題型一：中點公式
題型二：兩點距離公式
題型三：由頂點判斷三角形的形狀
題型四：由兩點距離公式求最值
題型五：點線距離公式
題型六：面積問題
題型七：由點線距離求參數(shù)
題型八：點關(guān)于直線對稱
題型九：直線關(guān)于直線對稱
題型十：平行線間距離公式
題型十一：直線關(guān)于點對稱
題型十二：將軍飲馬問題
【知識點梳理】
知識點一：中點坐標公式
若兩點、，且線段的中點坐標為，則，，則此公式為線段的中點坐標公式．
知識點二：兩點間的距離公式
兩點間的距離公式為．
知識點詮釋：
此公式可以用來求解平面上任意兩點之間的距離，它是所有求距離問題的基礎(chǔ)，點到直線的距離和兩平行直線之間的距離均可轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離來解決．另外在下一章圓的標準方程的推導(dǎo)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的判斷等內(nèi)容中都有廣泛應(yīng)用，需熟練掌握．
知識點三：點到直線的距離公式
點到直線的距離為．
知識點詮釋：
（1）點到直線的距離為直線上所有的點到已知點的距離中最小距離；
（2）使用點到直線的距離公式的前提條件是：把直線方程先化為一般式方程；
（3）此公式常用于求三角形的高、兩平行線間的距離及下一章中直線與圓的位置關(guān)系的判斷等．
知識點四：兩平行線間的距離
本類問題常見的有兩種解法：①轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題，在任一條直線上任取一點，此點到另一條直線的距離即為兩直線之間的距離；②距離公式：直線與直線的距離為．
知識點詮釋：
（1）兩條平行線間的距離，可以看作在其中一條直線上任取一點，這個點到另一條直線的距離，此點一般可以取直線上的特殊點，也可以看作是兩條直線上各取一點，這兩點間的最短距離；
（2）利用兩條平行直線間的距離公式時，一定先將兩直線方程化為一般形式，且兩條直線中，的系數(shù)分別是相同的以后，才能使用此公式．
【典例例題】
題型一：中點公式
【例1】（2023·浙江·麗水外國語實驗學(xué)校高一階段練習(xí)）已知點，則線段AB的中點坐標為________．
【對點訓(xùn)練1】（2023·全國·高二課時練習(xí)）直線l經(jīng)過已知點，且被兩條已知直線截得的線段恰以P為中點，求直線l的方程．
【對點訓(xùn)練2】（2023·江蘇·高二課時練習(xí)）已知點在軸上，點在軸上，線段的中點的坐標是，求線段的長．
題型二：兩點距離公式
【例2】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知點，，則A，B兩點的距離為（ ）
A．25B．5
C．4D．
【對點訓(xùn)練3】（2023·廣西防城港·高二統(tǒng)考期末）已知點，則為（ ）
A．5B．C．D．4
【對點訓(xùn)練4】（2023·新疆巴音郭楞·高二?？计谥校┮阎cA、B是直線與坐標軸的交點，則（ ）
A．B．C．1D．2
題型三：由頂點判斷三角形的形狀
【例3】（2023·高二課時練習(xí)）以點A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)為頂點的三角形是（ ）
A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．以上都不是
【對點訓(xùn)練5】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）已知，，，則是（ ）
A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形
題型四：由兩點距離公式求最值
【例4】（2023·湖北宜昌·高二校聯(lián)考期中）函數(shù)的最小值是（ ）
A．5B．4C．D．
【對點訓(xùn)練6】（2023·遼寧大連·高二育明高中校考階段練習(xí)）代數(shù)式的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【對點訓(xùn)練7】（2023·北京·高二北京工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微.”事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點與點的距離.結(jié)合上述觀點，可得的最小值為（ ）
A．B．C．D．
題型五：點線距離公式
【例5】（2023·高二課時練習(xí)）坐標原點到直線的距離是（ ）
A．10B．C．D．2
【對點訓(xùn)練8】（2023·貴州黔東南·高二校考階段練習(xí)）點在直線上，為原點，則的最小值是（ ）
A．1B．2C．D．
【對點訓(xùn)練9】（2023·福建泉州·高二?？茧A段練習(xí)）已知，則的最小值是（ ）
A．2B．C．D．
【對點訓(xùn)練10】（2023·河南濮陽·高二?？茧A段練習(xí)）若點到直線的距離為（ ）
A．2B．3C．D．4
題型六：面積問題
【例6】（2023·四川遂寧·高二遂寧中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，，的平分線所在的直線方程為，則的面積為___________.
【對點訓(xùn)練11】（2023·高二課時練習(xí)）若過點作四條直線構(gòu)成一個正方形，則該正方形的面積可以為______．（寫出符合條件的一個答案即可）
【對點訓(xùn)練12】（2023·廣西梧州·高二?？奸_學(xué)考試）已知的三個頂點是，則的面積為________．
題型七：由點線距離求參數(shù)
【例7】（2023·高二課時練習(xí)）已知到直線的距離等于4，則a的值為__________．
【對點訓(xùn)練13】（2023·高二?？颊n時練習(xí)）若點A在直線上，且點A到直線的距離為，則點A的坐標為________________.
【對點訓(xùn)練14】（2023·河北邢臺·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知點和點到直線的距離相等，則___________.
題型八：點關(guān)于直線對稱
【例8】（2023·高二課時練習(xí)）將一張坐標紙折疊一次，使點與點重合，則與點重合的點的坐標是__________．
【對點訓(xùn)練15】（2023·山東淄博·高二統(tǒng)考期末）直線恒過定點，則點關(guān)于直線對稱的點N坐標為_________．
【對點訓(xùn)練16】（2023·重慶九龍坡·高二重慶實驗外國語學(xué)校?？计谀┮阎c與點關(guān)于直線對稱，則的值為__________．
【對點訓(xùn)練17】（2023·北京·高二北師大實驗中學(xué)?？计谥校c關(guān)于直線的對稱點的坐標為______ .
題型九：直線關(guān)于直線對稱
【例9】（2023·高二單元測試）已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對稱直線為，則直線的方程為_______________．
【對點訓(xùn)練18】（2023·高二校考課時練習(xí)）直線關(guān)于直線對稱的直線方程是__.
【對點訓(xùn)練19】（2023·上海寶山·高二上海市吳淞中學(xué)?？计谥校┲本€關(guān)于直線對稱的直線方程為________
題型十：平行線間距離公式
【例10】（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）若兩條平行直線與之間的距離是，則__________．
【對點訓(xùn)練20】（2023·高二課時練習(xí)）已知直線l到兩條平行直線與的距離相等，則直線l的方程為__________．
【對點訓(xùn)練21】（2023·上海靜安·高二上海市回民中學(xué)?？计谥校┲本€與直線間的距離為__________
【對點訓(xùn)練22】（2023·江西撫州·高二統(tǒng)考期末）若直線：與：平行，則與之間的距離為______．
題型十一：直線關(guān)于點對稱
【例11】（2023·高二課時練習(xí)）直線關(guān)于點對稱的直線方程為__________．
【對點訓(xùn)練23】（2023·安徽馬鞍山·高二馬鞍山二中校考期中）與直線關(guān)于點對稱的直線方程是_________.
【對點訓(xùn)練24】（2023·河北石家莊·高二石家莊二中校考階段練習(xí)）與直線關(guān)于點對稱的直線方程是____________．
題型十二：將軍飲馬問題
【例12】（2023·高二課時練習(xí)）已知點A（-3，5）和B（2，15），在直線上找一點P，使最小，并求這個最小值．
【對點訓(xùn)練25】（2023·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線，在上任取一點，在上任取一點，連接，取的靠近點的三等分點，過點作的平行線.
(1)求直線的方程；
(2)已知兩點，若直線上存在點使得最小，求點的坐標.
【對點訓(xùn)練26】（2023·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面上兩點和，在直線上求一點M．
(1)使最大值；
(2)使最?。?br>【對點訓(xùn)練27】（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）直線過點，點到直線的距離為，直線與直線關(guān)于點對稱.
(1)求直線的方程；
(2)記原點為，直線上有一動點，則當最小時，求點的坐標.
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2023·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）已知直線，相互平行，則、之間的距離為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·重慶南岸·高二重慶市第十一中學(xué)校?？计谥校┮阎本€：過定點，則點到直線：距離的最大值是（ ）
A．1B．2C．D．
3．（2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）點(1,1)到直線的距離是（ ）
A．1B．2C．
4．（2023·高二課時練習(xí)）兩條平行直線與間的距離為（ ）
A．B．2C．14D．
5．（2023·高二課時練習(xí)）已知到直線的距離等于3，則a的值為（ ）
A．B．或C．或D．
6．（2023·高二課時練習(xí)）已知點，點B在直線上運動，當線段AB最短時，點B的坐標為（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·高二課時練習(xí)）已知，點C在x軸上，且，則點C的坐標為（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·高二?？颊n時練習(xí)）到兩條直線與的距離相等的點必定滿足方程（ ）.
A．或B．或
C．或D．或
二、多選題
9．（2023·安徽池州·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線，則下列說法正確的是（ ）
A．直線與直線l相互平行B．直線與直線l相互垂直
C．直線與直線l相交D．點到直線l的距離為
10．（2023·浙江·高二校聯(lián)考期中）下列各結(jié)論，正確的是（ ）
A．直線與兩坐標軸交于A，B兩點，則
B．直線與直線之間的距離為
C．直線上的點到原點的距離最小為1
D．點與點到直線的距離相等
11．（2023·山東濟南·高二?？计谥校┮阎?，兩點到直線的距離相等，則實數(shù)的值可能為（ ）
A．B．3C．D．1
12．（2023·江西宜春·高二?？茧A段練習(xí)）下列結(jié)論正確的有（ ）
A．已知點，若直線與線段相交，則的取值范圍是
B．點關(guān)于的對稱點為
C．直線方向向量為，則此直線傾斜角為
D．若直線與直線平行，則或2
三、填空題
13．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）傾斜角為，并且與原點的距離是5的直線方程為_______________．
14．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知定點，若直線上總存在點，滿足條件，則實數(shù)的取值范圍為________．
15．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線和直線分別過定點和，則|________．
16．（2023·四川德陽·高二德陽五中?？茧A段練習(xí)）設(shè)，過定點的動直線與過定點的動直線交于點，則的最大值是______．
四、解答題
17．（2023·上海黃浦·高二上海市大同中學(xué)?？计谥校┮阎娜齻€頂點，，.
(1)求直線的方程；
(2)求的面積.
18．（2023·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）求滿足下列條件的直線的一般式方程：
(1)經(jīng)過直線,的交點P，且經(jīng)過點；
(2)與直線垂直，且點到直線的距離為．
19．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線，且∥．
(1)求的值；
(2)求兩平行線與之間的距離．
20．（2023·高二課時練習(xí)）（1）已知點到直線的距離，求a的值．
（2）在直線求一點P，使它到原點的距離與到直線的距離相等．
21．（2023·高二單元測試）已知△ABC三個頂點的坐標分別為，線段AC的垂直平分線為l.

(1)求直線l的方程;
(2)點P在直線l上運動，當|AP|+|BP|最小時，求點P的坐標.
22．（2023·上海·高二階段練習(xí)）已知直線和點，若正方形的邊在直線上，點為正方形的中心，求直線和的一般式方程.

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