《第十章 概率 》 章末綜合 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 核心知識(shí)歸納 1.頻率與概率 頻率是概率的近似值，是隨機(jī)的，隨著試驗(yàn)的不同而變化；概率是多次的試驗(yàn)中頻率的穩(wěn)定值，是一個(gè)常數(shù)，不要用一次或少數(shù)次試驗(yàn)中的頻率來估計(jì)概率. 2.求較復(fù)雜概率的常用方法 (1)將所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥的事件的和； (2)先求其對(duì)立事件的概率，然后再應(yīng)用公式P(A)＝1－P(eq \o(A,\s\up6(－)))求解. 3.古典概型概率的計(jì)算 關(guān)鍵要分清樣本點(diǎn)的總數(shù)n與事件A包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)k，再利用公式P(A)＝eq \f(k,n)求解.有時(shí)需要用列舉法把樣本點(diǎn)一一列舉出來，在列舉時(shí)必須按某一順序做到不重不漏. 三、典型例題 1.隨機(jī)事件的概率 【例1】假設(shè)甲乙兩種品牌的同類產(chǎn)品在某地區(qū)市場(chǎng)上銷售量相等,為了解它們的使用壽命,現(xiàn)從這兩種品牌的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行測(cè)試,結(jié)果統(tǒng)計(jì)如圖所示: (1)估計(jì)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時(shí)的概率. (2)這兩種品牌產(chǎn)品中,某個(gè)產(chǎn)品已使用了200小時(shí),試估計(jì)該產(chǎn)品是甲品牌的概率. 解：(1)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時(shí)的頻率為 QUOTE = QUOTE ,用頻率估計(jì)概率,所以甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時(shí)的概率為 QUOTE . (2)根據(jù)抽樣結(jié)果,壽命大于200小時(shí)的產(chǎn)品共有75+70=145(個(gè)),其中甲品牌產(chǎn)品是75個(gè),所以在樣本中,壽命大于200小時(shí)的產(chǎn)品是甲品牌的頻率是 QUOTE = QUOTE ,用頻率估計(jì)概率,所以已使用了200小時(shí)的該產(chǎn)品是甲品牌的概率為 QUOTE . 【類題通法】對(duì)于概率的定義應(yīng)注意以下幾點(diǎn) (1)求一個(gè)事件的概率的基本方法是通過大量的重復(fù)試驗(yàn). (2)只有當(dāng)頻率在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)時(shí)，這個(gè)常數(shù)才叫做事件A的概率. (3)概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值. (4)概率反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小. (5)必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，故0≤P(A)≤1. 【鞏固訓(xùn)練1】下表是某種油菜籽在相同條件下的發(fā)芽試驗(yàn)結(jié)果表，請(qǐng)完成表格并回答問題． (1)完成上面表格； (2)估計(jì)該油菜籽發(fā)芽的概率是多少？ 解：(1)從左到右依次填入：1,0.8,0.9,0.857，0.892，0.897,0.898,0.897,0.896. (2)由于每批種子發(fā)芽的頻率穩(wěn)定在0.897附近，所以估計(jì)該油菜籽發(fā)芽的概率為0.897. 2.　概率的性質(zhì) 【例2】一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1，2，3，4. (1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率. (2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回袋中，然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n，求nP(A)，所以丙獲得合格證書的可能性大. (2)設(shè)“三人考試后恰有兩人獲得合格證書”為事件D，則 P(D)＝P(ABeq \o(C,\s\up6(－)))＋P(Aeq \o(B,\s\up6(－))C)＋P(eq \o(A,\s\up6(－))BC) ＝eq \f(2,5)×eq \f(1,2)×eq \f(4,9)＋eq \f(2,5)×eq \f(1,2)×eq \f(5,9)＋eq \f(3,5)×eq \f(1,2)×eq \f(5,9)＝eq \f(11,30). 【類題通法】計(jì)算相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟 (1)先用字母表示出事件，再分析題中涉及的事件，把這些事件分為若干個(gè)彼此互斥的事件的和； (2)根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式計(jì)算出這些彼此互斥的事件的概率； (3)根據(jù)互斥事件的概率加法公式求出結(jié)果. 【鞏固訓(xùn)練4】甲、乙兩人進(jìn)行跳繩比賽，規(guī)定：若甲贏一局，比賽結(jié)束，甲勝出；若乙贏兩局，比賽結(jié)束，乙勝出.已知在一局比賽中甲、乙兩人獲勝的概率分別為eq \f(2,5)，eq \f(3,5)，則甲勝出的概率為________. 解析：法一：甲勝的情況：①舉行一局比賽，甲勝出，比賽結(jié)束；②舉行兩局比賽，第一局乙勝、第二局甲勝.①②的概率分別為eq \f(2,5)，eq \f(3,5)×eq \f(2,5)，且這兩個(gè)事件是互斥的，所以甲勝出的概率為eq \f(2,5)＋eq \f(3,5)×eq \f(2,5)＝eq \f(16,25). 法二：因?yàn)楸荣愔挥屑讋俪龊鸵覄俪鰞蓚€(gè)結(jié)果，而乙勝出的情況只有一種，舉行兩局比賽都是乙勝，其概率為eq \f(3,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(9,25)，所以甲勝出的概率為1－eq \f(9,25)＝eq \f(16,25). 答案：eq \f(16,25) 5.概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用 例5.某班同學(xué)利用國(guó)慶節(jié)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，對(duì)[25,55]歲的人群隨機(jī)抽取n人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下表和各年齡段人數(shù)的頻率分布直方圖： (1)補(bǔ)全頻率分布直方圖并求n，a，p的值； (2)從年齡段在[40,50)的“低碳族”中采用樣本量按比例分配的分層抽樣法抽取6人參加戶外低碳體驗(yàn)活動(dòng)，其中選取2人作為領(lǐng)隊(duì)，求選取的2名領(lǐng)隊(duì)中恰有1人年齡在[40,45)歲的概率． 解：(1)第二組的頻率為1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高為eq \f(0.3,5)＝0.06.頻率直方圖如下： 第一組的人數(shù)為eq \f(120,0.6)＝200，頻率為0.04×5＝0.2，所以n＝eq \f(200,0.2)＝1 000. 由題可知，第二組的頻率為0.3，所以第二組的人數(shù)為1 000×0.3＝300，所以p＝eq \f(195,300)＝0.65.第四組的頻率為0.03×5＝0.15，所以第四組的人數(shù)為1 000×0.15＝150，所以a＝150×0.4＝60. (2)因?yàn)閇40,45)歲年齡段的“低碳族”與[45,50)歲年齡段的“低碳族”的比值為60:30＝2:1， 所以采用樣本量按比例分配的分層抽樣法抽取6人，[40,45)歲中抽4人，[45,50)歲中抽2人． 設(shè)[40,45)歲中抽的4人為a，b，c，d，[45,50)歲中抽的2人為m，n，則選取2人作為領(lǐng)隊(duì)對(duì)應(yīng)的樣本空間={(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)}，共有15個(gè)樣本點(diǎn)；其中恰有1人年齡在[40,45)歲的有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，共8樣本點(diǎn)． 所以選取的2名領(lǐng)隊(duì)中恰有1人年齡在[40,45)歲的概率為eq \f(8,15). 【類題通法】概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用的關(guān)注點(diǎn) 概率與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合，所涉及的統(tǒng)計(jì)知識(shí)是基礎(chǔ)知識(shí)，所涉及的概率往往是古典概型，雖然是綜合題，但是難度不大.在解決問題時(shí),要求對(duì)圖表進(jìn)行觀察、分析、提煉,挖掘出圖表所給予的有用信息,排除有關(guān)數(shù)據(jù)的干擾,進(jìn)而抓住問題的實(shí)質(zhì),達(dá)到求解的目的. 【鞏固練習(xí)5】為了加強(qiáng)中學(xué)生實(shí)踐、創(chuàng)新和團(tuán)隊(duì)建設(shè)能力的培養(yǎng)，促進(jìn)教育教學(xué)改革，市教育局舉辦了全市中學(xué)生創(chuàng)新知識(shí)競(jìng)賽．某中學(xué)舉行了選拔賽，共有150名學(xué)生參加，為了了解成績(jī)情況，從中抽取50名學(xué)生的成績(jī)(得分均為整數(shù)，滿分為100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，清你根據(jù)尚未完成的頻率分布表，解答下列問題： (1)完成頻率分布表(直接寫出結(jié)果)，并作出頻率分布直方圖； (2)若成績(jī)?cè)?0.5分以上的學(xué)生獲一等獎(jiǎng)，試估計(jì)全校獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)，現(xiàn)在從全校所有獲一等獎(jiǎng)的同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)代表學(xué)校參加競(jìng)賽，某班共有2名同學(xué)榮獲一等獎(jiǎng)，求該班同學(xué)恰有1人參加競(jìng)賽的概率. 解：(1)頻率分布表如下： 頻率分布直方圖如圖． (2)獲一等獎(jiǎng)的概率約為0.04，所以獲一等獎(jiǎng)的人數(shù)估計(jì)為150×0.04＝6(人)． 記這6人為A1，A2，B，C，D，E，其中，A1，A2為該班獲一等獎(jiǎng)的同學(xué)． 從全校所有獲一等獎(jiǎng)的同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)代表學(xué)校參加競(jìng)賽，對(duì)應(yīng)的樣本空間={(A1，A2)，(A1，B)，(A1，C)，(A1，D)，(A1，E)，(A2，B)，(A2，C)，(A2，D)，(A2，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)},共有15個(gè)樣本點(diǎn)． 該班同學(xué)中恰有1人參加競(jìng)賽，包含8個(gè)樣本點(diǎn)：(A1，B)，(A1，C)，(A1，D)，(A1，E)，(A2，B)，(A2，C)，(A2，D)，(A2，E)． 所以該班同學(xué)中恰有1人參加競(jìng)賽的概率P＝eq \f(8,15). 操作演練 素養(yǎng)提升 1.壇子中放有3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中進(jìn)行不放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，則A1和A2是(　　) A．互斥事件　　　 　B．相互獨(dú)立事件 C．對(duì)立事件 D．不相互獨(dú)立事件 解析：由互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件的定義可知，A1與A2不互斥也不對(duì)立，同時(shí)A1與A2也不相互獨(dú)立． 答案：D 2.集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，從A，B中各任意取一個(gè)數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是(　　) A.eq \f(2,3)　　　　B.eq \f(1,2)　　　 　C.eq \f(1,3)　　　　D.eq \f(1,6) 解析:從A，B中各任取一個(gè)數(shù)有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共有6個(gè)樣本點(diǎn)，滿足兩數(shù)之和等于4的有(2,2)，(3,1)，有2個(gè)樣本點(diǎn)，所以P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3). 答案:　C 3.若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機(jī)會(huì)均等，則甲或乙被錄用的概率為(　　) A.eq \f(2,3) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(9,10) 解析：由題意，從五位大學(xué)畢業(yè)生中錄用三人，對(duì)應(yīng)的樣本空間={(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，共有10個(gè)樣本點(diǎn)，其中“甲與乙均未被錄用”包含的樣本點(diǎn)只有(丙，丁，戊)這1個(gè)，故其對(duì)立事件“甲或乙被錄用”包含的樣本點(diǎn)有9個(gè)，所求概率P＝eq \f(9,10). 答案：D 4.某市某校在秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)中，安排了籃球投籃比賽，現(xiàn)有20名同學(xué)參加籃球投籃比賽，已知每名同學(xué)投進(jìn)的概率均為0.4；每名同學(xué)有2次投籃機(jī)會(huì)，且各同學(xué)投籃之間沒有影響；現(xiàn)規(guī)定：投進(jìn)兩個(gè)得4分，投進(jìn)一個(gè)得2分，一個(gè)未進(jìn)得0分，則其中一名同學(xué)得2分的概率為（　?。?A．0.5 B．0.48 C．0.4 D．0.32 解析：設(shè)“第一次投進(jìn)球”為事件A，“第二次投進(jìn)球”為事件B，則得2分的概率為P＝P（AB）+P（B）＝0.4×0.6+0.6×0.4＝0.48． 答案：B 五、課堂小結(jié)，反思感悟 1.知識(shí)總結(jié)： 2.學(xué)生反思： （1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？ （2）在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？ 六、作業(yè)布置 完成教材：第263頁(yè) 復(fù)習(xí)參考題10 第1，2，3,4,5,6,7,8,9題 七、課堂記錄 八、教學(xué)反思 血型ABABO該血型的人所占比例(%)2829835地區(qū)ABC數(shù)量50150100分組頻數(shù)頻率第1組60.5～70.50.26第2組70.5～80.517第3組80.5～90.5180.36第4組90.5～100.5合計(jì)501 分組頻數(shù)頻率第1組60.5～70.5130.26第2組70.5～80.5170.34第3組80.5～90.5180.36第4組90.5～100.520.04合計(jì)501 

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