“勾股定理單元復(fù)習(xí)課”的教學(xué)設(shè)計(jì) ——基于大單元下的教學(xué)設(shè)計(jì) 數(shù)學(xué)課題：勾股定理單元復(fù)習(xí)課一、學(xué)情分析認(rèn)知基礎(chǔ)： 對(duì)定理的應(yīng)用不是很靈活，理解能力，視圖能力，思維能力等方面都有待加強(qiáng)。 活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)： 通過以前的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)有了特殊直角三角形的性質(zhì)以及相關(guān)的幾何知識(shí)，以及初步掌握了數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。二、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo) 能應(yīng)用勾股定理求邊長(zhǎng)，以及線段之間的數(shù)量關(guān)系。 能力目標(biāo) 通過復(fù)習(xí)思考，從特殊角入手引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)勾股定理中知二求一可以以很多形式出現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。 通過解題，增強(qiáng)了學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)的能力，還有視圖能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想以及一題多解的發(fā)散思維， 情感與價(jià)值觀目標(biāo) 通過探究，互相討論、發(fā)表意見等學(xué)習(xí)活動(dòng)，培養(yǎng)合作精神和傾聽的習(xí)慣。 經(jīng)歷一題多解，比較特殊方法和一般方法，對(duì)學(xué)生的進(jìn)行及時(shí)鼓勵(lì)，培養(yǎng)學(xué)生的自信心。三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：復(fù)習(xí)勾股定理和勾股定理的逆定理，勾股定理的應(yīng)用。 難點(diǎn)：靈活應(yīng)用勾股定理以及特殊角的情況。四、教學(xué)流程設(shè)計(jì)教學(xué)展示語言組織設(shè)計(jì)意圖課題引入教師開場(chǎng)介紹，同學(xué)們，大家好，今天我們一起來對(duì)勾股定理這個(gè)章節(jié)進(jìn)行復(fù)習(xí)吧，希望同學(xué)們溫故而知新。開門見山，引入課題全面回憶如果我們將三條線段通過平移首尾順次連接可以組成什么平面圖形呢？ 是的，三角形，因?yàn)檩^短兩線段之和大于第三條線段，滿足三角形的構(gòu)成條件。 同學(xué)們想一想這個(gè)三角形有什么特征？ 是的，是直角三角形，因?yàn)槿绻切蝺蛇叺钠椒胶偷扔诘谌叺钠椒?，則三角形是直角三角形。這是直角三角形的判定定理。與勾股定理形成互逆定理，因?yàn)閮蓚€(gè)定理的條件和題設(shè)互換位置。 同學(xué)們，你們還了解直角三角形的哪些性質(zhì)呢？無論從哪方面都可以舉手發(fā)言。回憶三角形的構(gòu)成條件，較短兩邊和大于第三邊。 回憶勾股定理的性質(zhì)定理以及逆定理 回憶兩個(gè)定理是互逆定理。 回憶直角三角形的其他性質(zhì)。 復(fù)習(xí)思考 我們已經(jīng)對(duì)勾股定理及其逆定理進(jìn)行了全面復(fù)習(xí)。 現(xiàn)在我提出一個(gè)問題，已知三角形的兩邊分別為3和4，你能得到什么結(jié)論？ 是的，不一定是直角三角形，所以另一邊不一定是5。 那么這個(gè)三角形需要添加什么條件才能成為直角三角形呢？ 是的，方法一：兩邊3和4的夾角為直角，此刻才可以算出斜邊長(zhǎng)為5。方法二：讓最長(zhǎng)邊為5，根據(jù)勾股定理的逆定理可得直角三角形。引導(dǎo)同學(xué)們從兩個(gè)角度去添加條件，一方面是角也就是形的方面，一方面是邊也就是數(shù)的角度。讓學(xué)生體會(huì)兩個(gè)定理的是互通的以及體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。 復(fù)習(xí)思考通過剛才的問題討論，我們知道多邊形中發(fā)現(xiàn)并構(gòu)造直角三角形是使用勾股定理的關(guān)鍵。希望同學(xué)們對(duì)勾股定理能有新的思考。 我們知道在直角三角形中，已知兩條邊可以求未知邊。如果我給出這樣的直角三角形，已知一條邊和一個(gè)特殊角45°，你還能求出其他未知邊嗎？ 是的，要進(jìn)行分來討論，如圖所示，直角邊為1或者斜邊為1,。在求解方程中，大家記得轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)二次根式。在直角三角形中，給出一個(gè)特殊角和一條邊都可以求出其他邊，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用勾股定理列出方程從而求出未知邊長(zhǎng)，同時(shí)因?yàn)橐阎呴L(zhǎng)不確實(shí)是直角邊還是斜邊，所以需要學(xué)生進(jìn)行分類討論。 復(fù)習(xí)思考如果把特殊角改成30°呢？你會(huì)分幾種情況討論？ 是的，分三種情況討論。這道題請(qǐng)同學(xué)們課后完成。同上面一樣，但是這道題需要同學(xué)分三種情況討論，區(qū)別于上面的三角形是等腰直角三角形。引導(dǎo)學(xué)生就題論題，鍛煉學(xué)生隨機(jī)應(yīng)變的反應(yīng)能力。復(fù)習(xí)思考為什么直角三角形中已知一條邊、一個(gè)特殊角也可以求出直角三角形的其他位置邊長(zhǎng)呢？同學(xué)們你們談?wù)勛约旱目捶ǎ?是的，因?yàn)橹苯侨切沃杏辛颂厥饨俏覀兙椭廊呏g的比值關(guān)系，所以知道一條邊長(zhǎng)就可以通過比值求出其他未知兩條位置邊長(zhǎng)。 你們想過如果不是特殊角而是任意角這個(gè)結(jié)論還成立嗎？以后到了初三你就可以回答這個(gè)問題了。 如果特殊角這個(gè)條件換成兩邊的和差關(guān)系，能求出其他邊嗎？ 歸納起來就是，在直角無論是知兩邊還是已知一條邊、一個(gè)特殊角或者是兩邊的和差關(guān)系，都可以根據(jù)勾股定理求出其他未知邊長(zhǎng) 激發(fā)學(xué)生思考在直角三角形中已知一條邊、一個(gè)特殊角與已知兩邊本質(zhì)上存在內(nèi)在聯(lián)系，從而培養(yǎng)學(xué)生深入思考問題的習(xí)慣，在復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上能溫故而知新，同時(shí)給學(xué)生留白，期待九年級(jí)的三角函數(shù)學(xué)習(xí)。同時(shí)激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維，輻射到其他情況。問題探究通過剛才的問題我們知道從“數(shù)”和“形”的角度都可以構(gòu)造直角三角形。有了直角三角形就可以計(jì)算相關(guān)線段的長(zhǎng)。例如求這個(gè)四邊形的面積？ 是的，連接AC，可以發(fā)現(xiàn)不規(guī)則四邊形通過分割的方法轉(zhuǎn)化成兩個(gè)直角三角形，而直角三角形的面積等于直角邊乘積的一半，方便求解。有的同學(xué)嘗試通過做垂直用補(bǔ)的方法進(jìn)行求解理論上也可以，大家課后可以試一試，比較割補(bǔ)法求此四邊形的面積，看看哪種方法更適合本題求解。學(xué)生應(yīng)用已有直角連線構(gòu)造直角三角形，同時(shí)通過勾股定理的逆定理發(fā)現(xiàn)另一個(gè)直角三角形，從而選擇用分割的方法求出四邊形的面積。另外，引導(dǎo)同學(xué)比較割補(bǔ)法求面積，學(xué)會(huì)選擇最優(yōu)求解方案。問題探究同學(xué)們，接下來我們把特殊直角三角形放入直角坐標(biāo)系中來探討一些相關(guān)的問題，例如:已知在直角三角形中30°所對(duì)的直角邊為2√3，請(qǐng)求出邊OB的中點(diǎn)坐標(biāo)。你有幾種方法呢？ 第一種方法很通用，根據(jù)30°所對(duì)直角邊等于斜邊的一半，從而求出斜邊AB=4√3，再根據(jù)勾股定理求出BO=4，最后根據(jù)中點(diǎn)定義求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)。 第二種方法是直接根據(jù)AO:BO=1:√3,直接求出BO=4.鼓勵(lì)學(xué)生有了新的結(jié)論，要靈活應(yīng)用，成為今后做題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而提升學(xué)生的解題能力。問題探究 把長(zhǎng)方形AOBC沿著對(duì)角線AB進(jìn)行折疊，形成的圖形如圖所示，求點(diǎn)F的坐標(biāo)。同學(xué)們你們發(fā)現(xiàn)了其它特殊角嗎？是的有很多的30°角，我們先把它們?nèi)繕?biāo)注出來。接下來你們有什么方法可以求出點(diǎn)F的坐標(biāo)呢？ 同學(xué)們很聰明，用了三種方法進(jìn)行求解。 思路①：在RT△AEO中，設(shè)OE=x,根據(jù)30°所對(duì)直角邊等于斜邊的一半，AE=2OE=2x，再根據(jù)勾股定理列出方程x2+（2√3）2=（2x）2,從而求出x=2. 思路②：在RT△AEO中，已知OA=2√3，直接根據(jù)OE:OA=1:√3,直接求出OE=2。 思路③：在RT△AEO中，設(shè)OE=x,根據(jù)等角對(duì)等邊可以得到AE=BE=OB-OE=6-x,在根據(jù)勾股定理列出方程 x2+（2√3）2=（6?x）2求出x=2. 思路④：設(shè)OE=x,OE+EB=OB即x+2x=6, 求出x=2. 思路⑤：…… 我們主要針對(duì)四種方法來梳理一下，方法一和方法二都是根據(jù)特殊角找到邊和邊的數(shù)量關(guān)系，分別根據(jù)勾股定理列出方程以及直接計(jì)算求出OE的大小。 方法三和方法四都是根等腰三角形從而對(duì)線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換，分別根據(jù)線段的和差以及勾股定理列出方程從而求出OE.在矩形的翻折下，找出含特殊角的直角三角形，可以給計(jì)算帶來很大的便利。同時(shí)激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維，一題多解。 另外，深化兩個(gè)以下基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，一是上面說過特殊角可得三邊之比，二是平行線中有角平分線的等腰三角形。問題探究同學(xué)們，如果刪除特殊角的條件，而取而代之的是OB=6,這種情況你還有四種方法嗎？ 是的，如果沒有特殊角，你會(huì)發(fā)現(xiàn)第四種方法是最實(shí)用的，看來根據(jù)勾股定理列出方程是一種通用的方法。和上面那個(gè)問題形成對(duì)比，從而突出勾股定理蘊(yùn)含的等式可以作為列出方程的等量依據(jù)。體現(xiàn)做題的通法。同時(shí)滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。復(fù)習(xí)歸納我們的課快要接近尾聲了，通過本堂課的復(fù)習(xí)？你什么新的收獲嗎？ 很好，溫顧而知新。 勾股定理在解題中作用是什么？應(yīng)用勾股定理的關(guān)鍵是什么? 勾股定理在圖形中可求出線段的長(zhǎng)度，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)和構(gòu)造直角三角形。 本節(jié)課你復(fù)習(xí)了哪些數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想？ 對(duì)本節(jié)課，通過提問引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行及時(shí)的梳理和總結(jié)。課后作業(yè)同學(xué)們根據(jù)今天所學(xué)，在作業(yè)1中求出沒有特殊角的情況下求出點(diǎn)E和點(diǎn)F的坐標(biāo)。 另外，勾股定理確實(shí)可以求出未知線段的長(zhǎng)度，但是結(jié)論的本身體現(xiàn)的是線段與線段之間的數(shù)量關(guān)心，那么作業(yè)2，同學(xué)們可以嘗試構(gòu)造之間三角形進(jìn)行證明。 同學(xué)們，今天我們的課到此結(jié)束。作業(yè)一是讓學(xué)生繼續(xù)應(yīng)用勾股定理建立方程求未知線段。作業(yè)二通過靈活構(gòu)造直角三角形應(yīng)用勾股定理找出線段之間的數(shù)量關(guān)系。 希望學(xué)生課后進(jìn)行鞏固和提升，體會(huì)勾股定理的作用。 

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