題型一：正態(tài)曲線的圖象的應(yīng)用
題型二：利用正態(tài)分布的對稱性求概率
題型三：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布
【知識點(diǎn)梳理】
1、正態(tài)曲線
正態(tài)曲線沿著橫軸方向水平移動(dòng)只能改變對稱軸的位置，曲線的形狀沒有改變，所得的曲線依然是正態(tài)曲線顯然對于任意，，它的圖象在軸的上方．可以證明軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1．我們稱為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．
若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，記為，特別地，當(dāng)，時(shí)，稱隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．
2、由的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線還有以下特點(diǎn)
（1）曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱；
（2）曲線在處達(dá)到峰值；
（3）當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近軸．
3、正態(tài)分布的期望與方差
若，則，．
4、正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率
（1）；
（2）；
（3）．
在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為原則．
5、當(dāng)或時(shí)，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即．
【典型例題】
題型一：正態(tài)曲線的圖象的應(yīng)用
例1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)的圖像，且，則這個(gè)正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是（ ）．
A．10與8B．10與2C．8與10D．2與10
例2．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量的正態(tài)分布密度函數(shù)為，，則參數(shù)，的值分別是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
例3．（2022·陜西·西安市閻良區(qū)關(guān)山中學(xué)高二階段練習(xí)（理））某市期末教學(xué)質(zhì)量檢測，甲、乙、丙三科考試成績近似服從正態(tài)分布，則由如圖曲線可得下列說法中正確的是（ ）
A．甲學(xué)科總體的均值最小
B．乙學(xué)科總體的方差及均值都居中
C．丙學(xué)科總體的方差最大
D．甲、乙、丙的總體的均值不相同
例4．（2022·江西省信豐中學(xué)高二階段練習(xí)（理））設(shè)，，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．
B．
C．對任意正數(shù)，
D．對任意正數(shù)，
題型二：利用正態(tài)分布的對稱性求概率
例5．（2022·全國·高二單元測試）正態(tài)分布概念是由德國數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家Mivre在1733年首先提出的，由于德國數(shù)學(xué)家高斯率先把其應(yīng)用于天文學(xué)研究，故我們把正態(tài)分布又稱作高斯分布．早期的天文學(xué)家通過長期對某一天體的觀測收集到大量數(shù)據(jù)，對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)變量X近似服從．若，則______．
例6．（2022·河南商丘·高二期末（理））若隨機(jī)變量，且，則________．
例7．（2022·四川·綿陽市開元中學(xué)高二期末（理））已知某中學(xué)高二年級學(xué)生某次考試的數(shù)學(xué)成績（單位：分）服從正態(tài)分布，且，從這些學(xué)生中任選一位，其數(shù)學(xué)成績落在區(qū)間內(nèi)的概率為__________．
題型三：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布
例8．（2022·全國·高二期末）2021年某地在全國志愿服務(wù)信息系統(tǒng)注冊登記志愿者8萬多人，2020年7月份以來，共完成1931個(gè)志愿服務(wù)項(xiàng)目，8900多名志愿者開展志愿服務(wù)活動(dòng)累計(jì)超過150萬小時(shí)，為了了解此地志愿者對志愿服務(wù)的認(rèn)知和參與度，隨機(jī)調(diào)查了500名志愿者每月的志愿服務(wù)時(shí)長（單位：小時(shí)），并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）估計(jì)這500名志愿者每月志愿服務(wù)時(shí)長的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中間值代表）；
（2）由直方圖可以認(rèn)為，目前該地志愿者每月服務(wù)時(shí)長X服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計(jì)算：若，令，則，且．
（i）利用直方圖得到的正態(tài)分布，求；
（ii）從該地隨機(jī)抽取20名志愿者，記Z表示這20名志愿者中每月志愿服務(wù)時(shí)長超過10小時(shí)的人數(shù)，求（結(jié)果精確到0．001），以及Z的數(shù)學(xué)期望（結(jié)果精確到0．01）．
參考數(shù)據(jù)：，，，，．若，則，，．
例9．（2022·全國·模擬預(yù)測）2019年某地區(qū)初中升學(xué)體育考試規(guī)定：考生必須參加長跑、擲實(shí)心球、1分鐘跳繩三項(xiàng)測試．某學(xué)校在九年級上學(xué)期開始，就為掌握全年級學(xué)生1分鐘跳繩情況，抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測試，得到下面的頻率分布直方圖．
（1）規(guī)定學(xué)生1分鐘跳繩個(gè)數(shù)大于等于185為優(yōu)秀．若在抽取的100名學(xué)生中，女生共有50人，男生1分鐘跳繩個(gè)數(shù)大于等于185的有28人．根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)這100名學(xué)生的測試成績，判斷能否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生1分鐘跳繩成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)．
（2）根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校九年級學(xué)生經(jīng)過訓(xùn)練，正式測試時(shí)每人1分鐘跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步．假設(shè)正式測試時(shí)每人1分鐘跳繩個(gè)數(shù)都比九年級上學(xué)期開始時(shí)增加10個(gè)，全年級恰有2000名學(xué)生，若所有學(xué)生的1分鐘跳繩個(gè)數(shù)X服從正態(tài)分布，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)和，各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替，估計(jì)正式測試時(shí)1分鐘跳繩個(gè)數(shù)大于183的人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）．
附：，其中．
若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，．．
例10．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）2020年某地在全國志愿服務(wù)信息系統(tǒng)注冊登記志愿者8萬多人．2019年7月份以來，共完成1931個(gè)志愿服務(wù)項(xiàng)目，8900多名志愿者開展志愿服務(wù)活動(dòng)累計(jì)超過150萬小時(shí)．為了了解此地志愿者對志愿服務(wù)的認(rèn)知和參與度，隨機(jī)調(diào)查了500名志愿者每月的志愿服務(wù)時(shí)長（單位：小時(shí)），并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求這500名志愿者每月志愿服務(wù)時(shí)長的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表）；
（2）由直方圖可以認(rèn)為，目前該地志愿者每月服務(wù)時(shí)長服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計(jì)算：若，令，則，且．
（ⅰ）利用直方圖得到的正態(tài)分布，求；
（ⅱ）從該地隨機(jī)抽取20名志愿者，記表示這20名志愿者中每月志愿服務(wù)時(shí)長超過10小時(shí)的人數(shù)，求（結(jié)果精確到0．001）以及的數(shù)學(xué)期望．
參考數(shù)據(jù)：，．若，則．
【同步練習(xí)】
一、單選題
1．（2022·山東·高二階段練習(xí)）某次數(shù)學(xué)考試成績近似服從正態(tài)分布，若，則可以估計(jì)考試成績大于或等于80分的概率為（ ）
A．0.372B．0.256C．0.128D．0.744
2．（2022·河北省文安縣第一中學(xué)高二期末）隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則下列說法一定正確的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知隨機(jī)變量，且，則（ ）
A．0.6B．0.4C．0.2D．0.9
4．（2022·江蘇省江都中學(xué)高二階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量，且，則（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·陜西·西安中學(xué)模擬預(yù)測（理））下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）
A．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則
B．將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都減去同一個(gè)數(shù)后，方差不變
C．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則
D．若方差，則
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分（曲線C為正態(tài)分布N(0，1)的密度曲線）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為（ ）
附：若，則，
A．2386B．2718C．3413D．4772
7．（2022·湖北·高三階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量，且，則的最小值為（ ）
A．9B．8C．D．6
8．（2022·全國·高三階段練習(xí)（理））已知隨機(jī)變量，令，，則下列等式正確的序號是（ ）
① ②
③ ④
A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③
二、多選題
9．（2022·云南·昆明一中高三階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量，且，則下列說法正確的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知隨機(jī)變量，且，則（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022·廣東·開平市忠源紀(jì)念中學(xué)模擬預(yù)測）某市教育局為了解雙減政策的落實(shí)情況，隨機(jī)在本市內(nèi)抽取了A，B兩所初級中學(xué)，在每一所學(xué)校中各隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，調(diào)查了他們課下做作業(yè)的時(shí)間，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下頻率分布直方圖：
由直方圖判斷，以下說法正確的是（ ）
A．總體看，A校學(xué)生做作業(yè)平均時(shí)長小于B校學(xué)生做作業(yè)平均時(shí)長
B．B校所有學(xué)生做作業(yè)時(shí)長都要大于A校學(xué)生做作業(yè)時(shí)長
C．A校學(xué)生做作業(yè)時(shí)長的中位數(shù)大于B校學(xué)生做作業(yè)的中位數(shù)
D．B校學(xué)生做作業(yè)時(shí)長分布更接近正態(tài)分布
12．（2022·江蘇宿遷·高二期末）已知的正態(tài)密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
13．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測）已知隨機(jī)變量服，且，則__________.
14．（2022·貴州·貴陽一中高三階段練習(xí)（理））若隨機(jī)變量，且，則___________．
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，若為偶函數(shù)，則______．
16．（2022·黑龍江·鐵人中學(xué)高三階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量，，且，，則______.
四、解答題
17．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，求，.
18．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知隨機(jī)變量，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，求：
(1)；
(2)；
(3).
19．（2022·全國·課時(shí)練習(xí)）設(shè)服從，求下列各值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知某高校共有10000名學(xué)生，其圖書館閱覽室共有994個(gè)座位，假設(shè)學(xué)生是否去自習(xí)是相互獨(dú)立的，且每個(gè)學(xué)生在每天的晚自習(xí)時(shí)間去閱覽室自習(xí)的概率均為0.1．
（1）將每天的晚自習(xí)時(shí)間去閱覽室自習(xí)的學(xué)生人數(shù)記為，求的期望和方差；
（2）18世紀(jì)30年代，數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，當(dāng)比較大時(shí)，二項(xiàng)分布可視為正態(tài)分布．此外，如果隨機(jī)變量，令，則．當(dāng)時(shí)，對于任意實(shí)數(shù)，記．已知下表為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表（節(jié)選），該表用于查詢標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布對應(yīng)的概率值．例如當(dāng)時(shí)，由于，則先在表的最左列找到數(shù)字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到數(shù)字0.06（位于第八列），則表中位于第三行第八列的數(shù)字0.5636便是的值．
①求在晚自習(xí)時(shí)間閱覽室座位不夠用的概率；
②若要使在晚自習(xí)時(shí)間閱覽室座位夠用的概率高于0.7，則至少需要添加多少個(gè)座位？
21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）2020年某地在全國志愿服務(wù)信息系統(tǒng)注冊登記志愿者8萬多人．2019年7月份以來，共完成1931個(gè)志愿服務(wù)項(xiàng)目，8900多名志愿者開展志愿服務(wù)活動(dòng)累計(jì)超過150萬小時(shí)．為了了解此地志愿者對志愿服務(wù)的認(rèn)知和參與度，隨機(jī)調(diào)查了500名志愿者每月的志愿服務(wù)時(shí)長（單位：小時(shí)），并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求這500名志愿者每月志愿服務(wù)時(shí)長的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表）；
（2）由直方圖可以認(rèn)為，目前該地志愿者每月服務(wù)時(shí)長服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．一般正態(tài)分布的概率都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率進(jìn)行計(jì)算：若，令，則，且．
（?。├弥狈綀D得到的正態(tài)分布，求；
（ⅱ）從該地隨機(jī)抽取20名志愿者，記表示這20名志愿者中每月志愿服務(wù)時(shí)長超過10小時(shí)的人數(shù)，求（結(jié)果精確到0.001）以及的數(shù)學(xué)期望．
參考數(shù)據(jù)：，．若，則．
22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定：年高考總成績由語文、數(shù)學(xué)、外語三門統(tǒng)考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物六門選考科目組成，將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為、、、、、、、共8個(gè)等級，參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為、、、、、、、，選擇科目成績計(jì)入考生總成績時(shí)，將至等級內(nèi)的考生原始成績，依照（、分別為正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差）分別轉(zhuǎn)換到、、、、、、、八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級成績．如果山東省年某次學(xué)業(yè)水平模擬考試物理科目的原始成績，．
(1)若規(guī)定等級、、、、、為合格，、為不合格，需要補(bǔ)考，估計(jì)這次學(xué)業(yè)水平模擬考試物理合格線的最低原始分是多少；
(2)現(xiàn)隨機(jī)抽取了該省名參加此次物理學(xué)科學(xué)業(yè)水平測試的原始分，若這些學(xué)生的原始分相互獨(dú)立，記為被抽到的原始分不低于分的學(xué)生人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望和方差．
附：當(dāng)時(shí)，，．
0．15
0．10
0．05
0．025
0．010
0．005
0．001
2．072
2．706
3．841
5．024
6．635
7．879
10．828
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.0
0.5000
0.5040
0.5080
0.5120
0.5160
0.5199
0.5239
0.5279
0.5319
0.5359
0.1
0.5398
0.5438
0.5478
0.5517
0.5557
0.5596
0.5636
0.5675
0.5714
0.5753
0.2
0.5793
0.5832
0.5871
0.5910
0.5948
0.5987
0.6026
0.6064
0.6103
0.6141
0.3
0.6179
0.6217
0.6255
0.6293
0.6331
0.6368
0.6404
0.6443
0.6480
0.6517
0.4
0.6554
0.6591
0.6628
0.6664
0.6700
0.6736
0.6772
0.6808，
0.6844
0.6879
0.5
0.6915
0.6950
0.6985
0.7019
0.7054
0.7088
0.7123
0.7157'
0.7190
0.7224

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（蘇教版）高二數(shù)學(xué)寒假講義第01講 圓錐曲線經(jīng)典題型全歸納（2份，原卷版+解析版）

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