題型一：構(gòu)造函數(shù)解不等式問題
題型二：單調(diào)性問題
題型三：極值問題
題型四：最值問題
題型五：切線問題
題型六：證明不等式
題型七：恒成立問題
題型八：能成立問題
題型九：零點問題與方程的根問題
題型十：雙變量問題問題
題型十一：極值點偏移問題
【知識點梳理】
知識點1、恒成立問題
（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
不等式在區(qū)間D上恒成立；
（2）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，且值域為，則
不等式在區(qū)間D上恒成立．
不等式在區(qū)間D上恒成立．
（3）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
不等式在區(qū)間D上有解；
（4）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲担缰涤驗?，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：
不等式在區(qū)間D上有解
不等式在區(qū)間D上有解
（5）對于任意的，總存在，使得；
（6）對于任意的，總存在，使得；
（7）若存在，對于任意的，使得；
（8）若存在，對于任意的，使得；
（9）對于任意的，使得；
（10）對于任意的，使得；
（11）若存在，總存在，使得
（12）若存在，總存在，使得．
知識點2、極值點偏移的相關(guān)概念
所謂極值點偏移，是指對于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對稱性．若函數(shù)在處取得極值，且函數(shù)與直線交于兩點，則的中點為，而往往．如下圖所示．

圖1 極值點不偏移 圖2 極值點偏移
極值點偏移的定義：對于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，方程的解分別為，且，（1）若，則稱函數(shù)在區(qū)間上極值點偏移；（2）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點左偏，簡稱極值點左偏；（3）若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點右偏，簡稱極值點右偏．
知識點3、破解雙參數(shù)不等式的方法：
一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式；
二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；
三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應用到雙參不等式，即可證得結(jié)果．
知識點4、函數(shù)零點問題的常見題型：判斷函數(shù)是否存在零點或者求零點的個數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點情況，求參數(shù)的值或取值范圍．
求解步驟：
第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與軸（或直線）在某區(qū)間上的交點問題；
第二步：利用導數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點值等性質(zhì)，進而畫出其圖像；
第三步：結(jié)合圖像判斷零點或根據(jù)零點分析參數(shù)．
知識點5、利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù)．
（4）對數(shù)單身狗，指數(shù)找基友
（5）凹凸反轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)化為最值問題
（6）同構(gòu)變形
【典型例題】
題型一：構(gòu)造函數(shù)解不等式問題
例1．（2022·山東聊城一中高二期中）定義在上的函數(shù)是的導函數(shù)，且成立，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022·四川南充·一模（文））設(shè)定義R在上的函數(shù)，滿足任意，都有，且時，，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A．B．
C．D．
例3．（2022·吉林·長春吉大附中實驗學校模擬預測）設(shè)是函數(shù)的導函數(shù)，且，（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
例4．（2022·江蘇·寶應縣曹甸高級中學高三階段練習）函數(shù)是定義在區(qū)間上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
例5．（2022·福建省福州第八中學高三階段練習）已函數(shù)及其導函數(shù)定義域均為，且，，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
題型二：單調(diào)性問題
例6．（2022·上海市楊浦高級中學高二期末）若函數(shù)在是嚴格增函數(shù)，則實數(shù)的最小值是_________.
例7．（2022·福建福州·高二期末）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是則整數(shù)________．
例8．（2022·內(nèi)蒙古·滿洲里市第一中學高二期末（理））已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是___________.
例9．（2022·上?！偷└街懈叨谀┰O(shè)，若，則x的取值范圍是___________.
例10．（2022·山東日照·高二期末）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是___________.
題型三：極值問題
例11．（2022·上海市金山中學高二期末）已知是函數(shù)的極小值點，則_____．
例12．（2022·陜西西安·高二期末（理））已知函數(shù)在處取得極值0，則______．
例13．（2022·四川瀘州·高二期末（理））關(guān)于函數(shù)有如下四個命題：
① 若是的極大值點，則在上單調(diào)遞增；
②，；
③若函數(shù)存在極值點，則；
④函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱．
其中所有真命題的序號是__________（填上所有正確命題序號）．
例14．（2022·新疆·柯坪湖州國慶中學高二期末（理））若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)取值范圍是______
例15．（2022·安徽·歙縣教研室高二期末）若函數(shù)沒有極值，則實數(shù)的取值范圍為_____________.
例16．（2022·河南·鄧州市第一高級中學校高二期末（理））若函數(shù)無極值點，則a的取值范圍是______．
題型四：最值問題
例17．（2022·山東泰安·高二期末）已知函數(shù)，，則的最大值為___________.
例18．（2022·黑龍江·大慶實驗中學高二期末）已知關(guān)于不等式對任意和正數(shù)恒成立，則的最小值為______．
例19．（2022·山東濟寧·高二期末）已知，，且滿足，則的最小值為______.
例20．（2022·四川綿陽·高二期末（文））已知函數(shù)，，對于任意，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是________
例21．（2022·廣東揭陽·高二期末）函數(shù)的最大值為___．
例22．（2022·云南昆明·高二期末）若存在直線與函數(shù)，的圖象都相切，則實數(shù)a的最大值為______.
題型五：切線問題
例23．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學校高三期中）已知函數(shù)，直線是曲線的一條切線，則的取值范圍是___________
例24．（2022·廣東·鹽田高中高三階段練習）設(shè)函數(shù)，直線是曲線的切線，則的最大值是__________
例25．（2022·江蘇·南京市秦淮中學高三階段練習）函數(shù)，曲線在點處的切線也是曲線的切線，則的范圍是___________.
例26．（2022·山東聊城一中高三階段練習）若曲線在點處的切線與直線平行，則實數(shù)a的值為___________.
例27．（2022·四川·石室中學模擬預測（理））若直線是曲線和的公切線，則實數(shù)的值是______.
例28．（2022·云南·昆明市官渡區(qū)藝卓中學高三階段練習）若經(jīng)過原點作曲線的切線，求切線方程為______．
例29．（2022·山東濟寧·高三期中）已知函數(shù)在點處切線的斜率是3，則實數(shù)__________.
題型六：證明不等式
例30．（2022·江蘇徐州·高三期末）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，證明：.
例31．（2022·河北省文安縣第一中學高二期末）已知函數(shù).
(1)當時，求的極值；
(2)證明：當時，.
例32．（2022·四川·石室中學模擬預測（文））已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)①若，求實數(shù)的值；
②設(shè)，求證：.
例33．（2022·山東濟寧·高三期中）已知函數(shù)是函數(shù)的導函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)問；
(2)設(shè)，試比較與的大小，并說明理由；
(3)若數(shù)列的通項，求證：.
題型七：恒成立問題
例34．（2022·陜西漢中·一模（文））已知
(1)討論的單調(diào)性；
(2)對，使得恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
例35．（2022·黑龍江·哈爾濱工業(yè)大學附屬中學校高二期末（文））已知函數(shù)．
(1)當時，求的最大值；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
例36．（2022·河北衡水中學高一階段練習）已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)當時，判斷函數(shù)零點個數(shù)，并證明你的結(jié)論；
(2)當時，關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍
例37．（2022·福建·高三階段練習）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)f（x）的極值；
(2)若關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
題型八：能成立問題
例38．（2022·河北南宮中學高三階段練習）已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，使得，求實數(shù)的取值范圍.
例39．（2022·全國·模擬預測）已知函數(shù)，．
(1)討論函數(shù)的極值；
(2)當時，若存在q，使得不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
例40．（2022·全國·高三階段練習（理））已知函數(shù)，，．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若，，使得，求實數(shù)的取值范圍．
題型九：零點問題與方程的根問題
例41．（2022·山東泰安·高三期中）已知函數(shù) .
(1)求函數(shù)的極值；
(2)若1是關(guān)于的方程的根，且方程在上有實根，求的取值范圍.
例42．（2022·重慶八中高三階段練習）已知，函數(shù).
(1)證明：在上有唯一的極值點;
(2)當時，求的零點個數(shù).
例43．（2022·山東·利津縣高級中學高三階段練習）已知函數(shù)，（為自然對數(shù)的底數(shù)）.
(1)討論當時，函數(shù)的單調(diào)性；
(2)判斷方程是否有解，并說明理由.
例44．（2022·江蘇·高三階段練習）已知函數(shù)．
(1)若的最小值為1，求實數(shù)a的值；
(2)若關(guān)于x的方程有3個不同的實數(shù)根，求a的取值范圍．
題型十：雙變量問題問題
例45．（2022·安徽·六安二中高三階段練習）已知函數(shù)，函數(shù)是定義在的可導函數(shù)，其導數(shù)為，滿足．
(1)若在上單調(diào)遞減，求實數(shù)取值范圍；
(2)對任意正數(shù)，試比較與的大?。?br>例46．（2022·山西大附中高三階段練習）設(shè)函數(shù)（）.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有兩個零點，，求的取值范圍，并證明：.
例47．（2022·四川外國語大學附屬外國語學校高三期中）已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的極值；
(2)設(shè)有兩個不同的零點，，為其極值點，證明：．
例48．（2022·貴州·思南縣梵凈山中學高三階段練習）已知指數(shù)函數(shù)經(jīng)過點.求：
(1)若函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱，且與直線相切，求的值；
(2)對于實數(shù)，，且，①；②.
在兩個結(jié)論中任選一個，并證明.（注：如果選擇多個結(jié)論分別證明，按第一個計分）
題型十一：極值點偏移問題
例49．（2022·江蘇南通·高三期中）已知，其極小值為-4.
(1)求的值；
(2)若關(guān)于的方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，，求證：.
例50．（2022·全國·高三階段練習（文））已知函數(shù)（且）.
(1)若函數(shù)的最小值為2，求的值；
(2)在（1）的條件下，若關(guān)于的方程有兩個不同的實數(shù)根，且，求證：.
例51．（2022·河南·高三期中（理））已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若存在，且，使得，求證：.

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