1.如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊 為c，那么
a2 + b2 = c2
即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.
在直角三角形中才可以運用
2.勾股定理的應(yīng)用條件
3.勾股定理表達(dá)式的常見變形： a2＝c2－b2, b2＝c2－a2，
如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2 +b2=c2 ，那么這個三角形是直角三角形.
滿足a2 +b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).
如果兩個命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反，那么把其中一個叫做原命題，另一個叫做它的逆命題.
例1 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15.（1）求AB的長；（2）求BD的長．
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，（2）方法一：∵S△ABC= AC?BC= AB?CD，∴20×15=25CD，∴CD=12．∴在Rt△BCD中，
方法二：設(shè)BD=x,則AD=25-x.
解得x=9.∴BD=9.
對于本題類似的模型，若已知兩直角邊求斜邊上的高常需結(jié)合面積的兩種表示方法來考查，若是同本題(2)中兩直角三角形共一邊的情況，還可利用勾股定理列方程求解.
1.Rt△ABC中，斜邊BC=2，則AB2+AC2+BC2的值為 （　　）A.8 B.4 C.6 D.無法計算
3.一直角三角形的三邊分別為2、3、x，那么以x為邊長的正方形的面積為___________.
2.如圖，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，則AD的長為______．
4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a +b=14cm， c=10cm，求△ABC的面積.
解：∵a+b=14，∴(a+b)2=196.又∵a2+b2=c2=100，∴2ab=196-(a2+b2)=96，∴ ab=24，即△ABC的面積為24．
例2 我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，請問這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少？
解：如圖，設(shè)水池的水深A(yù)C為x尺， 則這根蘆葦長AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺，
由勾股定理得BC2+AC2=AB2,
即 52+ x2= (x+1)2
25+ x2= x2+2x+1，
∴ x=12， x+1=13.
答：水池的水深12尺，這根蘆葦長13尺.
例3 如圖所示，一只螞蟻從實心長方體的頂點A出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點C1處，問怎樣走路線最短？最短路線長為多少？
解析：螞蟻由A點沿長方體的表面爬行到C1點，有三種方式：
①沿ABB1A1和A1 B1C1D1面；②沿ABB1A1和BCC1B1面；③沿AA1D1D和A1B1C1D1面，把三種方式分別展成平面圖形，如下：
解：?在Rt△ABC1中，
?在Rt△ACC1中，
?在Rt△AB1C1中，
∴沿路徑?走路徑最短，最短路徑長為5.
化折為直：長方體中求兩點之間的最短距離，展開方法有多種，一般沿最長棱展開，距離最短.
5.現(xiàn)有一長5米的梯子架靠在建筑物的墻上，它們的底部在地面的水平距離是3米，則梯子可以到達(dá)建筑物的高度是______米．
在Rt△ABO中，OA＝2米，DC＝OB＝1.4米，∴AB2＝22－1.42＝2.04.∵4－2.6＝1.4，1.42＝1.96，2.04＞1.96，答：卡車可以通過，但要小心．
解：如圖，過半圓直徑的中點O，作直徑的垂線交下底邊于點D，取點C，使CD＝1.4米，過C作OD的平行線交半圓直徑于B點，交半圓于A點.
6.如圖，某住宅社區(qū)在相鄰兩樓之間修建一個上方是一個半圓，下方是長方形的仿古通道，現(xiàn)有一輛卡車裝滿家具后，高4米，寬2.8米，請問這輛送家具的卡車能否通過這個通道？
7.在O處的某海防哨所發(fā)現(xiàn)在它的北偏東60°方向相距1000米的A處有一艘快艇正在向正南方向航行，經(jīng)過若干小時后快艇到達(dá)哨所東南方向的B處.（1）此時快艇航行了多少米(即AB 的長)？
解：根據(jù)題意得∠AOC=30°，∠COB=45°，AO=1000米.∴AC=500米，BC=OC. 在Rt△AOC中，由勾股定理得∴BC=OC=
在O處的某海防哨所發(fā)現(xiàn)在它的北偏東60°方向相距1000米的A處有一艘快艇正在向正南方向航行，經(jīng)過若干小時后快艇到達(dá)哨所東南方向的B處.（2）距離哨所多少米（即OB的長） ？
解：在Rt△BOC中，由勾股定理得
例4 在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b， ，2c-b=12，求△ABC的面積．
解：由題意可設(shè)a=3k，則b=4k，c=5k，∵2c-b=12，∴10k-4k=12，∴k=2，∴a=6，b=8，c=10，∵62+82=102，∴a2+b2=c2，∴△ABC為直角三角形，∴△ABC的面積為 ×6×8=24．
例5 B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60°方向以每小時8 n mile的速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某個角度以每小時15 n mile的速度前進(jìn)，2 h后，甲船到M島，乙船到P島，兩島相距34 n mile，你知道乙船是沿哪個方向航行的嗎？
解：甲船航行的距離為BM= 16（n mile）,乙船航行的距離為BP= 30（n mile）．∵162+302=1156，342=1156,∴BM2+BP2=MP2,∴△MBP為直角三角形，∴∠MBP=90° ,∴乙船是沿著南偏東30°方向航行的．
8.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的為（　?。〢．1，2，3B．4，5，6C．3，4，5D．7，8，9
9.已知下列圖形中的三角形的頂點都在正方形的格點上，可以判定三角形是直角三角形的有________．
10.如圖，在四邊形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．猜想∠A與∠C的關(guān)系，并加以證明．
解：猜想∠A+∠C=180°．連接AC.∵∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得 ∵AD2+DC2=625=252=AC2，∴△ADC是直角三角形，且∠D=90°，∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°，∴∠DAB+∠BCD=180°，即∠A+∠C=180°．
例6 如圖，在長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點D與點B重合，折痕為EF，求△ABE的面積.
解：∵將長方形折疊，使點D與點B重合，∴ED=BE.設(shè)AE=xcm，則ED=BE=(9-x)cm，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，∴32+x2=(9-x)2，解得x=4.∴△ABE的面積為3×4× =6(cm2).
勾股定理可以直接解決直角三角形中已知兩邊求第三邊的問題；如果只知一邊和另兩邊的關(guān)系時，也可用勾股定理求出未知邊，這時往往要列出方程求解．
11.如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6 cm，BC＝8 cm，將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕是DE，則CD的長為 ．
考點四 本章解題思想方法
例7 如圖，在△ABC中，AB=17，BC=9，AC=10，AD⊥BC于D.試求△ABC的面積．
解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB2-BD2=AD2，AC2-CD2=AD2，設(shè)DC=x，則BD=9+x，故172-(9+x)2=102-x2，解得x=6.∴AD2= AC2?CD2 = 64，∴AD=8.∴S△ABC= ×9×8=36．
解：當(dāng)高AD在△ABC內(nèi)部時，如圖①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周長為25＋20＋15＝60.
例8 在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD為BC邊上的高，且AD＝12，求△ABC的周長．
題中未給出圖形，作高構(gòu)造直角三角形時，易漏掉鈍角三角形的情況．如在本例題中，易只考慮高AD在△ABC內(nèi)的情形，忽視高AD在△ABC外的情形．
當(dāng)高AD在△ABC外部時，如圖②.同理可得 BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周長為7＋20＋15＝42.綜上所述，△ABC的周長為42或60.
例9 有一圓柱體高為8cm，底面圓的半徑為2cm，如圖.在AA1上的點Q處有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1上的點P處有一只蒼蠅，PB=2cm．求蜘蛛爬行的最短路徑長(π取3).
解：如圖,沿AA1剪開,過Q作QM⊥BB1于M,連接QP.則PM=8-3-2=3(cm)，QM=A1B1= ×2×π×2=6(cm)，在Rt△QMP中，由勾股定理得答：蜘蛛爬行的最短路徑長是 cm．

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