《第九章 統(tǒng)計 》 章末綜合 教學(xué)設(shè)計 一、知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 核心知識歸納 1.簡單隨機抽樣 包括放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機抽樣.通過簡單隨機抽樣獲得的樣本稱為簡單隨機樣本. 2.抽簽法 先把總體中的個體編號，然后把所有編號寫在外觀、質(zhì)地等無差別的小紙片(也可以是卡片、小球等)上作為號簽，并將這些小紙片放在一個不透明的盒里，充分?jǐn)嚢?最后從盒中不放回地抽取號簽，使與號簽上的編號對應(yīng)的個體進入樣本，直到抽足樣本所需要的個體數(shù). 3.隨機數(shù)法 先把總體中的個體編號，用隨機數(shù)工具產(chǎn)生與總體中個體數(shù)量相等的整數(shù)隨機數(shù)，把產(chǎn)生的隨機數(shù)作為抽中的編號，并剔除重復(fù)的編號，直到抽足樣本所需要的個體數(shù). 4.分層隨機抽樣 一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣，每一個子總體稱為層. 5.獲取數(shù)據(jù)的基本途徑 (1)通過調(diào)查獲取數(shù)據(jù)；(2)通過觀察獲取數(shù)據(jù)；(3)通過試驗獲取數(shù)據(jù)；(4)通過查詢獲取數(shù)據(jù). 6.常用的統(tǒng)計圖表 扇形圖、條形圖、頻數(shù)分布直方圖、折線圖、頻率分布直方圖. 7.畫頻率分布直方圖的步驟 (1)求極差；(2)決定組距與組數(shù)；(3)將數(shù)據(jù)分組；(4)列頻率分布表；(5)畫頻率分布直方圖. 8.第p百分位數(shù) (1)定義：一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值. (2)計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟 第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù). 第2步，計算i＝n×p%. 第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i＋1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù). 9.眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義 (1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù). (2)中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處于中間位置的數(shù).如果個數(shù)是偶數(shù)，則取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù). (3)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)個數(shù)所得到的數(shù). 10.一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差和標(biāo)準(zhǔn)差 數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為eq \f(1,n)eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1)) (xi－eq \o(x,\s\up6(－)))2＝eq \f(1,n)eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq \o\al(2,i)－eq \o(x,\s\up6(－))2，標(biāo)準(zhǔn)差為eq \r(\f(1,n)\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1)) （xi－\o(x,\s\up6(－))）2). 三、典型例題 1.抽樣方法的應(yīng)用 【例1】某單位有2 000名職工，老年、中年、青年分布在管理、技術(shù)開發(fā)、營銷、生產(chǎn)各部門中，如下表所示： (1)若要抽取40人調(diào)查身體狀況，則應(yīng)怎樣抽樣？ (2)若要開一個25人的討論單位發(fā)展和薪金調(diào)整方面的座談會，則應(yīng)怎樣抽選出席人？ (3)若要抽20人調(diào)查對廣州亞運會舉辦情況的了解，則應(yīng)怎樣抽樣？ 解：(1)按老年、中年、青年分層，用比例分配的分層抽樣法抽取，分配比例為eq \f(40,2 000)＝eq \f(1,50). 故老年人、中年人、青年人分別抽取4人、12人、24人． (2)按管理、技術(shù)開發(fā)、營銷、生產(chǎn)分層，用比例分配的分層抽樣法抽?。峙浔壤秊?eq \f(25,2 000)＝eq \f(1,80)， 故管理、技術(shù)開發(fā)、營銷、生產(chǎn)分別抽取2人、4人、6人、13人． (3)用隨機數(shù)法： 對全部2 000人隨機編號，號碼是1,2,3，…，2 000.利用信息技術(shù)生成20個不同的隨機數(shù)，把產(chǎn)生的隨機數(shù)作為抽中的編號，與編號對應(yīng)的20人就是要抽取的樣本． 【類題通法】1.抽樣方法有：簡單隨機抽樣、分層隨機抽樣. 2.兩種抽樣方法比較 【鞏固訓(xùn)練1】　某網(wǎng)站就觀眾對春晚小品類節(jié)目的喜愛程度進行網(wǎng)上調(diào)查，其中持各種態(tài)度的人數(shù)如下表： 現(xiàn)用樣本量比例分配的分層隨機抽樣的方法從所有參與網(wǎng)上調(diào)查的觀眾中抽取了一個容量為n的樣本．若從不喜歡小品的觀眾中抽取的人數(shù)為5，求n的值． 解：由題可知，樣本容量與總體容量之比為eq \f(n,1 000)，則應(yīng)從不喜歡小品的觀眾中抽取的人數(shù)為eq \f(n,1 000)×200＝5，得n＝25.∴n的值為25. 2.　用樣本的取值規(guī)律估計總體 【例2】下表給出了某校500名12歲男孩中用隨機抽樣得出的120人的身高資料(單位：cm)： (1)列出樣本的頻率分布表(頻率保留兩位小數(shù))； (2)畫出頻率分布直方圖； (3)估計身高低于134 cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比. 解：(1)列出樣本頻率分布表： (2)畫出頻率分布直方圖，如圖所示. (3)因為樣本中身高低于134 cm的人數(shù)的頻率為 eq \f(5＋8＋10,120)＝eq \f(23,120)≈0.19. 所以估計身高低于134 cm的人數(shù)約占總?cè)藬?shù)的19%. 【類題通法】與頻率分布直方圖有關(guān)問題的常見類型及解題策略 (1)已知頻率分布直方圖中的部分?jǐn)?shù)據(jù)，求其他數(shù)據(jù)，可利用頻率和等于1求解. (2)已知頻率分布直方圖，求某種范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)，可利用圖形及某范圍結(jié)合求解. 【鞏固訓(xùn)練2】如圖所示的是某學(xué)校抽取的學(xué)生體重的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1∶2∶3，第2小組的頻數(shù)為10，則抽取的學(xué)生人數(shù)為(　　) A.20 B.30 C.40 D.50 【答案】C 【解析】前3組的頻率之和等于1－(0.012 5＋0.037 5)×5＝0.75，第2小組的頻率是0.75×eq \f(2,1＋2＋3)＝0.25，設(shè)樣本容量為n，則eq \f(10,n)＝0.25，則n＝40.故選C. 3.用樣本的百分位數(shù)估計總體 【例3】（2022·安徽淮北一中 ）某次數(shù)學(xué)考試后，抽取了20名同學(xué)的成績作為樣本繪制了頻率分布直方圖如下： 估計樣本數(shù)據(jù)的第一四分位數(shù)和第80百分位數(shù)（保留三位有效數(shù)字）． 解：由圖可知，，，，，對應(yīng)頻率分別為：0.1，0.15，0.35，0.3，0.1，前兩組頻率之和恰為0.25，故第一四分位數(shù)為70.0． 前三組頻率之和為0.6，前四組頻率之和為0.9，所以第80分位數(shù)在第四組． 設(shè)第80分位數(shù)為，則，解得． 【類題通法】1.四分位數(shù)：第25分位數(shù)，第50分位數(shù)，第75分位數(shù)，這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù). 2.由頻率分布直方圖求百分位數(shù)時，一般采用方程的思想，設(shè)出第p百分位數(shù)，根據(jù)其意義列出方程求解. 【鞏固訓(xùn)練3】（2022河北石家莊市高一月考）高一（1）班30名學(xué)生的一次數(shù)學(xué)考試成績按從小到大排序結(jié)果如下： 51 54 59 60 64 68 68 70 71 72 72 74 75 76 79 80 80 81 82 83 85 87 88 90 91 92 93 95 98 100 則估計這次數(shù)學(xué)考試成績的第75百分位數(shù)為（ ） A．87 B．88 C．90 D．87.5 【答案】B 【解析】由，可知樣本的第75百分位數(shù)為第23項數(shù)據(jù)， 據(jù)此估計這次數(shù)學(xué)考試成績的第75百分位數(shù)為88.故選B. 4.用樣本的集中趨勢、離散程度估計總體 【例4】根據(jù)某市所在地區(qū)的收入水平、消費水平等情況，擬將家庭年收入低于1.5萬元的家庭確定為“貧困戶”，家庭年收入在[6.5，7.5)萬元的家庭確定為“小康戶”，家庭年收入在[7.5，8.5]萬元的家庭確定為“富裕戶”，該市扶貧辦為了打好精準(zhǔn)脫貧攻堅戰(zhàn)，在所轄某縣的100萬戶家庭中隨機抽取200戶家庭，對其2018年的全年收入進行調(diào)查，抽查結(jié)果的頻率分布直方圖如圖所示. (1)求這200戶家庭的全年收入的樣本均值eq \o(x,\s\up6(－))和方差s2； (2)用樣本的頻率分布估計總體分布，估計該縣100萬戶家庭中“貧困戶”的數(shù)量. 解：(1)這200戶家庭的全年收入的樣本均值eq \o(x,\s\up6(－))＝1×0.06＋2×0.10＋3×0.14＋4×0.31＋5×0.30＋6×0.06＋7×0.02＋8×0.01＝4， 方差s2＝(－3)2×0.06＋(－2)2×0.10＋(－1)2×0.14＋02×0.31＋12×0.30＋22×0.06＋32×0.02＋42×0.01＝1.96. (2)由頻率分布直方圖可知，樣本中“貧困戶”的頻率為0.06，所以估計該縣100萬戶家庭中“貧困戶”的數(shù)量為100×0.06＝6(萬戶). 【類題通法】為了從整體上更好地把握總體規(guī)律，我們還可以通過樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)估計總體的集中趨勢，通過樣本數(shù)據(jù)的方差或標(biāo)準(zhǔn)差估計總體的離散程度.眾數(shù)就是樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個值；中位數(shù)就是把樣本數(shù)據(jù)按照由小到大(或由大到小)的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，中位數(shù)為處于中間位置的數(shù)，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，中位數(shù)為中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)；平均數(shù)就是所有樣本數(shù)據(jù)的平均值，用eq \o(x,\s\up6(－))表示；標(biāo)準(zhǔn)差是反映樣本數(shù)據(jù)分散程度大小的最常用統(tǒng)計量，其計算公式是 s＝ eq \r(\f(1,n)[（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2]).有時也用標(biāo)準(zhǔn)差的平方(方差)來代替標(biāo)準(zhǔn)差. 【鞏固訓(xùn)練4】　某市有210名初中生參加數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽，隨機調(diào)閱了60名學(xué)生的答卷，成績?nèi)缦卤恚?(1)求樣本的平均成績和標(biāo)準(zhǔn)差(精確到0.01分)； (2)若規(guī)定預(yù)賽成績在7分或7分以上的學(xué)生參加復(fù)賽，試估計有多少名學(xué)生可以進入復(fù)賽？ 解：(1)eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,60)×(4×6＋5×15＋6×21＋7×12＋8×3＋9×3)＝6， s2＝eq \f(1,60)×[6×(4－6)2＋15×(5－6)2＋21×(6－6)2＋12×(7－6)2＋3×(8－6)2＋3×(9－6)2]＝1.5， 所以s≈1.22， 故樣本的平均成績?yōu)?分，標(biāo)準(zhǔn)差約為1.22分. (2)在60名選手中，有12＋3＋3＝18(名)學(xué)生預(yù)賽成績在7分或7分以上，所以估計210人中有eq \f(18,60)×210＝63(名)學(xué)生的預(yù)賽成績在7分或7分以上，故大約有63名學(xué)生可以進入復(fù)賽. 操作演練 素養(yǎng)提升 1.在某時段由輛車通過一個雷達(dá)測速點，工作人員將測得的車速繪制成如圖所示的條形統(tǒng)計圖，則這輛車的車速的眾數(shù)（單位：）為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由條形圖知：個數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的為，所以眾數(shù)為.故選C. 2.（2022·廣東·仲元中學(xué)高一期末）已知10個數(shù)據(jù)：4，5，6，7，8，8.5，9，10，11，11.5，則這組數(shù)據(jù)第40百分位數(shù)是（ ） A．8 B．7 C．8.5 D．7.5 【答案】D 【解析】因為從小到大排列為4，5，6，7，8，8.5，9，10，11，11.5，共10個數(shù)據(jù)，， 所以這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)是第4項與第5項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即，故選D. 3.（多選題）（2022·江蘇如皋市高一月考）為了提升小學(xué)生的運算能力，某市舉辦了“小學(xué)生計算大賽”，并從中選出“計算小達(dá)人”.現(xiàn)從全市參加比賽的學(xué)生中隨機抽取人的成績進行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中成績的分組區(qū)間為、、、.規(guī)定得分在分及以上的被評為“計算小達(dá)人”.下列說法正確的是（ ） A．的值為 B．該市每個小學(xué)生被評為“計算小達(dá)人”的頻率為 C．被抽取的名小學(xué)生的均分大約是分 D．現(xiàn)準(zhǔn)備在這名學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本，則須抽取成績?yōu)榈膶W(xué)生人 【答案】AD 【解析】對于A選項，由頻率分布直方圖可知，解得，A對； 對于B選項，該市每個小學(xué)生被評為“計算小達(dá)人”的概率為，B錯； 對于C選項，被抽取的名小學(xué)生的均分大約是分，C錯； 對于D選項，現(xiàn)準(zhǔn)備在這名學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取一個容量為的樣本，則須抽取成績?yōu)榈膶W(xué)生人數(shù)為，D對.故選AD. 4.（多選題）（2022·湖南婁底市婁星區(qū)高一期中）已知某樣本的容量為50，平均數(shù)為70，方差為75.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時，其中的兩個數(shù)據(jù)記錄有誤，一個錯將80記錄為60，另一個錯將70記錄為90在對錯誤的數(shù)據(jù)進行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為，方差為，則（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】設(shè)除記錯以外的數(shù)據(jù)為，， 因為 所以 所以 所以.故選AC. 答案：1.C 2.D 3. AD 4. AC 五、課堂小結(jié)，反思感悟 1.知識總結(jié)： 2.學(xué)生反思： （1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？ （2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？ 六、作業(yè)布置 完成教材：第222頁 復(fù)習(xí)參考題9 第1，2，3,4,5,6,7,8,9,10,11題 七、課堂記錄 八、教學(xué)反思 人數(shù)管理技術(shù)開發(fā)營銷生產(chǎn)共計老年40404080200中年80120160240600青年401602807201200小計16032048010402000喜歡程度喜歡一般不喜歡人數(shù)560240200區(qū)間界限[122，126)[126，130)[130，134)[134，138)[138，142)人數(shù)58102233區(qū)間界限[142，146)[146，150)[150，154)[154，158]人數(shù)201165分組頻數(shù)頻率[122，126)50.04[126，130)80.07[130，134)100.08[134，138)220.18[138，142)330.28[142，146)200.17[146，150)110.09[150，154)60.05[154，158]50.04合計1201.00成績1分2分3分4分5分6分7分8分9分10分人數(shù)0006152112330

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