yù)測小明經(jīng)過天訓(xùn)練后，加工完成一個模具的平均速度約為多少秒？
(2)小明和小紅擬先舉行一次模擬賽，每局比賽各加工一個模具，先加工完成模具的人獲勝，兩人約定先勝4局者贏得比賽.若小明每局獲勝的概率為，已知在前3局中小明勝2局，小紅勝1局.若每局不存在平局，請計算小明最終贏得比賽的概率．參考數(shù)據(jù)：(其中)
參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.
21．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害，每只紅鈴蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)y和平均溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．
(1)根據(jù)散點圖判斷，與（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于平均溫度x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）并由判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程，（計算結(jié)果精確到0.01）
(2)根據(jù)以往統(tǒng)計，該地每年平均溫度達(dá)到以上時紅鈴蟲會造成嚴(yán)重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治，假設(shè)該地每年平均溫度達(dá)到以上的概率為．該地今后4年中至少有兩年需要人工防治的概率．
附：回歸方程．
【同步練習(xí)】
一、單選題
1．（2022·廣東·新會陳經(jīng)綸中學(xué)高三階段練習(xí)）已知是兩個具有線性相關(guān)的兩個變量，其取值如下表：
其回歸直線過點的一個充分不必要條件是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））2022年5月，居民消費價格走勢為113.52點，同比增長率為2.01%，增速高于平均值1.105%，增速樂觀．下表統(tǒng)計了近6年的消費價格走勢，令2015年12月時，；2016年6月時，，依次類推，得到x與居民消費價格y（點）的線性回歸方程為．由此可估計，2022年6月份的消費價格約為（ ）
A．113.5點B．113.8點C．117.3點D．119.1點
3．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰市元寶山區(qū)第一中學(xué)高二期中）如圖是根據(jù)的觀測數(shù)據(jù)得到的散點圖，可以判斷變量，具有線性相關(guān)關(guān)系的圖是（ ）
A．①②B．③④C．②③D．①④
4．（2021·陜西·府谷縣第三中學(xué)高二階段練習(xí)）在下列各圖中的兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·廣西·桂林市第五中學(xué)高三階段練習(xí)（文））由變量與相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)得到的線性回歸方程為，根據(jù)樣本中心滿足線性回歸方程，則（ ）
A．45B．51C．67D．63
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某單位為了了解辦公樓用電量（度）與氣溫之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計了四個工作日用電量與當(dāng)天平均氣溫，如下表：
由表中數(shù)據(jù)得到線性回歸方程為，當(dāng)氣溫為時，預(yù)測用電量為（ ）A．68度B．67度C．66度D．52度
7．（2022·陜西·咸陽市高新一中高三開學(xué)考試（文））某企業(yè)秉承“科學(xué)技術(shù)是第一生產(chǎn)力”的發(fā)展理念，投入大量科研經(jīng)費進(jìn)行技術(shù)革新，該企業(yè)統(tǒng)計了最近6年投入的年科研經(jīng)費x（單位：百萬元）和年利潤y（單位：百萬元）的數(shù)據(jù)，并繪制成如圖所示的散點圖．已知x，y的平均值分別為，．甲統(tǒng)計員得到的回歸方程為；乙統(tǒng)計員得到的回歸方程為；若甲、乙二人計算均未出現(xiàn)錯誤，有下列四個結(jié)論：
①當(dāng)投入年科研經(jīng)費為20（百萬元）時，按乙統(tǒng)計員的回歸方程可得年利潤估計值為75.6（百萬元）（?。?；
②；
③方程比方程擬合效果好；
④y與x正相關(guān)．
以上說法正確的是（ ）
A．①③④B．②③C．②④D．①②④
8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某微生物科研團(tuán)隊為了研究某種細(xì)菌的繁殖情況，工作人員配制了一種適合該細(xì)菌繁殖的營養(yǎng)基質(zhì)用以培養(yǎng)該細(xì)菌，通過相關(guān)設(shè)備以及分析計算后得到：該細(xì)菌在前3個小時的細(xì)菌數(shù)與時間（單位：小時，且）滿足回歸方程（其中為常數(shù)），若，且前3個小時與的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：
3個小時后，向該營養(yǎng)基質(zhì)中加入某種細(xì)菌抑制劑，分析計算后得到細(xì)菌數(shù)與時間（單位：小時，且）滿足關(guān)系式：，在時刻，該細(xì)菌數(shù)達(dá)到最大，隨后細(xì)菌個數(shù)逐漸減少，則的值為（ ）A．4B．C．5D．
二、多選題
9．（2022·江蘇徐州·高三期末）已知變量與具有線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計得到6組數(shù)據(jù)如下表：
若關(guān)于的線性回歸方程為，則（ ）A．變量與之間正相關(guān)B．
C．D．當(dāng)時，的估計值為15.6
10．（2022·全國·模擬預(yù)測）近年來考研成為許多大學(xué)生的熱門選擇，某研究機(jī)構(gòu)為了解大學(xué)生考研情況，對2018年至2022年研究生報考人數(shù)（單位：萬人）作出統(tǒng)計如下表：
根據(jù)上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)求得研究生報考人數(shù)y與年份代碼x滿足的線性回歸方程為，則（ ）A．
B．回歸直線經(jīng)過點
C．2018年至2022年每年研究生報考人數(shù)約增加183.1萬人
D．預(yù)測2024年研究生報考人數(shù)為550.6萬人
11．（2022·廣東湛江·高三階段練習(xí)）某公司為了增加某商品的銷售利潤，調(diào)查了該商品投入的廣告費用：x（單位：萬元）與銷售利潤y（單位：萬元）的相關(guān)數(shù)據(jù)，如表所示，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到經(jīng)驗回歸方程，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．直線l必過點D．直線l必過點
12．（2022·廣東·高三開學(xué)考試）某企業(yè)秉承“科學(xué)技術(shù)是第一生產(chǎn)力”的發(fā)展理念，投入大量科研經(jīng)費進(jìn)行技術(shù)革新，該企業(yè)統(tǒng)計了最近6年投入的年科研經(jīng)費x（單位：百萬元）和年利潤y（單位：百萬元）的數(shù)據(jù)，并繪制成如圖所示的散點圖．已知x，y的平均值分別為．甲統(tǒng)計員得到的回歸方程為；乙統(tǒng)計員得到的回歸方程為；若甲、乙二人計算均未出現(xiàn)錯誤，則以下結(jié)論正確的為（ ）
A．當(dāng)投入年科研經(jīng)費為20（百萬元）時，按乙統(tǒng)計員的回歸方程可得年利潤估計值為75.6（百萬元）（取）
B．
C．方程比方程擬合效果好
D．y與x正相關(guān)
三、填空題
13．（2022·安徽·高三階段練習(xí)）功能性飲料是指通過調(diào)整飲料中天然營養(yǎng)素的成分和含量比例，以適應(yīng)某些特殊人群營養(yǎng)需要的飲品數(shù)據(jù)顯示，從年開始，中國功能性飲料市場年均復(fù)合增長率均不低于某同學(xué)若根據(jù)年年份代碼分別為中國功能性飲料年市場規(guī)模（單位：百億元）求得回歸方程為，則年預(yù)測規(guī)模與年平均規(guī)模的差為______百億元.
14．（2022·上海市大同中學(xué)高二期末）某設(shè)備的使用年限與所支出的維修費用的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：
根據(jù)上表可得回歸直線方程為：，據(jù)此模型預(yù)測，若使用年限為10年，估計維修費用約為___________.
15．（2022·湖北黃岡·高三階段練習(xí)）某公司為了調(diào)查某商品的銷售利潤，統(tǒng)計該商品近5年的利潤情況如下表：
若已知變量y與x之間具有線性關(guān)系，由最小二乘法建立的回歸直線方程為，則該公司這5年利潤的標(biāo)準(zhǔn)差是___________.
16．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知變量，的關(guān)系可以用模型擬合，設(shè)，其變換后得到一組數(shù)據(jù)如下：
由上表可得線性回歸方程，則______．
四、解答題
17．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）隨著對新能源汽車的大力推廣，其使用量逐年增加，加大了對新能源汽車充電基礎(chǔ)設(shè)施的建設(shè)，統(tǒng)計該市近5年新能源汽車充電樁的數(shù)量（單位：千個），得到如下表格：
(1)若與成線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；
(2)預(yù)測2024年該新能源汽車充電樁的數(shù)量．
參考公式：．
18．（2022·四川·成都七中高二階段練習(xí)（文））已知某同學(xué)的物理成績y（單位：分，滿分100分）與數(shù)學(xué)成績x（單位：分，滿分150分）之間具有線性相關(guān)關(guān)系，在連續(xù)的五次月考中，該生的物理成績與數(shù)學(xué)成績統(tǒng)計如下表：
(1)根據(jù)該同學(xué)的數(shù)學(xué)與物理成績，若都以100分值計算，判斷哪一科更穩(wěn)定；
(2)利用上表中的五組數(shù)據(jù)求回歸直線方程.若在第六次月考中該生數(shù)學(xué)成績?yōu)?，利用該回歸直線方程預(yù)測第六次月考的物理成績．
參考公式：
19．（2022·貴州貴陽·高三階段練習(xí)（理））據(jù)統(tǒng)計我國2016年~2022年水果人均占有量（單位：）和年份代碼繪制的散點圖和線性回歸方程的殘差圖（2016年~2022年的年份代碼分別為1~7）.
(1)根據(jù)散點圖分析與之間的相關(guān)關(guān)系；
(2)根據(jù)散點圖相應(yīng)數(shù)據(jù)計算得，，求關(guān)于的線性回歸方程（數(shù)據(jù)精確到）；
(3)根據(jù)線性回歸方程的殘差圖，分析線性回歸方程的擬合效果.
附：回歸方程中的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別
20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）國慶期間，某市文旅部門在落實防控舉措的同時，推出了多款套票文旅產(chǎn)品，得到消費者的積極回應(yīng).下面是文旅部門在某地區(qū)推出六款不同價位的旅游套票，每款的套票價格（單位：元）與購買人數(shù)（單位：萬人）的數(shù)據(jù)如下表：
在分析數(shù)據(jù)、描點繪圖中，發(fā)現(xiàn)散點集中在一條直線附近，其中，.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求關(guān)于的回歸方程；
附：①可能用到的數(shù)據(jù)：，，，.
②對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計值分別為，.
21．（2021·陜西省米脂中學(xué)高二期中（理））某高中生參加社會實踐活動，對某公司1月份至6月份銷售某種機(jī)器配件的銷售量及銷售單價進(jìn)行了調(diào)查，銷售單價和銷售量之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：
(1)根據(jù)1至5月份的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程；
(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與剩下的檢驗數(shù)據(jù)的誤差不超過0.5，則認(rèn)為所得到的線性回歸方程是理想的，試問（1）中所得到的線性回歸方程是否理想？
(3)預(yù)計在今后的銷售中，銷售量與銷售單價仍然服從（1）中的關(guān)系，若該種機(jī)器配件的成本是2.5元/件，那么該配件的銷售單價應(yīng)定為多少元/件，才能獲得最大利潤？（注：銷售利潤=銷售收人-成本）.
參考公式，.參考數(shù)據(jù)：，.
22．（2021·陜西·榆林市橫山中學(xué)高二階段練習(xí)）某種工程車隨著使用年限的增加，每年的維修費用也相應(yīng)增加，根據(jù)相關(guān)資料可知該種工程車自購人使用之日起，前5年中每年的維修費用如下表所示．已知與具有線性相關(guān)關(guān)系．
參考數(shù)據(jù)：，．參考公式：線性回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計分別為，
(1)求關(guān)于的線性回歸方程；
(2)根據(jù)實際用車情況，若某輛工程車每年維修費用超過4萬元時，可以申請報備更換新車，請根據(jù)回歸方程預(yù)估一輛該種工程車一般使用幾年后可以申請報備更換新車．
A
26
18
13
10
4
－1
B
20
24
34
38
50
64
C
0
5
10
15
20
25
30
35
D
541.67
602.66
672.09
704.99
806.71
908.59
975.42
1 034.75
A
26
18
13
10
4
－1
B
20
24
34
38
50
64
C
0
5
10
15
20
25
30
35
D
541.67
602.66
672.09
704.99
806.71
908.59
975.42
1 034.75
年齡x(歲)
1
2
3
4
5
6
身高y(cm)
78
87
98
108
115
120
1
2
3
4
12
28
42
56
土地使用面積（單位：畝）
管理時間（單位：月）
愿意參與管理
不愿意參與管理
男性村民
女性村民
使用年限
2
3
4
5
6
總費用
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代碼第x年
1
2
3
4
5
新能源汽車y輛
30
50
70
100
110
學(xué)生序號
1
2
3
4
5
6
7
8
數(shù)學(xué)偏差
20
15
13
3
2
-5
-10
-18
物理偏差
6.5
3.5
3.5
1.5
0.5
-0.5
-2.5
-3.5
年份編號
1
2
3
4
5
年份
2017
2018
2019
2020
2021
單價元/公斤
18
20
23
25
29
產(chǎn)量（噸）
1
2
3
4
5
生產(chǎn)總成本（萬元）
3
7
8
10
12
車流量（萬輛）
1
2
3
4
5
6
7
PM2.5的濃度（微克/立方米）
26
27
32
37
44
54
60
(天)
1
2
3
4
5
6
7
(秒)
990
990
450
320
300
240
210
1845
0.37
0.55
平均溫度
21
23
25
27
29
31
33
平均產(chǎn)卵數(shù)/個
7
11
21
24
66
115
325
1.9
2.4
3.0
3.2
4.2
4.7
5.8
參考數(shù)據(jù)
5215
17713
717
81.3
3.6
1
2
3
4
5
4
9
11
氣溫
18
13
10
用電量(度)
24
34
38
64
1
2
3
2
4
7
10
15
22
8.1
9.4
12
14.4
18.5
24
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份代碼
1
2
3
4
5
研究生報考人數(shù)/萬人
238
290
341
377
457
廣告費用x
3
4
5
8
銷售利潤y
4
5
7
8
使用年限（單位：年）
2
3
4
5
6
維修費用（單位：萬元）
第x年
1
2
3
4
5
利潤y/億元
2
3
a
4
6
4
6
8
10
2
3
5
6
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代號t
1
2
3
4
5
新能源汽車充電樁數(shù)址y（千個）
17
19
23
26
30
數(shù)學(xué)成績x
120
110
125
130
115
物理成績y
92
83
90
96
89
旅游類別
城市展館科技游
鄉(xiāng)村特色游
紅色景點游
登山套票
游園套票
觀海套票
套票價格（元）
39
49
58
67
77
86
購買數(shù)量（萬人）
16.7
18.7
20.6
22.5
24.1
25.6
月份
1
2
3
4
5
6
銷售單價（元/件）
9
9.5
10
10.5
11
8
銷售量（件）
11
10
8
6
5
14.2
年份序號
1
2
3
4
5
維修費用（萬元
2

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