第07講導數(shù)的概念及其意義-【寒假講義】高二數(shù)學寒假講義練習（新人教A專用）-試卷下載-教習網(wǎng)

【考點目錄】
【知識梳理】
知識點1 瞬時速度
(1)物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度．
(2)一般地，設(shè)物體的運動規(guī)律是s＝s(t)，則物體在t0到t0＋Δt這段時間內(nèi)的平均速度為eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(s?t0＋Δt?－s?t0?,Δt).如果Δt無限趨近于0時，eq \f(Δs,Δt)無限趨近于某個常數(shù)v，我們就說當Δt趨近于0時，eq \f(Δs,Δt)的極限是v，這時v就是物體在時刻t＝t0時的瞬時速度，即瞬時速度v＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(s?t0＋Δt?－s?t0?,Δt).
知識點2 函數(shù)的平均變化率
函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率
(1)定義式：eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f?x2?－f?x1?,x2－x1).
(2)實質(zhì)：函數(shù)值的增量與自變量的增量之比．
(3)作用：刻畫函數(shù)值在區(qū)間[x1，x2]上變化的快慢．
(4)幾何意義：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函數(shù)y＝f(x)的圖象上兩點，則平均變化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f?x2?－f?x1?,x2－x1)表示割線P1P2的斜率．
知識點3 函數(shù)在某點處的導數(shù)
如果當Δx→0時，平均變化率eq \f(Δy,Δx)無限趨近于一個確定的值，即eq \f(Δy,Δx)有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導，并把這個確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)(也稱為瞬時變化率)，記作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx).
知識點4 割線斜率與切線斜率
設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，直線AB是過點A(x0，f(x0))與點B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一條割線，此割線的斜率是eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx).
當點B沿曲線趨近于點A時，割線AB繞點A轉(zhuǎn)動，它的極限位置為直線AD，直線AD叫做此曲線在點A處的切線．于是，當Δx→0時，割線AB的斜率無限趨近于過點A的切線AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx).
知識點5 導數(shù)的幾何意義
函數(shù)y＝f(x)在點x＝x0處的導數(shù)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率．也就是說，曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率是f′(x0)．相應(yīng)地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
知識點6 導函數(shù)的定義
從求函數(shù)f(x)在x＝x0處導數(shù)的過程可以看出，當x＝x0時，f′(x0)是一個唯一確定的數(shù)．這樣，當x變化時，y＝f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f(x)的導函數(shù)(簡稱導數(shù))．y＝f(x)的導函數(shù)記作f′(x)或y′，即f′(x)＝y(tǒng)′＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x＋Δx?－f?x?,Δx).
規(guī)律總結(jié)：
1. (1)用導數(shù)定義求函數(shù)在某一點處的導數(shù)的步驟
①求函數(shù)的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
②求平均變化率eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)；
③求極限eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx).
(2)瞬時變化率的變形形式
eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x0－Δx?－f?x0?,－Δx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x0＋nΔx?－f?x0?,nΔx)
＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0－Δx?,2Δx)
＝f′(x0)．
2.
【考點剖析】
考點一函數(shù)的平均變化率
1．（2023春·陜西延安·高二?？茧A段練習）已知函數(shù)，則該函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)平均變化率的定義直接求解.
【詳解】因為函數(shù)，
所以該函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為
，
故選：A
2．（2023秋·上海黃浦·高二上海市大同中學校考期末）設(shè)函數(shù)，當自變量由1變到1.1時，函數(shù)的平均變化率是___________.
【答案】
【分析】根據(jù)平均變化率的定義直接求解即可.
【詳解】函數(shù)，當自變量由1變到1.1時，函數(shù)的平均變化率為
，
故答案為：.
3．（2023秋·上海浦東新·高二上海南匯中學?？计谀┤艉瘮?shù)在區(qū)間上的平均變化率為5，則______．
【答案】3
【分析】利用函數(shù)平均變化率的計算公式計算.
【詳解】解：函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為，
解得.
故答案為：3.
4．（2023·高二課時練習）某機械廠生產(chǎn)一種木材旋切機，已知總利潤c（單位：元）與產(chǎn)量x（單位：臺）之間的關(guān)系式為，則產(chǎn)量由1000臺提高到1500臺時，總利潤的平均變化率為______元/臺．
【答案】2000
【分析】根據(jù)平均變化率的公式結(jié)合題意直接求解即可.
【詳解】當產(chǎn)量由1000臺提高到1500臺時，總利潤的平均變化率為（元/臺）．
故答案為：2000
5．（2023秋·北京順義·高二統(tǒng)考期末）降低室內(nèi)微生物密度的有效方法是定時給室內(nèi)注入新鮮空氣，即開窗通風換氣.在某室內(nèi)，空氣中微生物密度（c）隨開窗通風換氣時間（t）的關(guān)系如下圖所示.則下列時間段內(nèi)，空氣中微生物密度變化的平均速度最快的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】連接圖上的點，利用直線的斜率與平均變化率的定義判斷即可；
【詳解】解：如圖分別令、、、、所對應(yīng)的點為、、、、，
由圖可知，
所以內(nèi)空氣中微生物密度變化的平均速度最快；
故選：C
6．（2023·高二課時練習）如圖所示為物體甲、乙在時間0到范圍內(nèi)路程的變化情況，下列說法正確的序號是______．
①在0到范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度；
②在時刻，甲的瞬時速度等于乙的瞬時速度；
③在到范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度；
④在0到范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度．
【答案】③④
【分析】根據(jù)平均速度的公式判斷①③④，從而①錯誤，③④正確；
根據(jù)瞬時速度與切線斜率的關(guān)系作出判斷②錯誤；
【詳解】在0到范圍內(nèi)，甲、乙的平均速度都為，故①錯誤．
瞬時速度為切線斜率，故②錯誤．
在到范圍內(nèi)，甲的平均速度為，乙的平均速度為，因為，，所以，故③正確．同理④正確．
故答案為：③④．
7．（2023·全國·高二假期作業(yè)）吹氣球時，記氣球的半徑r與體積V之間的函數(shù)關(guān)系為，為的導函數(shù)．已知在上的圖像如圖所示，若，則下列結(jié)論正確的是（）
A．
B．
C．
D．存在，使得
【答案】D
【分析】A：設(shè)，由圖得，所以該選項錯誤；
B:根據(jù)圖像和導數(shù)的幾何意義得，所以該選項錯誤；
C:設(shè) ，所以該選項錯誤；
D:結(jié)合圖像和導數(shù)的幾何意義可以判斷該選項正確.
【詳解】解：A：設(shè)，由圖得，
所以所以，所以該選項錯誤；
B:由圖得圖像上點的切線的斜率越來越小，根據(jù)導數(shù)的幾何意義得，所以該選項錯誤；
C:設(shè)，因為
所以，所以該選項錯誤；
D:表示兩點之間的斜率，表示處切線的斜率，由于，
所以可以平移直線使之和曲線相切，切點就是點,所以該選項正確.
故選：D
考點二瞬時變化率理解
8．（2023·高二課時練習）某物體的運動路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的關(guān)系可用函數(shù)表示，則該物體在s時的瞬時速度為（）
A．0m/sB．1m/sC．2m/sD．3m/s
【答案】D
【分析】根據(jù)瞬時速度的概念即可利用平均速度取極限求解.
【詳解】該物體在時間段上的平均速度為，當無限趨近于0時，無限趨近于3，即該物體在s時的瞬時速度為3m/s．
故選：D
9．（2023秋·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）在一次高臺跳水運動中，某運動員在運動過程中的重心相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系.該運動員在t=1s時的瞬時速度（單位：m/s）為（）
A．10.9B．-10.9C．5D．-5
【答案】D
【分析】先對函數(shù)求導，然后把代入即可求解．
【詳解】解：因為，
所以，
令，得瞬時速度為．
故選：D.
10．（2023秋·江西撫州·高二南城縣第二中學?？茧A段練習）某跳水運動員離開跳板后，他達到的高度與時間的函數(shù)關(guān)系式是（距離單位：米，時間單位：秒），則他在0.25秒時的瞬時速度為（）
A．6.75米/秒B．6.55米/秒C．5.75米/秒D．5.55米/秒
【答案】D
【分析】依據(jù)瞬時速度定義利用極限去求他在0.25秒時的瞬時速度即可
【詳解】
則他在0.25秒時的瞬時速度為5.55米/秒
故選：D
11．（2023秋·北京·高二北京市第一六一中學?？计谥校┮阎瘮?shù)的圖象如圖所示，函數(shù)的導數(shù)為，則（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】結(jié)合圖象以及導數(shù)的知識求得正確答案.
【詳解】由圖象可知，
即.
故選：D
12．（2023秋·北京大興·高二統(tǒng)考期末）為響應(yīng)國家節(jié)能減排號召，甲、乙兩個工廠進行了污水排放治理，已知某月內(nèi)兩廠污水的排放量W與時間t的關(guān)系圖如圖所示（為月末時間）.則該月內(nèi)：①甲廠污水排放量逐漸減少；②乙廠的污水排放量比甲廠減少得更多；③乙廠總比甲廠的污水排放量減少得更快.其中正確說法的序號是（）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【分析】根據(jù)圖形逐一分析各個命題即可得出答案.
【詳解】解：由圖可知，甲廠污水排放量逐漸減少，故①正確；
乙廠的污水排放量比甲廠減少得更多，故②正確，
在接近時，甲工廠污水排放量減少得比乙的更加快，故③錯誤.
故選：A.
13．（2023秋·海南·高二海南華僑中學?？计谀├钊A在參加一次同學聚會時，用如圖所示的圓口杯喝飲料，他想：如果向杯子中倒飲料的速度一定（即單位時間內(nèi)倒入的飲料量相同），那么杯子中飲料的高度h是關(guān)于時間t的函數(shù)，則函數(shù)的圖象可能是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)杯子的形狀特點和函數(shù)圖象的增長速度即可判斷.
【詳解】由于杯子的形狀是下面稍窄上面稍寬,所以剛開始飲料的高度增長相對較快,后面飲料的高度增加就越來越慢,所以B的圖象的增長趨勢與飲料高度增長的情形較一致，
故選：B
考點三導數(shù)（導函數(shù)）的理解
14．（2023·高二課時練習）設(shè)函數(shù)在點處附近有定義，且為常數(shù)，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由導函數(shù)的定義可得選項.
【詳解】解：因為為常數(shù)，所以，
故選：C.
15．（2023·高二課時練習）若函數(shù)在處可導，則的結(jié)果（）．
A．與，h均無關(guān)B．僅與有關(guān)，而與h無關(guān)
C．僅與h有關(guān)，而與無關(guān)D．與，h均有關(guān)
【答案】B
【分析】根據(jù)導數(shù)的定義即可求解.
【詳解】解：因為，
所以結(jié)果僅與有關(guān)，而與h無關(guān)，
故選：B.
16．（2023秋·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習）函數(shù)在處的導數(shù)可表示為，即（）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】結(jié)合導數(shù)定義直接選擇即可.
【詳解】是的另一種記法，根據(jù)導數(shù)的定義可知C正確．
故選：C
考點四導數(shù)定義中的極限的簡單計算
17．（2023·高二課時練習）設(shè)函數(shù)，若，則______．
【答案】1
【分析】根據(jù)導數(shù)的定義求出，再將代入計算即可.
【詳解】解:因為 =，
∴，
∴．
故答案為：1
18．（2023秋·廣東深圳·高二深圳市寶安第一外國語學校?？计谥校┮阎瘮?shù)，則（）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】根據(jù)瞬時變化率的定義計算可得；
【詳解】解：因為，
所以
故選：D
19．（2023春·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)在處的導數(shù)為2，則（）
A．2B．1C．D．6
【答案】A
【分析】根據(jù)導數(shù)的定義即得.
【詳解】因為函數(shù)在處的導數(shù)為2，
所以.
故選：A.
20．（2023·高二課時練習）已知，則在處的導數(shù)（）
A．B．1C．D．3
【答案】C
【分析】根據(jù)條件可得出，即可得出的值.
【詳解】，．
故選：C
考點五利用導數(shù)幾何意義求切線方程
求曲線切線的斜率或傾斜角
21．（2023春·湖南株洲·高二校考期中）若，則在處的切線的斜率為______．
【答案】2
【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可直接求解.
【詳解】由題意知，，得，
所以曲線在處的切線斜率為2.
故答案為：2.
22．（2023秋·四川資陽·高二?？计谥校┤鐖D，直線是曲線在點處的切線，則的值等于______ ．
【答案】
【分析】由函數(shù)的圖像可得，以及直線過點和，由直線的斜率公式可得直線的斜率，進而由導數(shù)的幾何意義可得的值，將求得的與的值相加即可.
【詳解】由函數(shù)的圖像可得，直線過點和，則直線的斜率，
又由直線是曲線在點處的切線，則，
所以．
故答案為：
23．（2023春·云南昆明·高二石林彝族自治縣第一中學?？茧A段練習）曲線在點處的切線的傾斜角為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義得到點處切線的斜率，再根據(jù)斜率求傾斜角即可.
【詳解】，所以在點處的切線的斜率為-1，傾斜角為.
故選：A.
24．（2023·高二課時練習）已知點P在曲線上，為曲線在點P處的切線的傾斜角，求的取值范圍．
【答案】
【分析】由題，，求出，結(jié)合均值不等式討論的值域，即可求得的范圍，即可進一步求得的取值范圍
【詳解】函數(shù)的導數(shù)為．
因為，所以，
所以，即；因為，所以，即．
求在曲線上一點處的切線方程
25．（2023春·山西太原·高二太原師范學院附屬中學?？茧A段練習），在處切線方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合導數(shù)的幾何意義，求出再結(jié)合直線的點斜式公式，即可求解．
【詳解】由已知，，令，
∴＝，解，
∴在處切線方程為，即．
故選：B．
26．（2023·全國·高二假期作業(yè)）已知曲線：
(1)求的值；
(2)求曲線在點處的切線方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用導數(shù)公式求解；(2)根據(jù)切點處函數(shù)的導數(shù)等于切線的斜率以及切點在曲線上也在切線上的原理求解..
【詳解】（1）由題得，所以.
（2）因為，
所以，切線方程為，
即.
27．（2023春·江蘇蘇州·高二校考階段練習）曲線在點處的切線方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)切點和斜率求得切線方程.
【詳解】，故切點為，
，即切線的斜率為，
所以切線方程為，即.
故選：A
28．（2023·全國·高二假期作業(yè)）函數(shù)的圖象在處的切線方程為______.
【答案】
【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義求切線方程即可.
【詳解】∵，∴，，∴函數(shù)在處的切線方程為.
故答案為：.
求過一點的切線方程
29．【多選】（2023秋·廣東江門·高二新會陳經(jīng)綸中學校考期中）已知曲線.則曲線過點P（1，3）的切線方程為.（）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】設(shè)切點為，寫出切線方程，切線過點（1，3），求得即可.
【詳解】解：設(shè)切點為，
則，
所以，
所以切線方程為，
因為切線過點（1，3），
所以，即，
即，
解得或，
所以切線方程為或，
故選：AB
30．（2023·高二課時練習）過點且與曲線相切的直線方程為______．
【答案】或
【分析】設(shè)切點坐標為，求得，列出方程，求得的值，結(jié)合導數(shù)的幾何意義，即可求解.
【詳解】由題意，設(shè)切點坐標為，則，
又由函數(shù)，可得，可得，所以，
根據(jù)斜率公式和導數(shù)的幾何意義，可得，即，
解得或，所以切線的斜率為或，
所以切線方程為或，即或.
故答案為：或.
31．（2023秋·廣東茂名·高二統(tǒng)考期中）已知直線l為函數(shù)的切線，且經(jīng)過原點，則直線l的方程為__________.
【答案】
【分析】設(shè)切點坐標為，求導，寫出直線l的方程，再根據(jù)直線l過點求解.
【詳解】解：設(shè)切點坐標為，
所以直線l的斜率為，
所以直線l的方程為
又直線l過點，
所以，
整理得，解得，
所以，
直線l的斜率，
所以直線l的方程為，
故答案為：.
32．（2023秋·湖南郴州·高二統(tǒng)考期末）過點作曲線的切線有且只有兩條，則b的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)切點，進而求得切線方程，進而得到，構(gòu)造函數(shù)分析的單調(diào)性與取值范圍即可判斷有且僅有兩根時b的取值范圍即可
【詳解】設(shè)切點為，，故過的切線方程為，即.故有且僅有兩根.設(shè)，則，令則，令則，且，又當時，，.故有且僅有兩根則b的取值范圍為
故選：A
考點六已知切線（斜率）求參數(shù)
33．（2023春·陜西咸陽·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)在點處的切線斜率為7，則實數(shù)a的值為___________.
【答案】1
【分析】求導數(shù)，代入切點可得答案.
【詳解】因為，所以由題意得，解得.
故答案為：1
34．（2023秋·新疆·高二克拉瑪依市高級中學?？茧A段練習）若函數(shù)在處的切線方程為，則_________．
【答案】
【分析】利用導數(shù)求函數(shù)圖象切線的斜率，再根據(jù)點斜式寫出切線方程，轉(zhuǎn)化為斜截式即可求解.
【詳解】，所以，所以切線的斜率為3，
又因為，所以切點的坐標為，
所以切線方程為即，
所以，所以.
故答案為:.
35．（2023·全國·高二假期作業(yè)）曲線在點處的切線方程為，則a，b的值分別為（）
A．-1，1B．-1，-1C．1，1D．1，-1
【答案】C
【分析】根據(jù)切點和斜率求得切線方程.
【詳解】依題意，切點為，斜率為，
，
所以，解得.
故選：C
36．（2023秋·云南大理·高二校考階段練習）若曲線在點處的切線與直線垂直，則_________.
【答案】2
【分析】利用導數(shù)的幾何意義求解即可.
【詳解】依題意，切線的斜率為2，，.
故答案為：
考點七求切點坐標
37．【多選】（2023·全國·高二假期作業(yè)）在曲線上切線的傾斜角為的點的坐標為（）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，可得切線的斜率，由導數(shù)的幾何意義，即可得到所求切點
【詳解】切線的斜率，
設(shè)切點為，則，
又，
所以，
所以或，
所以切點坐標為或．
故選：AB．
38．【多選】（2023·高二課時練習）曲線在點P處的切線平行于直線，則點P的坐標可能為（）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】設(shè)切點.利用導數(shù)表示切線的斜率，列方程即可求解.
【詳解】設(shè)切點.
因為曲線在點P處的切線的斜率，所以，所以點P的坐標為或.
故選：AD.
39．（2023秋·四川雅安·高二統(tǒng)考期末）曲線在點P處的切線與直線垂直，則點P的橫坐標為（）
A．B．1C．3D．
【答案】C
【分析】設(shè)切點，求得的導數(shù)，可得切線的斜率，由兩直線垂直的條件可得，即為點的橫坐標.
【詳解】設(shè)切點，的導數(shù)為，
可得切線的斜率為，
由切線與直線垂直，
可得，解得或（舍），
所以P的橫坐標為，
故選：C
40．（2023秋·廣東珠?！じ叨y(tǒng)考期末）已知點在曲線：的圖像上，在點處的曲線的切線與直線：垂直，則點橫坐標為（）
A．或1B．1或3C．或D．或3
【答案】A
【分析】求出導函數(shù)，由切線斜率與已知直線斜率乘積為可得．
【詳解】，，
因為切線與直線：垂直，所以，解得或．
故選：A．
考點八兩條曲線的公切線問題
41．【多選】（2023秋·河北石家莊·高二統(tǒng)考期末）若兩曲線與存在公切線，則正實數(shù)a的取值可能是（）
A．1.2B．4C．5.6D．
【答案】ABD
【分析】分別設(shè)切點分別為，，由導數(shù)的幾何意義分別寫出切線方程，由題意切線方程相同，從而可得出，設(shè)由導數(shù)求出其值域即可.
【詳解】由，則，由，則
設(shè)切線與曲線相切于點，則斜率為，
所以切線方程為，即 ①
設(shè)切線與曲線相切于點，則斜率為：，
則切線方程為，即，②
根據(jù)題意方程①，②表示同一條直線，則
所以，令（），
則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，由題意.
故答案為：ABD
42．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第六中學校校考期中）已知曲線在點處的切線也是曲線的一條切線，則實數(shù)的值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出在點處的切線方程，再設(shè)與的切點為，即可得到方程，解得、，再代入計算可得；
【詳解】解：因為，所以，，所以，
所以切線的方程為，
又，所以，
設(shè)切線與的切點為，
可得切線的斜率為，即，
，可得切點為，
所以，解得．
故選：D．
43．（2023秋·陜西安康·高二統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，．若經(jīng)過點存在一條直線l與曲線和都相切，則（）
A．-1B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】先求得在處的切線方程，然后與聯(lián)立，由求解
【詳解】解析：∵，∴，∴，∴，∴曲線在處的切線方程為，由得，由，解得．
故選：B
【過關(guān)檢測】
1．（2023秋·上海金山·高二上海市金山中學?？计谀┮阎嵌x在R上的可導函數(shù)，若，則=（）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】根據(jù)極限與導數(shù)的定義計算．
【詳解】
故選：A．
2．（2023春·河北·高三校聯(lián)考階段練習）如圖是一個裝滿水的圓臺形容器，若在底部開一個孔，并且任意相等時間間隔內(nèi)所流出的水體積相等，記容器內(nèi)水面的高度h隨時間t變化的函數(shù)為，定義域為D，設(shè)分別表示在區(qū)間上的平均變化率，則（）
A．B．C．D．無法確定的大小關(guān)系
【答案】A
【分析】根據(jù)容器形狀，任意相等時間間隔內(nèi)所流出的水體積相等，水面高度減小越來越快，還要注意變化量和變化率是負數(shù)，可判斷出結(jié)果.
【詳解】由容器的形狀可知，在相同的變化時間內(nèi)，高度的減小量越來越大，且高度h的變化率小于0，所以在區(qū)間上的平均變化率由大變小，即．
故選：A．
3．（2023秋·山東聊城·高二山東聊城一中校考期中）設(shè)在處可導，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】變形，結(jié)合導數(shù)的定義，計算出結(jié)果.
【詳解】因為在處可導,
所以，由導數(shù)的定義可得：.
故選：A
4．（2023春·江蘇·高三江蘇省新海高級中學校聯(lián)考階段練習）若直線與曲線和曲線都相切，則直線的條數(shù)有（）
A．1B．2C．3D．無數(shù)條
【答案】B
【分析】根據(jù)兩函數(shù)解析式，在同一坐標系下畫出函數(shù)圖象，對兩曲線進行求導，利用導函數(shù)的幾何意義求出斜率的表達式，再根據(jù)三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的值域，即可求出公切線與兩曲線的切點位置，進而確定公切線的條數(shù).
【詳解】如圖所示
設(shè)直線與曲線的切點為，與曲線的切點為，直線的斜率；
所以，，即在點處的斜率為，
，即在點處的斜率為，
得；
又因為，所以斜率
由得，或；
由得，；
因此，存在，和，使得，
即此時直線即為兩條曲線的公切線；
同時，存在，和，使得，且；
所以，直線即為異于直線的第二條曲線的公切線；
綜上可知，直線的條數(shù)有2條.
故選：B.
5．（2023春·河北唐山·高三校聯(lián)考階段練習）若直線是曲線的一條切線，則實數(shù)（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用導數(shù)，根據(jù)斜率求得切點坐標，進而求得.
【詳解】因為，所以，令，即，
得或（舍去），所以切點是，代入，
得，.
故選：D
6．（2023春·上海普陀·高三曹楊二中?？茧A段練習）函數(shù)在點處的切線方程為___________.
【答案】
【分析】由導數(shù)的幾何意義即可求出切線斜率，即可求解切線方程.
【詳解】因為，所以，所以
所以在點處的切線斜率為，又，
則在點處的切線方程為
，即.
故答案為：.
7．（2023·高二課時練習）某物體的運動路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的關(guān)系可用函數(shù)表示，則物體在t=0 s時的瞬時速度為______m/s；瞬時速度為9 m/s的時刻是在t=______s時．
【答案】 1 4
【分析】由瞬時速度的定義可求解.
【詳解】
，
即物體在t=0 s時的瞬時速度為1 m/s．
設(shè)物體在時刻的瞬時速度為9 m/s，
又，
所以，物體在t=4 s時的瞬時速度為9 m/s．
故答案為：1；4
8．（2023春·山東濟寧·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)在點處切線的斜率是3，則實數(shù)__________.
【答案】
【分析】函數(shù)在1處的導數(shù)即斜率，可得a的值.
【詳解】，因為在點處切線的斜率為3，
所以，得.
故答案為：.
9．（2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）設(shè)曲線的斜率為3的切線為，則的方程為______．
【答案】
【分析】根據(jù)導數(shù)幾何意義求解.
【詳解】設(shè)切線與函數(shù)的切點為
又因為，所以在處的導數(shù)值為
所以，又因為切點在函數(shù)上，即
所以切點為，所以切線方程，即
故答案為：
10．（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）已知，則曲線在處的切線方程是___________.
【答案】
【分析】首先求出原函數(shù)的導函數(shù)，然后將切點處的橫坐標代入導函數(shù)中求出直線的斜率，再將切點的橫坐標代入，求出切點的縱坐標，最后用點斜式求出切線方程.
【詳解】因為，，所以，
即切點為，斜率為，代入點斜式直線方程中
則曲線在處的切線方程是.
故答案為：.
11．（2023春·上海崇明·高三上海市崇明中學?？茧A段練習）已知函數(shù)．則曲線的斜率等于的切線方程為_________．
【答案】
【分析】求導，利用切點處的導數(shù)值為切線的斜率，即可求解切點，進而由點斜式即可求解直線方程.
【詳解】由題意得，令，則，所以切點為，因此切線方程為：，即，
故答案為：
12．（2023·高二單元測試）小明從家里到學校行走的路程s與時間t的函數(shù)關(guān)系表示如圖，記t時刻的瞬時速度為，區(qū)間，，上的平均速度分別為，，，則下列判斷正確的個數(shù)為______．
（1）；
（2）；
（3）對于，存在，使得；
（4）整個過程小明行走的速度一直在加快．
【答案】3
【分析】對于（1）（2），根據(jù)平均速度的定義結(jié)合圖判斷即可，對于（3），由圖象可知，從而可得結(jié)論，對于（4），根據(jù)曲線在各點處的切線方程的斜率的大小判斷即可.
【詳解】解：由題意，可知，，．
由題中圖像可知，且，因此，
而，所以，
因此，此時，所以（1）正確；
因為，
，故成立，（2）正確；
由題中圖像可知，直線與曲線的交點為，故存在，使得，即當時，，故（3）正確；
t時刻的瞬時速度為，判斷瞬時速度的快慢，可以看整個曲線在各點處的切線方程的斜率，由題中圖像可知，當時，切線方程的斜率最大，
故而在此時，瞬時速度最快，因此，（4）不正確．
故答案為：3．
區(qū)別
聯(lián)系
f′(x0)
f′(x0)是具體的值，是數(shù)值
在x＝x0處的導數(shù)f′(x0)是導函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值，因此求函數(shù)在某一點處的導數(shù)，一般先求導函數(shù)，再計算導函數(shù)在這一點的函數(shù)值
f′(x)
f′(x)是函數(shù)f(x)在某區(qū)間I上每一點都存在導數(shù)而定義的一個新函數(shù)，是函數(shù)

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