題型一：用2×2列聯(lián)表分析兩分類變量間的關(guān)系
題型二：用等高堆積條形圖分析兩分類變量間的關(guān)系
題型三：有關(guān)“相關(guān)的檢驗(yàn)”
題型四：有關(guān)“無關(guān)的檢驗(yàn)”
題型五：獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
1、分類變量
這里所說的變量和值不一定是具體的數(shù)值，例如：性別變量，其取值為男和女兩種
我們經(jīng)常會(huì)使用一種特殊的隨機(jī)變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機(jī)變量稱為分類變量，分類變量的取值可以用實(shí)數(shù)表示．
2、2×2列聯(lián)表
在實(shí)踐中，由于保存原始數(shù)據(jù)的成本較高，人們經(jīng)常按研究問題的需要，將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計(jì)，并做成表格加以保存，我們將這類數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表稱為2×2列聯(lián)表，2×2列聯(lián)表給出了成對(duì)分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù)．
一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為
3、等高堆積條形圖
等高條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征，依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以推斷結(jié)果．
4、臨界值
χ2 統(tǒng)計(jì)量也可以用來作相關(guān)性的度量．χ2 越小說明變量之間越獨(dú)立，χ2越大說明變量之間越相關(guān)
χ2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).忽略χ2的實(shí)際分布與該近似分布的誤差后，對(duì)于任何小概率值α，可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)xα，使得P(χ2≥xα)＝α成立．我們稱xα為α的臨界值，這個(gè)臨界值就可作為判斷χ2大小的標(biāo)準(zhǔn)．
5、獨(dú)立性檢驗(yàn)
基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則是：
當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α；
當(dāng)χ2＜xα?xí)r，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立 ，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立．
這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn)(test f independence)．
下表給出了χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值
6、應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問題的大致步驟
(1)提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨(dú)立，并給出在問題中的解釋；
(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計(jì)算χ2的值，并與臨界值xα比較；
(3)根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論；
(4)在X和Y不獨(dú)立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律．
【典型例題】
題型一：用2×2列聯(lián)表分析兩分類變量間的關(guān)系
例1．（2022·全國·高二單元測(cè)試）假設(shè)有兩個(gè)分類變量與的列聯(lián)表如下表：
對(duì)于以下數(shù)據(jù)，對(duì)同一樣本能說明與有關(guān)系的可能性最大的一組為（ ）
A．，，，B．，，，
C．，，，D．，，，
例2．（2022·福建·廈門雙十中學(xué)高二階段練習(xí)（理））在一次獨(dú)立性檢驗(yàn)中，得出列聯(lián)表如圖：且最后發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)分類變量A和B沒有任何關(guān)系，則a的可能值是（ ）
A．200B．720C．100D．180
題型二：用等高堆積條形圖分析兩分類變量間的關(guān)系
例3．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）下面的等高條形圖可以說明的問題是（ ）
A．“心臟搭橋”手術(shù)和“血管清障”手術(shù)對(duì)“誘發(fā)心臟病”的影響是絕對(duì)不同的
B．“心臟搭橋”手術(shù)和“血管清障”手術(shù)對(duì)“誘發(fā)心臟病”的影響沒有什么不同
C．此等高條形圖看不出兩種手術(shù)有什么不同的地方
D．“心臟搭橋”手術(shù)和“血管清障”手術(shù)對(duì)“誘發(fā)心臟病”的影響在某種程度上是不同的，但是沒有的把握
例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）觀察下列各圖，其中兩個(gè)分類變量x，y之間關(guān)系最強(qiáng)的是（ ）
A．B．
C．D．
題型三：有關(guān)“相關(guān)的檢驗(yàn)”
例5．（2022·全國·高二）微信和是中國最受歡迎的兩個(gè)即時(shí)通訊軟件，作為具有同樣功能的軟件，二者的業(yè)務(wù)不可避免地重疊，但是從大眾分析調(diào)查來看，二者的受眾人群有著一些小區(qū)別.某機(jī)構(gòu)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法調(diào)查了100位社區(qū)網(wǎng)絡(luò)員手機(jī)即時(shí)通訊軟件的使用情況，結(jié)果如下表，
附：，
則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“使用即時(shí)通訊工具與年齡有關(guān)”
B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“使用即時(shí)通訊工具與年齡無關(guān)”
C．有99%以上的把握認(rèn)為“使用即時(shí)通訊工具與年齡有關(guān)”
D．有99%以上的把握認(rèn)為“使用即時(shí)通訊工具與年齡無關(guān)”
例6．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）某視頻上傳者為確定下一段時(shí)間的視頻制作方向，在動(dòng)態(tài)中發(fā)布投票，投票主題為“你希望我接下來更新哪個(gè)方向的視頻”，共計(jì)人參與此投票，投票結(jié)果如下圖所示（每位關(guān)注者僅選一項(xiàng)）．
其中，投票游戲、動(dòng)漫、生活的關(guān)注者之比為．
(1)求參與投票的關(guān)注者的性別比；
(2)以游戲與生活兩個(gè)方向?yàn)槔?，依?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷性別與關(guān)注者喜歡視頻上傳者上傳視頻的類型是否有關(guān)．
注：；臨界值，．
題型四：有關(guān)“無關(guān)的檢驗(yàn)”
例7．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）某工廠冶煉某種金屬可以用舊設(shè)備和改造后的新設(shè)備，為了檢驗(yàn)用這兩種設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品中所含雜質(zhì)的關(guān)系，該工廠進(jìn)行了一項(xiàng)調(diào)查，結(jié)果如下表所示：
試根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷含雜質(zhì)的高低與設(shè)備改造有無關(guān)系．
例8．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）某企業(yè)人力資源部為了研究企業(yè)員工工作積極性和對(duì)待企業(yè)改革態(tài)度的關(guān)系，隨機(jī)抽取了72名員工進(jìn)行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表所示：
對(duì)于人力資源部研究的問題，根據(jù)上述數(shù)據(jù)你能得出什么結(jié)論?
題型五：獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用
例9．（2022·河北·高三期中）為調(diào)查某社區(qū)居民進(jìn)行核酸檢測(cè)的地點(diǎn)，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)80人，得到下面的數(shù)據(jù)表：
單位：人
(1)根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“居民的核酸檢測(cè)地點(diǎn)與性別有關(guān)系”？
(2)將此樣本的頻率估計(jì)為總體的概率，在該社區(qū)的所有男性中隨機(jī)調(diào)查3人，設(shè)調(diào)查的3人以社區(qū)為核酸檢測(cè)地點(diǎn)的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的數(shù)學(xué)期望和方差.
例10．（2022·湖南·雅禮中學(xué)高三階段練習(xí)）某城市為了了解高中生的身高情況，從某次全市高中生體檢中抽取了一所學(xué)校的n名學(xué)生的身高數(shù)據(jù)，整理分組成區(qū)間，單位：厘米，并畫出了頻率分布直方圖如右，已知從左到右前三個(gè)小組頻率之比為2：3：4，其中第二小組有15人.
(1)求樣本頻數(shù)n的值；
(2)以此校的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)全市的總體數(shù)據(jù)，若從全市所有高中學(xué)生（人數(shù)很多）中任選三人，設(shè)表示身高超過160厘米的學(xué)生人數(shù)，求的分布列及期望；
(3)某班主任對(duì)全班50名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量多少的調(diào)查.數(shù)據(jù)如下表：
試通過計(jì)算說明在犯錯(cuò)誤的概率不超過多少的前提下認(rèn)為喜歡玩游戲與作業(yè)量的多少有關(guān)系.
附：
例11．（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)）研究表明，季節(jié)變化引起的光照強(qiáng)度會(huì)影響人群的情緒，其主要原因是光照可以控制褪黑素的分泌，干擾正常的生物節(jié)律，進(jìn)而間接參與情緒的調(diào)節(jié)，為了探究光照強(qiáng)度是否也會(huì)影響其它動(dòng)物褪黑索的分泌，科研人員將200只小白鼠置于光照條件下，控制光照時(shí)長(zhǎng)，將光照時(shí)長(zhǎng)按，，，，，分組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，共有130只小白鼠褪黑素分泌正常，其中光照時(shí)長(zhǎng)不小于8小時(shí)的有90只褪黑素分泌正常．
(1)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為褪黑素分泌與光照時(shí)長(zhǎng)不小于8小時(shí)有關(guān)聯(lián)？（單位：只）
(2)以樣本中的頻率估計(jì)概率，計(jì)算光照小于8小時(shí)的條件下，小白鼠褪黑素分泌不正常的概率．
參考公式：（其中為樣本容量）．
參考數(shù)據(jù)：
【同步練習(xí)】
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）通過隨機(jī)詢問相同數(shù)量的不同性別大學(xué)生在購買食物時(shí)是否看營(yíng)養(yǎng)說明，得知有的男大學(xué)生“不看”，有的女大學(xué)生“不看”，若有99%的把握認(rèn)為性別與是否看營(yíng)養(yǎng)說明之間有關(guān)，則調(diào)查的總?cè)藬?shù)可能為（ ）
A．150B．170C．240D．175
2．（2022·北京朝陽·高二期末）為了了解居家學(xué)習(xí)期間性別因素是否對(duì)學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，某校隨機(jī)抽取了40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，按照性別和體育鍛煉情況整理出如下的列聯(lián)表：
注：獨(dú)立性檢驗(yàn)中，．
常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值如下表：
根據(jù)這些數(shù)據(jù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響；
②依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性沒有影響；
③根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，這個(gè)推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05；
④根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，因此可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性沒有影響．
其中，正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）A．①③B．①④C．②③D．②④
3．（2022·重慶·四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校高二階段練習(xí)）在一次聯(lián)考后，某校對(duì)甲、乙兩個(gè)文科班的數(shù)學(xué)考試成績(jī)進(jìn)行分析，規(guī)定：大于或等于120分為優(yōu)秀，120分以下為非優(yōu)秀，統(tǒng)計(jì)成績(jī)后，得到如下2×2列聯(lián)表：
附：，其中.
根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為數(shù)學(xué)考試成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系的把握為（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·福建·廈門外國語學(xué)校高二期末）2020年2月，全國掀起了“停課不停學(xué)”的熱潮，各地教師通過網(wǎng)絡(luò)直播?微課推送等多種方式來指導(dǎo)學(xué)生線上學(xué)習(xí).為了調(diào)查學(xué)生對(duì)網(wǎng)絡(luò)課程的熱愛程度，研究人員隨機(jī)調(diào)查了相同數(shù)量的男?女學(xué)生，發(fā)現(xiàn)有80%的男生喜歡網(wǎng)絡(luò)課程，有40%的女生不喜歡網(wǎng)絡(luò)課程，且有99%的把握但沒有99.9%的把握認(rèn)為是否喜歡網(wǎng)絡(luò)課程與性別有關(guān)，則被調(diào)查的男?女學(xué)生總數(shù)量可能為（ ）
附：，其中.
A．130B．190C．240D．250
5．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）某機(jī)構(gòu)為研究中老年人堅(jiān)持鍛煉與患糖尿病、高血壓、冠心病、關(guān)節(jié)炎四種慢性疾病之間的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查部分中老年人，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表至表，則這四種慢性疾病可以通過堅(jiān)持鍛煉來預(yù)防的可能性最大的是（ ）
A．糖尿病B．高血壓C．冠心病D．患關(guān)節(jié)炎
6．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）新型冠狀病毒（2019-NCV）因2019年武漢病毒性肺炎病例而被發(fā)現(xiàn)，2020年1月12日被世界衛(wèi)生組織命名，為考察某種藥物預(yù)防該疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表：
下列說法正確的是（ ）
參考數(shù)據(jù)：，
A．有95%的把握認(rèn)為藥物有效
B．有95%的把握認(rèn)為藥物無效
C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為藥物無效
D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為藥物有效
7．（2022·全國·高二單元測(cè)試）某大學(xué)為了解喜歡看籃球賽是否與性別有關(guān)，隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生，在被調(diào)查的學(xué)生中，男生人數(shù)是女生人數(shù)的2倍，男生喜歡看籃球賽的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡看籃球賽的人數(shù)占女生人數(shù)的.若被調(diào)查的男生人數(shù)為，且有95%的把握認(rèn)為喜歡看籃球賽與性別有關(guān)，則的最小值為（ ）
A．6B．12C．18D．36
8．（2019·全國·高二課時(shí)練習(xí)）兩個(gè)分類變量X和Y，值域分別為{x1,x2}和{y1,y2}，其樣本頻數(shù)分別是a＝10，b＝21，c＋d＝35，若X與Y有關(guān)系的可信程度為90%，則c＝( )
A．4B．5
C．6D．7
二、多選題
9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)下新能源汽車備受關(guān)注，某?！熬G源”社團(tuán)對(duì)“學(xué)生性別和喜歡新能源汽車是否有關(guān)”做了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，男生喜歡新能源汽車的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡新能源汽車的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有的把握認(rèn)為是否喜歡新能源汽車和性別有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生有可能的人數(shù)為（ ）
附：A．68B．C．70D．71
10．（2022·浙江浙江·高三期中）為了增強(qiáng)學(xué)生體育鍛煉的積極性，某中學(xué)需要了解性別因素與學(xué)生對(duì)體育鍛煉的喜好是否有影響，為此對(duì)學(xué)生是否喜歡體育鍛煉的情況進(jìn)行普查.得到下表：
附：，．
已知男生喜歡該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的人數(shù)占女生人數(shù)的，則下列說法正確的是（ ）A．列聯(lián)表中的值為，的值為
B．隨機(jī)對(duì)一名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，此學(xué)生有的可能喜歡該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)
C．有的把握認(rèn)為學(xué)生的性別與其對(duì)該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的喜好有關(guān)系
D．沒有的把握認(rèn)為學(xué)生的性別與其對(duì)該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的喜好有關(guān)系
11．（2022·全國·高二單元測(cè)試）某市在對(duì)學(xué)生的綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)中，將其測(cè)評(píng)結(jié)果分為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”三個(gè)等級(jí)，其中不小于80分為“優(yōu)秀”，小于60分為“不合格”，其他為“合格”．該市某校高二年級(jí)有男生500人，女生400人，為了解性別對(duì)該綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)結(jié)果的影響，采用分層隨機(jī)抽樣的方法從高二學(xué)生中抽取了90名學(xué)生的綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)結(jié)果，其各個(gè)等級(jí)的頻數(shù)統(tǒng)計(jì)如表（單位：人）：
根據(jù)表中統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（ ）A．
B．
C．沒有90%的把握判斷綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)結(jié)果為優(yōu)秀與性別有關(guān)
D．有95%的把握判斷綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)結(jié)果為優(yōu)秀與性別有關(guān)
12．（2022·福建省福州格致中學(xué)高三階段練習(xí)）千百年來，我國勞動(dòng)人民在生產(chǎn)實(shí)踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、岸度、顏色等的變化總結(jié)了豐富的“看云識(shí)天氣”的經(jīng)驗(yàn)，并將這些經(jīng)驗(yàn)編成諺語，如“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學(xué)為了驗(yàn)證“日落云里龍，雨在半夜后”，觀察了A地區(qū)的100天日落和夜晚天氣，得到如下列聯(lián)表，并計(jì)算得到，下列小波對(duì)A地區(qū)天氣的判斷正確的是（ ）
單位：天
附：，其中．
A．夜晚下雨的概率約為
B．未出現(xiàn)“日落云里走”，夜晚下雨的概率約為
C．依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“日落云里走”是否出現(xiàn)與夜晚天氣有關(guān)
D．依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，若出現(xiàn)“日落云里走”，則認(rèn)為夜晚一定會(huì)下雨
三、填空題
13．（2021·全國·高二單元測(cè)試）已知x，y的取值如下表所示，由散點(diǎn)圖分析可知y與x線性相關(guān)，且回歸直線方程為，那么表格中的數(shù)據(jù)m的值為______.
14．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）某駕駛員培訓(xùn)學(xué)校為對(duì)比了解“科目二”的培訓(xùn)過程采用大密度集中培訓(xùn)與周末分散培訓(xùn)兩種方式的效果，調(diào)查了105名學(xué)員，統(tǒng)計(jì)結(jié)果為：接受大密度集中培訓(xùn)的55名學(xué)員中有45名學(xué)員一次考試通過，接受周末分散培訓(xùn)的學(xué)員一次考試通過的有30名.根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，認(rèn)為“能否一次考試通過與是否集中培訓(xùn)有關(guān)”犯錯(cuò)誤的概率不超過______.
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）針對(duì)“中學(xué)生追星問題”，某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中女生人數(shù)是男生人數(shù)的，男生追星的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生追星的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有的把握認(rèn)為中學(xué)生追星與性別有關(guān)，則男生至少有__________人.
參考數(shù)據(jù)及公式如下：
，.
16．（2018·黑龍江·海林市朝鮮族中學(xué)高二單元測(cè)試）某中學(xué)為了調(diào)研學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)是否有關(guān)系，隨機(jī)抽取了189名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：在數(shù)學(xué)成績(jī)較好的94名學(xué)生中，有54名學(xué)生的物理成績(jī)較好，有40名學(xué)生的物理成績(jī)較差；在成績(jī)較差的95名學(xué)生中，有32名學(xué)生的物理成績(jī)較好，有63名學(xué)生的物理成績(jī)較差．根據(jù)以上的調(diào)查結(jié)果，利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法可知，約有________的把握認(rèn)為“學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)有關(guān)系”．
四、解答題
17．（2022·江蘇徐州·高三期末）某棉紡廠為了解一批棉花的質(zhì)量，在該批棉花中隨機(jī)抽取了容量為120的樣本，測(cè)量每個(gè)樣本棉花的纖維長(zhǎng)度（單位：mm，纖維長(zhǎng)度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)），所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間內(nèi)，將其按組距為2分組，制作成如圖所示的頻率分布直方圖，其中纖維長(zhǎng)度不小于28mm的棉花為優(yōu)質(zhì)棉.
(1)求頻率分布直方圖中a的值；
(2)已知抽取的容量為120的樣本棉花產(chǎn)自于A，B兩個(gè)試驗(yàn)區(qū)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下2×2列聯(lián)表：
將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)棉與A，B兩個(gè)試驗(yàn)區(qū)有關(guān)系；
(3)若從這批120個(gè)樣本棉花中隨機(jī)抽取3個(gè)，其中有X個(gè)優(yōu)質(zhì)棉，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
注：①獨(dú)立性檢驗(yàn)的臨界值表：
②，其中.
18．（2022·云南·昆明市官渡區(qū)藝卓中學(xué)高三階段練習(xí)）為了響應(yīng)國家精準(zhǔn)扶貧的號(hào)召，特地承包一塊地，土地的使用面積x與管理時(shí)間y的關(guān)系如下．調(diào)查了300名村民參與管理的意愿．如下表
表1
表2
(1)判斷管理時(shí)間y與土地面積x有極強(qiáng)的線性關(guān)系．求出關(guān)于y與x的線性方程．
(2)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析參與管理的性別與參與管理的意愿是否有關(guān)聯(lián)？
(3)利用分層抽樣從愿意參與管理的男女中抽取4人，再從4人中抽取3人．其中3人中參與管理的男性人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
參考公式：，，，
19．（2022·重慶·高三階段練習(xí)）現(xiàn)在養(yǎng)寵物已經(jīng)成為一件再正常不過的事情了，尤其是對(duì)某些人來說，養(yǎng)寵物是他們生活中非常重要的一件事情，他們還將自己的寵物當(dāng)成是家人．某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了100名養(yǎng)寵物的人，對(duì)他們養(yǎng)寵物的原因進(jìn)行了調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，得到如下表數(shù)據(jù)：
(1)根據(jù)表中調(diào)查數(shù)據(jù)，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為是否是因?yàn)橄矚g寵物而養(yǎng)寵物與性別有關(guān)？
(2)若從這100人中，按性別采用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取4人，記抽到的男性人數(shù)為，求的分布列與期望．
參考公式：，其中．
參考數(shù)據(jù)：
20．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）某校課題組選取高一兩個(gè)班級(jí)開展對(duì)“數(shù)學(xué)問題鏈深度設(shè)計(jì)”的研究，其中A班為常規(guī)教學(xué)班，B班為課改研究班.在一次期末考試后，對(duì)A，B兩班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)（單位：分）進(jìn)行分析，滿分150分，規(guī)定：小于120分為不優(yōu)秀，大于或等于120分為優(yōu)秀.已知A，B兩班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)表如下：
A班：
B班：
(1)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否計(jì)數(shù)成績(jī)是否優(yōu)秀與課改研究有關(guān)？
(2)從A，B兩班里成績(jī)?cè)?00分以下的學(xué)生中任意選取2人，記X為2人中B班的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附：，，
21．（2022·上?！げ軛疃懈叨谀┠呈袨檎{(diào)研本市學(xué)生體質(zhì)情況，采用按性別分層抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查，得到體質(zhì)測(cè)試樣本的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（單位：人）如表：
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面列聯(lián)表，并據(jù)此判斷：能否有的把握認(rèn)為該市學(xué)生體質(zhì)測(cè)試是否達(dá)標(biāo)與性別有關(guān).（注：體質(zhì)測(cè)試成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀?良好或及格則體質(zhì)達(dá)標(biāo)，否則不達(dá)標(biāo)）
其中；
(2)體質(zhì)測(cè)試成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀或良好則稱體質(zhì)測(cè)試成績(jī)?yōu)閮?yōu)良，以樣本數(shù)據(jù)中男?女生體質(zhì)測(cè)試成績(jī)優(yōu)良的頻率視為該市男?女生體質(zhì)測(cè)試成績(jī)優(yōu)良的概率，在該市學(xué)生中隨機(jī)選取1名男生，1名女生，設(shè)所選2人中體質(zhì)測(cè)試成績(jī)優(yōu)良人數(shù)為，求的分布列，數(shù)學(xué)期望與方差.
22．（2022·上海市松江二中高二期末）第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)將于2022年2月4日在北京開幕，本次冬季奧運(yùn)會(huì)共設(shè)7個(gè)大項(xiàng)，15個(gè)分項(xiàng)，109個(gè)小項(xiàng)．為調(diào)查學(xué)生對(duì)冬季奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況，某大學(xué)進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，若被調(diào)查的男女生人數(shù)均為，統(tǒng)計(jì)得到以下列聯(lián)表，經(jīng)過計(jì)算可得．
(1)求的值，并判斷有多大的把握認(rèn)為該校學(xué)生對(duì)冬季奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的了解情況與性別有關(guān)；
(2)為弄清學(xué)生不了解冬季奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的原因，采用分層抽樣的方法從抽取的不理解冬季奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目的學(xué)生中隨機(jī)抽取9人，再從這9人中抽取2人進(jìn)行面對(duì)面交流，“至少抽到一名女生”的概率；
附表：
附：．
y1
y2
合計(jì)
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
合計(jì)
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
A
合計(jì)
B
200
800
1000
180
a
180+a
合計(jì)
380
800+a
1180+a
35歲以上
35歲以下
總計(jì)
微信
45
20
65
13
22
35
總計(jì)
58
42
100
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
雜質(zhì)高
雜質(zhì)低
舊設(shè)備
37
121
新設(shè)備
22
202
積極支持企業(yè)改革
不太贊成企業(yè)改革
合計(jì)
工作積極性高
28
8
36
工作積極性一般
16
20
36
合計(jì)
44
28
72
性別
核酸檢測(cè)地點(diǎn)
合計(jì)
工作單位
社區(qū)
男
10
50
60
女
10
10
20
合計(jì)
20
60
80
認(rèn)為作業(yè)多
認(rèn)為作業(yè)不多
合計(jì)
喜歡玩游戲
18
9
27
不喜歡玩游戲
8
15
23
合計(jì)
26
24
50
褪黑素
光照時(shí)間
合計(jì)
小于8小時(shí)
不小于8小時(shí)
分泌正常
分泌不正常
合計(jì)
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性別
鍛煉情況
合計(jì)
不經(jīng)常
經(jīng)常
女生/人
14
7
21
男生/人
8
11
19
合計(jì)/人
22
18
40
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
優(yōu)秀
非優(yōu)秀
合計(jì)
甲班人數(shù)
50
乙班人數(shù)
20
合計(jì)
30
110
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
表
表
患糖尿病
未患糖尿病
堅(jiān)持鍛煉
6
14
不堅(jiān)持鍛煉
7
25
患高血壓
未患高血壓
堅(jiān)持鍛煉
2
18
不堅(jiān)持鍛煉
11
21
表
表
患冠心病
未患冠心病
堅(jiān)持鍛煉
4
16
不堅(jiān)持鍛煉
9
23
患關(guān)節(jié)炎
未患關(guān)節(jié)炎
堅(jiān)持鍛煉
7
13
不堅(jiān)持鍛煉
6
26
患病
未患病
總計(jì)
服用藥
10
45
55
未服藥
20
30
50
總計(jì)
30
75
105
0.05
0.01
3.841
6.635
性別
合計(jì)
男性
女性
喜歡
280
p
280+p
不喜歡
q
120
120+q
合計(jì)
280+q
120+p
400+p+q
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.00l
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
等級(jí)
性別
優(yōu)秀
合格
不合格
男
30
8
女
30
6
夜晚天氣
日落云里走
下雨
未下雨
出現(xiàn)
25
5
未出現(xiàn)
25
45
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
m
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
A試驗(yàn)區(qū)
B試驗(yàn)區(qū)
合計(jì)
優(yōu)質(zhì)棉
10
非優(yōu)質(zhì)棉
30
合計(jì)
120
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
土地使用面積x
1
2
3
4
5
管理時(shí)間y
8
10
13
25
24
性別
參與管理的意愿
合計(jì)
愿意
不愿意
男
150
50
200
女
50
合計(jì)
200
300
0.050
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
喜歡
其他
合計(jì)
男
10
20
30
女
40
30
70
合計(jì)
50
50
100
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
分組
100分以下
頻數(shù)
4
8
10
12
12
4
分組
100分以下
頻數(shù)
6
12
14
10
6
2
A班
B班
總計(jì)
優(yōu)秀
不優(yōu)秀
總計(jì)
α
0.1
0.05
0.025
0.01
2.706
3.841
5.024
6.635
優(yōu)秀
良好
及格
不及格
男生
100
200
780
120
女生
120
200
520
120
達(dá)標(biāo)
不達(dá)標(biāo)
合計(jì)
男生
女生
合計(jì)
男生
女生
合計(jì)
了解
不了解
合計(jì)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
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