題型一：分類加法計數(shù)原理
題型二：分步乘法計數(shù)原理
題型三：兩個原理的對比應(yīng)用
題型四：涂色問題
題型五：數(shù)字排位問題
題型六：占位模型中標(biāo)準(zhǔn)的選擇
題型七：列舉法
【知識點梳理】
知識點一：分類加法計數(shù)原理（也稱加法原理）
1、分類加法計數(shù)原理：
完成一件事，有類辦法．在第1類辦法中有種不同方法，在第2類辦法中有種不同的方法，……，在第類辦法中有種不同方法，那么完成這件事共有種不同的方法．
2、加法原理的特點是：
① 完成一件事有若干不同方法，這些方法可以分成n類；
② 用每一類中的每一種方法都可以完成這件事；
③ 把每一類的方法數(shù)相加，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．
知識點詮釋：
使用分類加法計數(shù)原理計算完成某件事的方法數(shù)，第一步是對這件事確定一個標(biāo)準(zhǔn)進行分類，第二步是確定各類的方法數(shù)，第三步是取和．
知識點二、分步乘法計數(shù)原理
1、分步乘法計數(shù)原理
“做一件事，完成它需要分成n個步驟”，就是說完成這件事的任何一種方法，都要分成n個步驟，要完成這件事必須并且只需連續(xù)完成這n個步驟后，這件事才算完成．
2、乘法原理的特點：
① 完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可；
② 完成每一步有若干種方法；
③ 把每一步的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．
知識點詮釋：
使用分步乘法計數(shù)原理計算完成某件事的方法數(shù)，第一步是對完成這件事進行分步，第二步是確定各步的方法數(shù)，第三步是求積．
知識點三、分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的區(qū)別：
1、分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的區(qū)別：
兩個原理的區(qū)別在于一個和分類有關(guān)，一個和分步有關(guān)．
完成一件事的方法種數(shù)若需“分類”思考，則這n類辦法是相互獨立的，且無論哪一類辦法中的哪一種方法都能單獨完成這件事，則用加法原理；
若完成某件事需分n個步驟，這n個步驟相互依存，具有連續(xù)性，當(dāng)且僅當(dāng)這n個步驟依次都完成后，這件事才算完成，則完成這件事的方法的種數(shù)需用乘法原理計算．
知識點四、分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的應(yīng)用
1、利用兩個基本原理解決具體問題時的思考程序：
（1）首先明確要完成的事件是什么，條件有哪些？
（2）然后考慮如何完成？主要有三種類型
①分類或分步．
②先分類，再在每一類里再分步．
③先分步，再在每一步里再分類，等等．
（3）最后考慮每一類或每一步的不同方法數(shù)是多少？
【典型例題】
題型一：分類加法計數(shù)原理
例1．（2022·江蘇·高二階段練習(xí)）某高中為高一學(xué)生提供四門課外選修課：數(shù)學(xué)史?物理模型化思維?英語經(jīng)典閱讀?《紅樓夢》人物角色分析.要求每個學(xué)生選且只能選一門課程.若甲只選英語經(jīng)典閱讀，乙只選數(shù)學(xué)史或物理模型化思維，學(xué)生丙?丁任意選，這四名學(xué)生選擇后，恰好選了其中三門課程，則他們選課方式的可能情況有___________種.
例2．（2022·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高二期中）已知a，b∈{0，1，2，…，9}，若滿足|a－b|≤1，則稱a，b“心有靈犀”．則a，b“心有靈犀”的情形共有_______．
例3．（2022·安徽·銅陵市實驗高級中學(xué)高二階段練習(xí)）從名女同學(xué)和名男同學(xué)中，選出人主持某次主題班會，不同的選法種數(shù)為______．
題型二：分步乘法計數(shù)原理
例4．（2022·山東聊城一中高二期中）全國中學(xué)生學(xué)科競賽包含數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、信息5個學(xué)科，4名同學(xué)欲報名參賽，每人必選且只能選擇1個學(xué)科參加競賽，則不同的報名方法種數(shù)是_______________．
例5．（2022·吉林·四平市第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)）某學(xué)校舉行校慶文藝晚會，已知節(jié)目單中共有七個節(jié)目，為了活躍現(xiàn)場氣氛，主辦方特地邀請了三位老校友演唱經(jīng)典歌曲，并要將這三個不同節(jié)目添入節(jié)目單，而不改變原來的節(jié)目順序，則不同的安排方式有________種．
例6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若，則符合條件的二次函數(shù)的解析式有______個．
題型三：兩個原理的對比應(yīng)用
例7．（2022·全國·高二課時練習(xí)）某校準(zhǔn)備召開高中畢業(yè)生代表會，把6個代表名額分配給高三年級的3個班，每班至少一個名額，不同的分配方案共有______種．
例8．（2022·全國·高二課時練習(xí)）王華同學(xué)有課外參考書若干本，其中有5本不同的外語書，4本不同的數(shù)學(xué)書，3本不同的物理書，他欲帶參考書到圖書館閱讀.
（1）若他從這些參考書中帶1本去圖書館，則有________種不同的帶法；
（2）若帶外語、數(shù)學(xué)、物理參考書各1本，則有________種不同的帶法；
（3）若從這些參考書中選2本不同學(xué)科的參考書帶到圖書館，則有________種不同的帶法.
例9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）古人用天干、地支來表示年、月、日、時的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成________組．
題型四：涂色問題
例10．（2022·遼寧·沈陽二中高二期中）如圖所示的五個區(qū)城中，現(xiàn)要求在五個區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇，要求每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)城所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為________（用數(shù)字作答）．
例11．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，對“田”字型的四個格子進行染色.每個格子均可從紅、黃、藍三種顏色中選一種，每個格子只染一種顏色，且相鄰的格子不能都染紅色，則滿足要求的染色方法有_________種.
例12．（2022·全國·高二課時練習(xí)）作家馬伯庸小說《長安十二時辰》中，靖安司通過長安城內(nèi)的望樓傳遞信息.同名改編電視劇中，望樓傳遞信息的方式有一種如下：如圖所示，在九宮格中，每個小方格可以在白色和紫色（此處以陰影代表紫色）之間變換，從而一共可以有512種不同的顏色組合，即代表512種不同的信息.現(xiàn)要求每一行、每一列上都有且只有1個紫色小方格（如圖所示即滿足要求）.則一共可以傳遞______種信息.（用數(shù)字作答）
例13．（2022·全國·高二課時練習(xí)）某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分，如圖所示．現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有（ ）．
A．80種B．120種C．160種D．240種
題型五：數(shù)字排位問題
例14．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如果一個三位正整數(shù)如“”滿足且，則稱這個三位數(shù)為“凸數(shù)”（如120，343，275等），那么所有三位數(shù)中“凸數(shù)”的個數(shù)為______．
例15．（2022·全國·高二課時練習(xí)）由0、1、2、3、4、5這6個數(shù)字可以組成______個沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù).
題型六：占位模型中標(biāo)準(zhǔn)的選擇
例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）有六名同學(xué)報名參加三個智力項目，每項必報且限報一人，且每人至多參加一項，則共有________種不同的報名方法．
例17．（2022·北京市景山學(xué)校通州校區(qū)高二期中）5位同學(xué)報名參加兩個課外活動小組，每位同學(xué)限報其中一個小組，則不同的報名方法有_______種.（用具體數(shù)字作答）
例18．（2022·重慶市合川實驗中學(xué)高二期中（理））加工某個零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，從中選3人每人做一道工序，則選法有______種.
題型七：列舉法
例19．（2022·全國·高二課時練習(xí)）我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”（如2130是“六合數(shù)”），則其中首位為2的“六合數(shù)”共有（ ）．
A．18個B．15個C．12個D．9個
例20．（2022·全國·高二單元測試）若一個、均為非負(fù)整數(shù)的有序數(shù)對，在做的加法時，各位均不進位，則稱為“簡單的有序?qū)崝?shù)對”，稱為有序?qū)崝?shù)對之值，則值為2004的“簡單的有序?qū)崝?shù)對”的個數(shù)是（ ）．
A．10B．15C．20D．25
【同步練習(xí)】
一、單選題
1．（2022·遼寧·大連佰圣高級中學(xué)有限公司高二期中）某學(xué)校開設(shè)4門球類運動課程、5門田徑類運動課程和2門水上運動課程供學(xué)生學(xué)習(xí)，某位學(xué)生任選1門課程學(xué)習(xí)，則不同的選法共有（ ）
A．40種B．20種C．15種D．11種
2．（2022·廣東廣州·高二期末）用1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，這樣的兩位數(shù)個數(shù)為（ ）
A．6B．12C．16D．24
3．（2022·廣東廣州·高二期末）3名同學(xué)報名參加足球隊、籃球隊，每名同學(xué)限報其中的一個運動隊，則不同的報名方法的種數(shù)是（ ）
A．8B．6C．5D．9
4．（2022·北京東城·高二期末）算盤是中國古代的一項重要發(fā)明，迄今已有2600多年的歷史.現(xiàn)有一算盤，取其兩檔（如圖一），自右向左分別表示十進制數(shù)的個位和十位，中間一道橫梁把算珠分為上下兩部分，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5，梁下四珠，上撥一珠記作數(shù)字1（如圖二算盤表示整數(shù)51）.若撥動圖1的兩枚算珠，則可以表示不同整數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．6B．8C．10D．15
5．（2022·上海市川沙中學(xué)高二期末）若展開，則展開式中的系數(shù)等于（ ）
A．在1，2，3，4，5中所有任取兩個不同的數(shù)的乘積之和；
B．在1，2，3，4，5中所有任取三個不同的數(shù)的乘積之和；
C．在1，2，3，4，5中所有任取兩個不同的數(shù)的求和之積；
D．在1，2，3，4，5中所有任取三個不同的數(shù)的求和之積；
6．（2022·湖北武漢·高二期末）甲?乙?丙?丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓?東湖?漢口江灘游玩，每人只能去一個地方，漢口江灘一定要有人去，則不同游覽方案的種數(shù)為（ ）
A．65B．73C．70D．60.
7．（2022·福建省德化第一中學(xué)高二階段練習(xí)）重慶九宮格火鍋，是重慶火鍋獨特的烹飪方式.九宮格下面是相通的，實現(xiàn)了“底同火不同，湯通油不通”它把火鍋分為三個層次，不同的格子代表不同的溫度和不同的牛油濃度，其鍋具抽象成數(shù)學(xué)形狀如圖（同一類格子形狀相同）：
“中間格”火力旺盛，不宜久煮，適合放一些質(zhì)地嫩脆、頃刻即熟的食物；
“十字格”火力稍弱，但火力均勻，適合煮食，長時間加熱以鎖住食材原香；
“四角格”屬文火，火力溫和，適合燜菜，讓食物軟糯入味.
現(xiàn)有6種不同食物（足夠量），其中1種適合放入中間格，3種適合放入十字格，2種適合放入四角格.現(xiàn)將九宮格全部放入食物，且每格只放一種，若同時可以吃到這六種食物（不考慮位置），則有多少種不同放法（ ）
A．36B．18C．9D．6
8．（2022·山東濰坊·高二階段練習(xí)）如圖所示，若從正六邊形的六個頂點中任取三個頂點構(gòu)成一個三角形，則直角三角形的個數(shù)為（ ）
A．6個B．8個C．12個D．16個
二、多選題
9．（2022·全國·高二專題練習(xí)）我國古代的《易經(jīng)》與“二進制”有著一定的聯(lián)系，該書中有兩類最基本的符號：“——”和“— —”，其中“——”在二進制中記作“1”，“— —”在二進制中記作“0”，其轉(zhuǎn)化原理與“逢二進一”的法則相通，如符號“
”對應(yīng)的二進制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)的計算為．若從兩類符號中任取2個符號排列，則組成的十進制數(shù)可以為（ ）
A．1B．2C．4D．6
10．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）有4位同學(xué)報名參加三個不同的社團，則下列說法正確的是（ ）
A．每位同學(xué)限報其中一個社團，則不同的報名方法共有種
B．每位同學(xué)限報其中一個社團，則不同的報名方法共有種
C．每個社團限報一個人，則不同的報名方法共有24種
D．每個社團限報一個人，則不同的報名方法共有種
三、填空題
11．（2022·遼寧·大連佰圣高級中學(xué)有限公司高二期中）如圖，提供4種不同的顏色給圖中，，，四塊區(qū)域涂色，若相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有___________種．
12．（2022·浙江·杭州四中高二期中）如圖所示，玩具計數(shù)算盤的三檔上各有7個算珠，現(xiàn)將每檔算珠分為左右兩部分，左側(cè)的每個算珠表示數(shù)2，右側(cè)的每個算珠表示數(shù)1（允許一側(cè)無珠），記上、中、下三檔的數(shù)字和分別為.若成等差數(shù)列，則不同的分珠計數(shù)法有________種.
13．（2022·全國·高二課時練習(xí)）三個人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有______種．
14．（2022·全國·高二課時練習(xí)）將4封信投入3個不同的信箱，不同的投信方法有______種.
15．（2022·全國·高二課時練習(xí)）從地到地要經(jīng)過地，已知從地到地有三條路，從地到地有四條路，則從地到地不同的走法有______種．
四、解答題
16．（2022·全國·高二課時練習(xí)）相鄰的個車位中停放了輛不同的車，現(xiàn)將所有車開出后再重新停入這個車位中．
(1)若要求有輛車不得停在原來的車位中，有多少種不同的停法？
(2)若要求所有車都不得停在原來的車位中，有多少種不同的停法？
17．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，從左到右共有5個空格．
(1)向5個空格中分別放入0，1，2，3，4這5個數(shù)字，一共可組成多少個不同的五位數(shù)的奇數(shù)？
(2)用紅、黃、藍這3種顏色給5個空格涂色，要求相鄰空格用不同的顏色涂色，一共有多少種涂色方案？
18．（2022·河北·石家莊市第十五中學(xué)高二期中）用0，1，2，3，…，9十個數(shù)字可組成多少個不同的
(1)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？
(2)小于500且沒有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)？
19．（2022·黑龍江·哈爾濱德強學(xué)校高二期中）書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放2本不同的體育書.
(1)從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？
(2)從書架上任取兩本不同學(xué)科的書，有多少種不同的取法？
20．（2022·全國·高二專題練習(xí)）按序給出，兩類元素，類中的元素排序為甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，類中的元素排序為子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．在，兩類中各取1個元素組成1個排列，求類中選取的元素排在首位，類中選取的元素排在末位的排列的個數(shù)．類的10個元素叫作天干，類的12個元素叫作地支．兩者按固定順序相配，形成古代紀(jì)年歷法，求天干各地支相配可形成的紀(jì)年歷法可以表示多少年.
21．（2022·全國·高二專題練習(xí)）書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.
(1)從書架上任取1本書，有多少種不同取法？
(2)從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有多少種不同取法？
22．（2022·全國·高二課時練習(xí)）用4種不同顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，共有多少種不同的涂法？

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