題型一：基底的判斷
題型二：基底的運(yùn)用
題型三：正交分解
題型四：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題
題型五：空間向量的坐標(biāo)表示
題型六：空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算
題型七：空間向量的共線與共面
題型八：空間向量模長坐標(biāo)表示
題型九：空間向量平行坐標(biāo)表示
題型十：空間向量垂直坐標(biāo)表示
題型十一：空間向量夾角坐標(biāo)表示
【知識點(diǎn)梳理】
知識點(diǎn)一：空間向量基本定理及樣關(guān)概念的理解
空間向量基本定理：
如果空間中的三個(gè)向量，，不共面，那么對空間中的任意一個(gè)向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得.其中，空間中不共面的三個(gè)向量，，組成的集合{，，}，常稱為空間向量的一組基底.此時(shí)，，，都稱為基向量；如果，則稱為在基底{，，}下的分解式.
知識點(diǎn)二：空間向量的正交分解
單位正交基底：如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用表示.
正交分解：把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.
知識點(diǎn)三：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題
用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：
(1)用已知向量來表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．
(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量．
(3)在立體幾何中三角形法則、平行四邊形法則仍然成立
知識點(diǎn)四、空間直角坐標(biāo)系
1、空間直角坐標(biāo)系
從空間某一定點(diǎn)O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸，這三條坐標(biāo)軸中每兩條確定一個(gè)坐標(biāo)平面，分別是平面、yOz平面、zOx平面.
2、右手直角坐標(biāo)系
在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.
3、空間點(diǎn)的坐標(biāo)
空間一點(diǎn)A的坐標(biāo)可以用有序數(shù)組(x，y，z)來表示，有序數(shù)組(x，y，z)叫做點(diǎn)A的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo).
知識點(diǎn)五、空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)
1、空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的求法
通過該點(diǎn)，作兩條軸所確定平面的平行平面，此平面交另一軸于一點(diǎn)，交點(diǎn)在這條軸上的坐標(biāo)就是已知點(diǎn)相應(yīng)的一個(gè)坐標(biāo).
特殊點(diǎn)的坐標(biāo)：原點(diǎn)；軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為；坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.
2、空間直角坐標(biāo)系中對稱點(diǎn)的坐標(biāo)
在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則有
點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是；
點(diǎn)關(guān)于橫軸(x軸)的對稱點(diǎn)是；
點(diǎn)關(guān)于縱軸(y軸)的對稱點(diǎn)是；
點(diǎn)關(guān)于豎軸(z軸)的對稱點(diǎn)是；
點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)是；
點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)是；
點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱點(diǎn)是.
知識點(diǎn)六、 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算
（1）空間兩點(diǎn)的距離公式
若，則
①
即:一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。
②，
或.
知識點(diǎn)詮釋：兩點(diǎn)間距離公式是模長公式的推廣，首先根據(jù)向量的減法推出向量的坐標(biāo)表示，然后再用模長公式推出。
（2）空間線段中點(diǎn)坐標(biāo)
空間中有兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為.
（3）向量加減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算
若，則
①;
②;
③;
（4）向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算
若，則
即：空間兩個(gè)向量的數(shù)量積等于他們的對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和。
（5）空間向量長度及兩向量夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式
若，則
(1).
(2).
知識點(diǎn)詮釋：
①夾角公式可以根據(jù)數(shù)量積的定義推出：
，其中的范圍是
②.
③用此公式求異面直線所成角等角度時(shí)，要注意所求角度與θ的關(guān)系（相等，互余，互補(bǔ)）。
（6）空間向量平行和垂直的條件
若，則
①
②
規(guī)定：與任意空間向量平行或垂直
作用：證明線線平行、線線垂直.
【典型例題】
題型一：基底的判斷
例1．（2022·重慶八中模擬預(yù)測）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量也可以構(gòu)成空間中的一個(gè)基底的是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，，，且是空間的一個(gè)基底，給出下列向量組：①；②；③；④，則其中可以作為空間的基底的向量組有（ ）
A．1B．2C．3D．4
題型二：基底的運(yùn)用
例3．（2022·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，OABC是四面體，G是的重心，是OG上一點(diǎn)，且，則（ ）
A．B．=
C．=D．=
例4．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)高二階段練習(xí)）在四面體中，，，，點(diǎn)在上，且，是的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．
C．D．
題型三：正交分解
例5．（2022·湖北·武漢市鋼城第四中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)是空間的一個(gè)單位正交基底，且向量 ， 是空間的另一個(gè)基底，則用該基底表示向量____________.
例6．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高二期中）若是一個(gè)單位正交基底，且向量，，______．
題型四：用空間向量基本定理解決相關(guān)的幾何問題
例7．（2022·湖北·武漢市鋼城第四中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=60°，∠DAA1=120°.求：
(1)的值.
(2)線段AC1 的長
例8．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知空間四邊形OABC中，，且OA=OB=OC，M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)，求證：OG⊥BC．
題型五：空間向量的坐標(biāo)表示
例9．（2022·江蘇常州·高二期中）平行六面體中，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
例10．（2022·全國·高二期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，則______．
題型六：空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算
例11．（多選題）（2022·福建三明·高二期末）已知正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則（ ）
A．點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0，2）B．
C．的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1，1）D．點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為（－2，2，－2）
例12．（2022·吉林白山·高二期末）《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，M是的中點(diǎn)，，，，若，則（ ）
A．B．C．D．
題型七：空間向量的共線與共面
例13．（2022·河南·平頂山市教育局教育教學(xué)研究室高二開學(xué)考試（理））已知空間三點(diǎn)，，，若三點(diǎn)共線，則（ ）．
A．B．1C．D．2
例14．（2022·浙江·平湖市當(dāng)湖高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知向量，，，若，，共面，則___________.
題型八：空間向量模長坐標(biāo)表示
例15．（2022·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知空間三點(diǎn)A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，則在上的投影向量的模是______.
例16．（2022·江蘇常州·高二期中）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，，點(diǎn)N為B1B的中點(diǎn)，則___________.
題型九：空間向量平行坐標(biāo)表示
例17．（2022·山東省鄆城第一中學(xué)高二開學(xué)考試）已知向量 ， 若 ，則實(shí)數(shù)________．
例18．（2022·湖北武漢·高二期中）已知兩個(gè)向量，，且，則的值為（ ）
A．1B．2C．4D．8
題型十：空間向量垂直坐標(biāo)表示
例19．（2022·全國·高二單元測試）已知，．設(shè)D在直線AB上，且，設(shè)，若，則實(shí)數(shù)______．
例20．（2022·福建龍巖·高二期中）已知向量，，點(diǎn)，.
(1)求；
(2)若直線AB上存在一點(diǎn)E，使得，其中O為原點(diǎn)，求E點(diǎn)的坐標(biāo).
題型十一：空間向量夾角坐標(biāo)表示
例21．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，分別是軸、軸、軸正方向上的單位向量，若為非零向量，且，，則______．
例22．（2022·四川·閬中中學(xué)高二階段練習(xí)（理））若向量若與的夾角為銳角，則的范圍為_________.
例23．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，，，棱，、分別為、的中點(diǎn).建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，解決如下問題：
(1)求的模；
(2)求的值；
(3)求證：平面.
【同步練習(xí)】
一、單選題
1．（2022·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知空間向量，，則在的投影向量（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·重慶·高二階段練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．已知四棱錐是陽馬，上平面，且，若，，，則（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·浙江·杭師大附中高二期中）已知 ，則（ ）
A．2B．4C．6D．8
4．（2022·浙江省杭州第九中學(xué)高二期中）若，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·北京·海淀教師進(jìn)修學(xué)校附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二階段練習(xí)）已知向量與向量垂直，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·江蘇·沭陽如東中學(xué)高二期末）已知，則的最小值（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·黑龍江·哈爾濱市第一中學(xué)校高二階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·安徽·合肥市第七中學(xué)高二期中）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA的長為1，且PA與AB，AD的夾角都等于60°.若M是PC的中點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（2022·山東·菏澤市定陶區(qū)明德學(xué)校（山大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校）高二階段練習(xí)）下列命題中，正確的命題有（ ）
A．是，共線的充要條件
B．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得
C．對空間中任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn) ，，，若，則，，，四點(diǎn)共面
D．若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底
10．（2022·山東·菏澤市定陶區(qū)明德學(xué)校（山大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校）高二階段練習(xí)）已知空間向量，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．與夾角的余弦值為
11．（2022·安徽·安慶市外國語學(xué)校高二階段練習(xí)）設(shè)是空間的一個(gè)基底，若，，．給出下列向量組可以作為空間的基底的是（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知正方體的棱長為2，M為的中點(diǎn)，N為正方形ABCD所在平面內(nèi)一動點(diǎn)，則下列命題正確的有（ ）
A．若，則MN的中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為
B．若MN與平面ABCD所成的角為，則N的軌跡為圓
C．若N到直線與直線DC的距離相等，則N的軌跡為拋物線
D．若與AB所成的角為，則N的軌跡為雙曲線
三、填空題
13．（2022·黑龍江·哈爾濱市第四中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知空間直角坐標(biāo)系中ΔABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為:，AD是邊BC上的高，則AD的長為__________．
14．（2022·廣東江門·高二期末）若兩個(gè)單位向量與向量的夾角都等于，則__________.
15．（2022·福建三明·高二期中）已知向量，，，若向量與所成角為鈍角，則實(shí)數(shù)的范圍是______.
16．（2022·山東·濟(jì)南三中高二期中）已知，，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為______.
四、解答題
17．（2022·浙江·高二階段練習(xí)）如圖，在四面體中，設(shè).
(1)若是的中點(diǎn)，用表示；
(2)若兩兩垂直，證明：為銳角三角形.
18．（2022·廣東惠州·高二期中）已知．
(1)若，求實(shí)數(shù)k的值；
(2)若，求的值．
19．（2022·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，，點(diǎn)，．
(1)求的值．
(2)在線段AB上，是否存在一點(diǎn)E，使得？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）
20．（2022·山東·泰安市基礎(chǔ)教育教學(xué)研究室高二期中）已知，，．
(1)求；
(2)求在上的投影向量．
21．（2022·福建·高二階段練習(xí)）已知空間三點(diǎn)，，，．
(1)求以為邊的平行四邊形的面積；
(2)若，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的值．
22．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高二期中）已知空間中三點(diǎn)，，，設(shè)，.
(1)若，且，求向量；
(2)若點(diǎn)在平面上，求的值.

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