如圖，將兩長兩短的四根細(xì)木條用小釘絞合在一起，做成一個四邊形，使等長的木條成為對邊，轉(zhuǎn)動這個四邊形，使它形狀改變，在圖形變化過程中，它一直是一個平行四邊形嗎？
　　平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．　　平行四邊形的性質(zhì)：對邊相等，對角相等，對角線互相平分．
思考：如何尋找平行四邊形的判定方法？ 　　
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形　
兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形　　
對角線互相平分的四邊形是平行四邊形　　
思考：這些猜想正確嗎？
證明：連接BD．∵　AB=CD，AD=BC， BD是公共邊，∴　△ABD≌△CDB．∴　∠1=∠2，∠3=∠4．∴　AB∥DC，AD∥BC．∴　四邊形ABCD是平行四邊形．
　　如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC．　　求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
幾何語言描述：在四邊形ABCD中，∵AB=CD,AD=BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形.
證明：∵　多邊形ABCD是四邊形，∴　∠A+∠B+∠C+∠D=360°．又∵　∠A=∠C，∠B=∠D，∴　∠A+∠B=180°， ∠B+∠C=180°． ∴　AD∥BC，AB∥DC．∴　四邊形ABCD是平行四邊形．
　　如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D．　　求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.
平行四邊形的判定定理：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.
幾何語言描述：在四邊形ABCD中，∵∠A=∠C，∠B=∠D,∴四邊形ABCD是平行四邊形.
如圖，在四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，且OA=OC，OB=OD．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
　　 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．　　
證明：∵　OA=OC，OB=OD， ∠AOD=∠COB， ∴　△AOD≌△COB．∴　∠OAD=∠OCB．∴　AD∥BC．同理　AB∥DC．∴　四邊形ABCD是平行四邊形．
平行四邊形的判定定理：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
幾何語言描述：在四邊形ABCD中，∵AO=CO,DO=BO,∴四邊形ABCD是平行四邊形.
　　這張圖揭示了定義、性質(zhì)、判定間的邏輯關(guān)系，提供了研究幾何圖形的一般思路．
　　在研究平行四邊形判定的過程中，我們經(jīng)歷了兩個階段，哪兩個階段呢？
如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AD和BC的中點(diǎn)．求證：四邊形BFDE是平行四邊形.
證明：∵ 四邊形ABCD是平行四邊形∴ AD=CB AD//BC又∵E、F分別是AD和BC的中點(diǎn)∴ ED=1|2AD BF=1|2BC∴ DE=BF又∵ED∥BF∴ 四邊形BFDE是平行四邊形
如圖，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求證：四邊形PONM是平行四邊形．
證明：Rt△MON中，由勾股定理得(x－5)2＋42＝(x－3)2， 解得x＝8.∴PM＝11－x＝3，ON＝x－5＝3，MN＝x－3＝5.∴PM＝ON，OP＝MN，∴四邊形PONM是平行四邊形．
如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝80°，∠2＝45°.(1)求∠D的度數(shù)；(2)求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°；(2)證明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB，∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，∴∠DCB＝∠DAB＝125°.又∵∠D＝∠B＝55°，∴四邊形ABCD是平行四邊形．
如圖， ABCD中，E，F(xiàn)分別是對角線AC 上的兩點(diǎn)，并且 AE=CF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=DC，AB∥DC，∴∠BAF＝∠DCF，在△ABF和△CDF中BA=DC∠BAF＝∠DCFAE=CA∴△ABF≌△CDF(SAS) ∴BE=FD同理可得BF=ED∴四邊形BFDE是平行四邊形．
　還有其他證明方法嗎？
證明：作對角線BD，交AC于點(diǎn)O.∵四邊形ABCD是平行四邊形∴ AO=CO，BO=DO∵AE=CF∴AO-AE=CO-CF 即EO=FO。又 BO=DO∴四邊形BFDE是平行四邊形
如圖，AC是平行四邊形ABCD的一條對角線，BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，四邊形BMDN是平行四邊形嗎？說說你的理由．
解：四邊形BMDN是平行四邊形．理由如下：連接BD交AC于O．∵BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，∴∠AND=∠CMB=90°．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB=OD，AO=CO，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAN=∠BCM,∴△ADN≌△CBM，∴AN=CM，∴OA-AN=OC-CM，即ON=OM,∴四邊形BMDN是平行四邊形．
如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，連接BD、CE，交于點(diǎn)N． 求證：四邊形ABNE是平行四邊形．
證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴正五邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)是 AB=BC=CD=DE=AE，∴∠DEC=∠DCE= ×(180°-108°)=36°，同理∠CBD=∠CDB=36°，∴∠ABN=∠AEN=108°-36°=72°，∴∠BNE=360°-108°-72°-72°=108°=∠A，∴四邊形ABNE是平行四邊形．
如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別是?ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，且AE=CG，BF=DH．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．
證明：在平行四邊形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC,又∵BF=DH，∴AH=CF.又∵AE=CG，∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH=GF.同理得△BEF≌△DGH（SAS），∴GH=EF，∴四邊形EFGH是平行四邊形．
如圖，AB、CD相交于點(diǎn)O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分別是OC、OD的中點(diǎn)．求證：(1)△AOC≌△BOD；(2)四邊形AFBE是平行四邊形．
證明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.又∵∠COA=∠DOB，AO＝BO ，∴△AOC≌△BOD(AAS)；(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.∵E、F分別是OC、OD的中點(diǎn)，∴EO＝FO.又∵AO＝BO，∴四邊形AFBE是平行四邊形．
已知平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A(-1,-1),B(2,-1),C(1,2),在坐標(biāo)系內(nèi)找一點(diǎn)D，使得以A,B,C,D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.
平行四邊形的判定（1）
定義法:兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形.
對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
1.能判定四邊形ABCD是平行四邊形的條件：∠A:∠B:∠C:∠D的值為（　　）
A. 1:2:3:4
B. 1:4:2:3
C. 1:2:2:1
D. 3:2:3:2
2.根據(jù)下列條件,不能判定四邊形為平行四邊形的是 ( )A.兩組對邊分別相等 B.兩條對角線互相平分C.兩條對角線相等 D.兩組對邊分別平行
3.如圖，四邊形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，下列哪組條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形（　?。〢．OA=OC，OB=OD B．AB=CD，AO=CO C．AB=CD，AD=BC D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD
4.如圖，在△ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側(cè)作等邊△ABD、等邊△ACE、等邊△BCF.試說明四邊形DAEF是平行四邊形．
解：∵△ABD和△FBC都是等邊三角形，∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°， ∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，∴△ABC≌△DBF(SAS)，∴AC＝DF＝AE.同理可證△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四邊形DAEF是平行四邊形．

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18.1.2 平行四邊形的判定

版本： 人教版（2024）

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