第17章勾股定理 單元復(fù)盤提升 思維導(dǎo)圖1.如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊 為c，那么a2 + b2 = c2即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 在直角三角形中才可以運(yùn)用2.勾股定理的應(yīng)用條件一、勾股定理 3.勾股定理表達(dá)式的常見變形： a2＝c2－b2, b2＝c2－a2， 知識(shí)串講二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2 +b2=c2 ，那么這個(gè)三角形是直角三角形. 滿足a2 +b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).2.勾股數(shù)3.原命題與逆命題 如果兩個(gè)命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反，那么把其中一個(gè) 叫做原命題，另一個(gè)叫做它的逆命題.考點(diǎn)一：勾股定理及其應(yīng)用例1在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的對(duì)邊分別是a,b,c.（1）已知a=7,b=24,求c;（2）已知c=61,b=60,求a；（3）已知a:b=3:4,c=25,求b.考點(diǎn)梳理例1在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的對(duì)邊分別是a,b,c.（1）已知a=7,b=24,求c;（2）已知c=61,b=60,求a；（3）已知a:b=3:4,c=25,求b.例2如圖，在△ABC中，AB=17，BC=9，AC=10AD⊥BC于D.試求△ABC的面積．解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB2-BD2=AD2，AC2-CD2=AD2，設(shè)DC=x，則BD=9+x，故172-(9+x)2=102-x2，解得x=6.∴AD2= AC2?CD2 = 64，∴AD=8.∴S△ABC= ×9×8=36．例3如圖，滑桿在機(jī)械槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，∠ACB為直角，已知滑桿AB長(zhǎng)2.5米，頂端A在AC上運(yùn)動(dòng)，量得滑桿下端B距C點(diǎn)的距離為1.5米，當(dāng)端點(diǎn)B向右移動(dòng)0.5米時(shí)，求滑桿頂端A下滑多少米？解：設(shè)AE的長(zhǎng)為x 米，依題意得CE=AC - x ,∵AB=DE=2.5,BC=1.5,∠C=90°，∴AC=2.∵BD=0.5,∴AC=2.∴在Rt△ECD中，CE=1.5.∴2- x =1.5， x =0.5. 即AE=0.5 . 答：梯子下滑0.5米．例4如圖，在△ABC中，AB>AC,AD是BC邊上的高，將△ADC 沿AD所在直線翻折，使點(diǎn)C落在BC邊上的點(diǎn)E處.（1）若AB=20，AC=13,CD=5,求△ABC的面積；（2）求證：AB2-AC2=BE·BC.解：（1）∵AD是BC邊上的高∴∠ADB=∠ADC=90°在Rt△ADC中，AC=13,CD=5,∴AD2=AC2-CD2=144,∴AD=12.在Rt△ADB中，AB=20,AD=12,∴BD2=AB2-AD2=256,∴BD=16∴BC=BD+CD=21,∴S△ABC=0.5×BC×AD=126.例4（2）求證：AB2-AC2=BE·BC.（2）證明：由題意得AC=AE,DC=DE,在Rt△ADC中，由勾股定理得AC2=AD2+CD2在Rt△ADB中，由勾股定理得BD2=AB2-AD2∴AB2-AC2=AB2-(AD2+CD2) =AB2-AD2-CD2 =BD2-DE2 =(BD-DE)(BD+DE)∵BE=BD-DE,BC=BD+CD=BD+DE∴AB2-AC2=BE·BC例5已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a +b=14cm，c=10cm，求△ABC的面積.解：∵a+b=14，∴(a+b)2=196.又∵a2+b2=c2=100，∴2ab=196-(a2+b2)=96，∴ ab=24，即△ABC的面積為24．練1在Rt△ABC中，∠C=90°，周長(zhǎng)為60，斜邊與一條直角邊之比為13:5，則這個(gè)直角三角形三邊的長(zhǎng)度分別是（ ）A.25,23,12 B.13,12,5 C.10,8,6 D.26,24,10練2如圖，兩個(gè)較大正方形的面積分別是255,289， 則字母A所代表的正方形的邊長(zhǎng)是 .練38.若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2cm，那么△ABC的面積 為（? ）．A. B. C. D. A刻意練習(xí)練4如果Rt△的兩直角邊長(zhǎng)分別為n2－1，2n（n>1）， 那么它的斜邊長(zhǎng)是（　?。〢、2n B、n+1 C、n2－1 D、n2+1已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm， c=10cm，則Rt△ABC的面積是（　?。〢、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2等腰三角形底邊上的高為8，周長(zhǎng)為32，則三角形的面積為（　?。〢、56 B、48 C、40 D、32DAB練5練6考點(diǎn)二：勾股定理的逆定理及其應(yīng)用例6已知a,b,c是△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足關(guān)系請(qǐng)判斷△ABC的形狀.考點(diǎn)梳理例7如圖，在四邊形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．猜想∠A與∠C的關(guān)系，并加以證明．解：猜想∠A+∠C=180°．連接AC.∵∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得 ∵AD2+DC2=625=252=AC2，∴△ADC是直角三角形，且∠D=90°，∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°，∴∠DAB+∠BCD=180°，即∠A+∠C=180°．練7下列各組數(shù)中，不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)的是（ ）A.0.3,0.4,0.5 B.8.9.10 C.7.24.25 D.9.12.15根據(jù)下列條件，能判定一個(gè)三角形是直角三角形的是（ ）A.三條邊的長(zhǎng)度之比是2:3:4B.三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比是1:1:2C.三條邊的邊長(zhǎng)分別是D.三條邊的邊長(zhǎng)分別是12,15,20在△ABC中，a=3,b=7,c2=58,則S△ABC= .練8練9刻意練習(xí)練10如圖，廠房屋頂?shù)娜俗旨苁堑妊切?，AB＝AC，AD⊥BC，若跨度BC＝16m，上弦長(zhǎng)AB＝10m，求中柱AD的長(zhǎng)．解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=16m， ∴BC=CD= BC=8m，∠ADB=90°， ∴AD= ， 即中柱AD的長(zhǎng)為6m．考點(diǎn)三：勾股定理的應(yīng)用例8如圖，一個(gè)圓桶的底面直徑為16cm，高為18cm，一只小蟲從下底面點(diǎn)A處爬到上底面點(diǎn)B處，求小蟲所爬的最短路徑長(zhǎng).例9如圖，折疊長(zhǎng)方形的紙片ABCD,使點(diǎn)B落在AD上一點(diǎn)E處，折痕的兩端點(diǎn)分別在AB,BC上（含端點(diǎn)），且AB=6,BC=10.設(shè)AE=x,求x的取值范圍.例10如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是9，將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為CH，若BE:EC=2:1,求線段CH的長(zhǎng).解：由題意得EC=3,設(shè)CH=x,則DH=9-x,由折疊可知EH=DH=9-x，在Rt△ECH中，∠C=90°，∴EC2+CH2=EH2,即32+x2=(9-x)2,解得x=4,∴CH=4.例111000600800BCA公園半徑為400m點(diǎn)A是一個(gè)圓形森林公園的中心，在森林公園附近有B、C 兩個(gè)村莊，現(xiàn)要在 B、C 兩村莊之間修一條長(zhǎng)為 1000 m 的筆直公路將兩村連通，經(jīng)測(cè)得AB=600m，AC=800m，問此公路是否會(huì)穿過該森林公園?D過點(diǎn)A作AD⊥BC交BC于點(diǎn)D.∵ AB·AC= AD·BC.∴這條公路不會(huì)穿過自然保護(hù)區(qū).∴AD=480解：在△ABC中∵AB2+AC2=6002+8002=10002=BC2.∴△ABC為直角三角形，∠BAC=90°∵480>400ABC練11如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，D是BC的中點(diǎn)，ED⊥BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連接CE.若AE=3，BE=5，則邊AC的長(zhǎng)為 .4如圖，把長(zhǎng)方形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)B’處，點(diǎn)A落在點(diǎn)A’處，若AE=3,AB=4,則BF的長(zhǎng)為 .5練12刻意練習(xí)練13如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為1cm和3cm，高為6cm．如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要（ ） A．8 cm B．10 cm C．12 cm D．15 cmB小亮想知道學(xué)校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多2m，當(dāng)他把繩子的下端拉開8m后，下端剛好接觸到地面，則學(xué)校旗桿的高度為（ ） A．10m B．12m C．15m D．18mC練14練15如圖，四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，把△ACD沿AC折疊到△ACD’，AD’與BC交于點(diǎn)E，若AD=4，DC=3,求BE的長(zhǎng).解：∵四邊形ABCD為長(zhǎng)方形∴AB=CD=3,BC=AD=4,AD∥BC,∠B=90°，∴∠DAC=∠ACB，由折疊可知 ，∠DAC=∠D’AC∴∠D’AC=∠ACB∴AE=EC設(shè)BE=x,則EC=4-x=AE,在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2,即32+x2=(4-x)2,解得x=7/8即BE=7/8.刻意練習(xí)課程結(jié)束

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