題型一：求直線的交點
題型二：由方程組解的個數(shù)判斷直線的位置關系
題型三：由直線交點的個數(shù)求參數(shù)
題型四：由直線交點坐標求參數(shù)
題型五：三線能否圍成三角形問題
題型六：直線交點系方程
【知識點梳理】
知識點一：直線的交點
求兩直線與的交點坐標，只需求兩直線方程聯(lián)立所得方程組的解即可.若有，則方程組有無窮多個解，此時兩直線重合；若有，則方程組無解，此時兩直線平行；若有，則方程組有唯一解，此時兩直線相交，此解即兩直線交點的坐標.
知識點詮釋：
求兩直線的交點坐標實際上就是解方程組，看方程組解的個數(shù).
知識點二：過兩條直線交點的直線系方程
一般地，具有某種共同屬性的一類直線的集合稱為直線系，它的方程叫做直線系方程，直線系方程中除含有以外，還有根據(jù)具體條件取不同值的變量，稱為參變量，簡稱參數(shù)．由于參數(shù)取法不同，從而得到不同的直線系．
過兩直線的交點的直線系方程：經(jīng)過兩直線，交點的直線方程為，其中是待定系數(shù)．在這個方程中，無論取什么實數(shù)，都得不到，因此它不能表示直線．
【典例例題】
題型一：求直線的交點
【例1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線與直線的交點坐標是（ ）
A．(2,0)B．(2,1)
C．(0,2)D．(1,2)
【對點訓練1】（2023·高二課時練習）若點是直線和的公共點，則相異兩點和所確定的直線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【對點訓練2】（2023·天津·高二校聯(lián)考期末）過直線和的交點，且與直線垂直的直線方程是（ ）．
A．B．
C．D．
題型二：由方程組解的個數(shù)判斷直線的位置關系
【例2】（2023·高二單元測試）已知直線，是直線l外一點，那么直線（ ）
A．過點P且與直線l斜交
B．過點P且與直線l重合
C．過點P且與直線l平行
D．過點P且與直線l垂直
【對點訓練3】（2023·高二課時練習）曲線與的交點的情況是（ ）
A．最多有兩個交點B．兩個交點
C．一個交點D．無交點
題型三：由直線交點的個數(shù)求參數(shù)
【例3】（2023·廣東廣州·高二廣州市第一一三中學?？茧A段練習）直線與直線相交，則實數(shù)k的值為（ ）
A．或B．或C．或D．且
【對點訓練4】（2023·江蘇·高二專題練習）若三條直線，與共有兩個交點，則實數(shù)的值為（ ）
A．1B．-2C．1或-2D．-1
【對點訓練5】（2023·江蘇·高二專題練習）已知直線與射線恒有公共點，則m的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
題型四：由直線交點坐標求參數(shù)
【例4】（2023·高二課時練習）兩條直線和的交點在第二象限，則m的取值范圍是（ ）
A．(,)B．(,0)
C．(0,)D．()
【對點訓練6】（2023·高二課時練習）若直線與直線的交點在第四象限，則m的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【對點訓練7】（2023·高二課時練習）若直線與直線的交點位于第一象限，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．或B．C．D．
題型五：三線能否圍成三角形問題
【例5】（2023·高二課時練習）已知直線ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能構成三角形，則a的取值范圍是（ ）
A．a≠B．a≠
C．a≠且a≠D．a≠且a≠1
【對點訓練8】（2023·江蘇徐州·高二?？计谥校┤羧龡l直線不能圍成三角形，則實數(shù)的取值最多有（ ）
A．個B．個
C．個D．個
【對點訓練9】（2023·新疆喀什·高二新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學?？茧A段練習）已知直線l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能圍成三角形，則實數(shù)a的取值不可能為（ ）
A．1B．C．﹣2D．﹣1
題型六：直線交點系方程
【例6】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）設直線經(jīng)過和的交點，且與兩坐標軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為___________.
【對點訓練10】（2023·安徽六安·高二校考期中）已知兩直線和的交點為，則過兩點的直線方程為_________ .
【對點訓練11】（2023·全國·高二專題練習）求過兩條直線與的交點，且分別滿足下列條件的直線方程：
(1)斜率為；
(2)過點；
(3)平行于直線．
【過關測試】
一、單選題
1．（2023·高二課時練習）若直線與直線的交點在第四象限，則m的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·高二課時練習）若直線與互相垂直，垂足為，則的值為（ ）
A．20B．-4C．12D．4
3．（2023·高二課時練習）若直線與直線的交點位于第一象限，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．或B．C．D．
4．（2023·上海徐匯·高二上海中學?？计谥校┻^點作一條直線，它夾在兩條直線：和：之間的線段恰被點平分，則直線的方程為（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·福建福州·高二福建省福州第一中學?？计谀┻^兩直線的交點，且與直線垂直的直線方程為（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·高二課時練習）若直線與直線相交且交點在第二象限內，則k的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·廣西貴港·高二?？茧A段練習）直線恒過定點（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·高二課時練習）使三條直線不能圍成三角形的實數(shù)m的值最多有幾個（ ）
A．3個B．4個C．5個D．6個
二、多選題
9．（2023·河北張家口·高二校聯(lián)考期中）若直線，，不能構成三角形，則m的取值可能為（ ）．
A．B．C．D．
10．（2023·安徽馬鞍山·高二馬鞍山二中?？计谥校┤羧龡l不同的直線：，：，：不能圍成一個三角形，則的取值可能為（ ）
A．－2B．2C．4D．6
11．（2023·河北石家莊·高二石家莊二十三中?？计谀┮阎本€l：，其中，下列說法正確的是（ ）
A．當時，直線l與直線垂直
B．若直線l與直線平行，則
C．直線l過定點
D．當時，直線l在兩坐標軸上的截距相等
12．（2023·廣東廣州·高二?？计谥校┤魞蓷l直線和的交點在第四象限，則k的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
三、填空題
13．（2023·高二課時練習）直線與直線相交，則m的取值范圍為__________．
14．（2023·湖南·高二臨澧縣第一中學校聯(lián)考期中）已知O為坐標原點，直線：與：交于點P，則的值為________．
15．（2023·浙江寧波·高二期末）若三條直線與能圍成一個直角三角形，則__________．
16．（2023·高二課時練習）若三條直線，，不能圍成三角形，則m的值等于______．
四、解答題
17．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）求證：不論為何實數(shù)，直線都恒過一定點．
18．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）求經(jīng)過直線l1：和l2：的交點，且平行于直線l3：的直線l的方程．
19．（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）已知 的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為．
(1)求直線的方程；
(2)求頂點C的坐標.
20．（2023·高二課時練習）在中，邊上的高所在的直線的方程為，角的平分線所在直線的方程為，若點的坐標為.
(1)求點的坐標;
(2)求直線的方程;
(3)求點的坐標.
21．（2023·高二課時練習）已知的頂點，其垂心為，求頂點A的坐標．
22．（2023·福建福州·高二福建省連江第一中學校聯(lián)考期中）已知直線的方程為，若直線在軸上的截距為，且．
(1)求直線和的交點坐標；
(2)已知直線經(jīng)過與的交點，且與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形的面積為，求直線的方程．

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