本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第一冊》人教A版（2019）第六章《平面向量及其應(yīng)用》的第三節(jié)《平面向量基本定理及坐標(biāo)表示》。以下是本節(jié)的課時(shí)安排：
1.能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；2.會(huì)用坐標(biāo)表示兩個(gè)平面向量的夾角，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；3.能用坐標(biāo)表示平面向量垂直的條件，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。
1.重點(diǎn)：掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算2.難點(diǎn)：會(huì)運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解向量垂直、夾角等相關(guān)問題。
1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問題
“我知道我一直有雙隱形的翅膀，帶我飛飛過絕望，不去想他們擁有美麗的太陽，我看見每天的夕陽也會(huì)有變化，我知道我一直有雙隱形的翅膀，帶我飛給我希望……”如果能為平面向量的數(shù)量積插上“翅膀”，它又能飛多遠(yuǎn)呢？本節(jié)講解平面向量數(shù)量積的“翅膀”——坐標(biāo)表示，它能使平面向量的數(shù)量積同時(shí)具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，從而可以使幾何問題數(shù)量化，把“定性”研究推向“定量”研究.
2.探索交流，解決問題
【思考1】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)i，j分別是x軸和y軸方向上的單位向量，a＝(3，2)，b＝(2，1)，則a·b的值為多少？
【提示】由題意知，a＝3i＋2j，b＝2i＋j，則a·b＝(3i＋2j)·(2i＋j)＝6i2＋7i·j＋2j2.由于i2＝i·i＝1，j2＝j(luò)·j＝1，i·j＝0，故a·b＝8.
（二）數(shù)量積的坐標(biāo)表示
【探究1】通過對平面向量的數(shù)量積及向量線性坐標(biāo)運(yùn)算的學(xué)習(xí)，能否已根據(jù)兩個(gè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，用a和b的坐標(biāo)表示a·b ?
【提示】記a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，∴a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j∴a·b＝(x1i＋y1j)(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2
【探究2】若a＝（x，y），如何計(jì)算向量的模|a| ？
【探究3】若點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），如何計(jì)算向量的模？
【探究4】已知兩個(gè)非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎樣用坐標(biāo)表示a⊥b ？
【提示】若a⊥b,所以a·b＝0，所以x1x2＋y1y2＝0
【探究5】已知兩個(gè)非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎樣用坐標(biāo)表示a， b的夾角呢？
平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝ ．即兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們 的乘積的 ．
【做一做】1.已知a＝(－1，3)，b＝(2，4)，則a·b的值是________.
2.已知a＝(2，－1)，b＝(1，x)，且a⊥b，則x＝________.
3.已知向量a＝(4，－1)，b＝(x，3)，若|a|＝|b|，則x＝________.
例1.　（1）已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，則(a＋2b)·(a－3b)＝(　　)A.10 B.－10 C.3 D.－3
【解析】（1）　a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
答案：（1）B （2）5
【鞏固練習(xí)1】（1）設(shè)向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，則向量(a＋2b)·c＝(　　)A．(－15，12) B．0 C．－3　D．－11
解析：（1）依題意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，所以(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.
解析：建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)，
例3.已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1).(1)計(jì)算a·b及|a＋b|的值；(2)求向量a與b夾角的余弦值.
【類題通法】應(yīng)用向量的夾角公式求夾角時(shí)，應(yīng)先分別求出兩個(gè)向量的模，再求出它們的數(shù)量積，最后代入公式求出夾角的余弦值，進(jìn)而求出夾角.
4.向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算
【類題通法】將題目中的隱含條件挖掘出來，然后坐標(biāo)化，運(yùn)用方程的思想進(jìn)行求解是解向量題常用的方法.
（四）操作演練 素養(yǎng)提升
4.已知向量b與向量a＝(1，－2)的夾角是180°，且|b|＝3，則b＝(　　)A.(－3，6) B.(3，－6)C.(6，－3) D.(－6，3)
答案：1.A 2.D 3.C 4.A
（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？ （2）在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

6.3 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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