?8.6.1 直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直教案
課題
直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直
單元
第八單元
學(xué)科
數(shù)學(xué)
年級(jí)
高二
教材分 析
本節(jié)內(nèi)容是空間直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直,由常見(jiàn)立體圖形導(dǎo)入,進(jìn)而引出本節(jié)要學(xué)的內(nèi)容。
教 學(xué)
目標(biāo)與核心素養(yǎng)
1.數(shù)學(xué)抽象:通過(guò)將實(shí)際物體抽象成空間圖形并觀察直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直關(guān)系。
2.邏輯推理:通過(guò)例題和練習(xí)逐步培養(yǎng)學(xué)生將理論應(yīng)用實(shí)際的。
3.數(shù)學(xué)建模:本節(jié)重點(diǎn)是數(shù)學(xué)中的形在講解時(shí)注重培養(yǎng)學(xué)生立體感及邏輯推理能力,有利于數(shù)學(xué)建模中推理能力。
4.空間想象:本節(jié)重點(diǎn)是考查學(xué)生空間想象能力。
重點(diǎn)
直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直,異面直線(xiàn)夾角
難點(diǎn)
直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直判定,求異面直線(xiàn)夾角
根據(jù)
教學(xué)過(guò)程
教學(xué)環(huán)節(jié)
教師活動(dòng)
學(xué)生活動(dòng)
設(shè)計(jì)意圖
導(dǎo)入新課
前面我們認(rèn)識(shí)了空間直線(xiàn)的平行關(guān)系,那么空間中的垂直又是什么樣的呢?

學(xué)生思考問(wèn)題,引出本節(jié)新課內(nèi)容。
問(wèn)題導(dǎo)入引出新知。
講授新課
1.探究:如圖在正方體ABCD-A’B’C’D’中,直線(xiàn)A’C’與直線(xiàn)AB,直線(xiàn)A’D’與直線(xiàn)AB都是異面直線(xiàn),直線(xiàn)A’C’與A’D’相對(duì)于直線(xiàn)AB的位置關(guān)系相同嗎?

根據(jù)實(shí)例觀察體會(huì)線(xiàn)線(xiàn)垂直

段煉學(xué)生空間想象能力

講授新課
不同
2.異面直線(xiàn)夾角:已知兩條異面直線(xiàn)a,b,經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O分別作a’//a,b’//b,我們把a(bǔ)’與b’所成角叫做異面直線(xiàn)a與b所成角(或夾角)
3.如果兩條異面直線(xiàn)夾角為90°,那我們就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直。記作a⊥b當(dāng)兩條直線(xiàn)平行時(shí)規(guī)定所成角為0°。所以異面直線(xiàn)所成角范圍0°≤α≤90°

4.想一想:在平面幾何中,垂直于同一直線(xiàn)的兩直線(xiàn)互相平行,在空間中這個(gè)結(jié)論還成立嗎?

不成立反例如圖。
5.練習(xí)一
1.異面直線(xiàn)所成的角的大小與O點(diǎn)的位置有關(guān),即O點(diǎn)位置不同時(shí),這一角的大小也不同.( )
2.異面直線(xiàn)a與b所成角可以是0°.( )
3.如果兩條平行直線(xiàn)中的一條與某一條直線(xiàn)垂直,那么另一條直線(xiàn)也與這條直線(xiàn)垂直.( )
注意: 1.異面直線(xiàn)所成的角的大小與O點(diǎn)的位置無(wú)關(guān).
2. 當(dāng)直線(xiàn)a與b所成角是0°時(shí),兩直線(xiàn)平行,即共面.
例一:如圖,已知正方體ABCD-A’B’C’D’
(1)哪些棱所在直線(xiàn)與直線(xiàn)AA’垂直?
(2)求直線(xiàn)BA’與CC’所成角的大小
(3)求直線(xiàn)BA’與AC所成角的大小

解(1)棱AB,BC,CD,DA,A’B’,B’C’,C’D’,D’A’所在直線(xiàn)分別與AA’垂直。
(2) 因?yàn)锳BCD-A’B’C’D’是正方體,所以BB’//CC’,因此∠A’BB’為直線(xiàn)BA’與CC’所成的角。又因?yàn)椤螦’BB’=45°,所以直線(xiàn)BA’與CC’所成角等于45°。
(3)如圖,連接A’C’,因?yàn)锳BCD-A’B’C’D’是正方體,所以AA’//CC’且AA’=CC’,從而四邊形AA’CC’是平行四邊形,所以AC//A’C’。于是∠BA’C’為異面直線(xiàn)BA’與AC所成的角。連接BC’,易知△A’BC’是等邊三角形,所以∠BA’C’=60°。從而異面直線(xiàn)BA’與AC所成角等于60°。

求兩條異面直線(xiàn)所成的角的一般步驟
(1)構(gòu)造角:根據(jù)異面直線(xiàn)的定義,通過(guò)作平行線(xiàn)或平移平行線(xiàn),作出異面直線(xiàn)夾角的相關(guān)角.
(2)計(jì)算角:求角度,常利用三角形.
(3)確定角:若求出的角是銳角或是直角,則它就是所求異面直線(xiàn)所成的角;若求出的角是鈍角,則它的補(bǔ)角就是所求異面直線(xiàn)所成的角.

6.例二:如圖在正方體ABCD-A’B’C’D’中,O’為底面A’B’C’D’的中心,求證:AO’⊥BD

證明:如圖,連接B’D’,∵ABCD-A’B’C’D’是正方體
∴BB’//DD’,BB’=DD’
∴四邊形BB’DD’是平行四邊形
∴B’D’//BD
∴直線(xiàn)AO’與B’D’所成角即為直線(xiàn)AO’與BD所成角
連接AB’,AD’易證AB’=AD’
又O’為底面A’B’C’D’的中心∴O’為B’D’的中點(diǎn)
∴AO’⊥B’D’,AO’⊥BD

7.例三
如圖所示,四面體A-BCD中,E,F(xiàn)分別是AB,CD的中點(diǎn).若BD,AC所成的角為60°,且BD=AC=2.求EF的長(zhǎng)度.

解:取BC中點(diǎn)O,連接OE,OF,如圖。
∵E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),∴OE//AC且OE=1/2AC,OF//AC且OF=1/2BD,∴OE與OF所成的銳角就是AC與BD所成的角
∵BD,AC所成角為60°,∴∠EOF=60°或120°∵BD=AC=2,
∴OE=OF=1當(dāng)∠EOF=60°時(shí),EF=OE=OF=1,當(dāng)∠EOF=120°時(shí),取EF的中點(diǎn)M,連接OM,則OM⊥EF,且∠EOM=60°∴EM= ,∴EF=2EM=

8.練習(xí)二
如圖是正方體的平面展開(kāi)圖,則在這個(gè)正方體中AB與CD的位置關(guān)系為( )
A.相交 B.平行 C.既不相交,也不平行 D.不能確定

解:由題,則正方體的直觀圖如圖所示,
易知, AB與CD既不平行,也不相交,
故選:C

9.練習(xí)三
四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面互相垂直,則異面直線(xiàn)AP與BD所成的角為_(kāi)______
解:畫(huà)出圖如圖所示,將AP平移到BE的位置,連接DE,則角DBE即是兩條異面直線(xiàn)所成的角.由于三角形BDE為等邊三角形,故兩條異面直線(xiàn)所成的角為60°
10.利用勾股定理證直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直
在棱長(zhǎng)為4的正四面體ABCD中,求異面直線(xiàn)AB和CD所成的角

解:取BC中點(diǎn)E,AC中點(diǎn)M,AD中點(diǎn)F,連接EM,MF,FE,FB,FC.MF//CD,EM//AB
∴∠EMF即異面直線(xiàn)AB和CD所成的角或其補(bǔ)角
MF=ME=2,EF=
∴MF2+ME2=EF2
∴∠EMF=90°
∴異面直線(xiàn)AB和CD的夾角是90°。
11.練習(xí)四
如圖,在正方體中,N,M,P分別是A1B1 ,CC1,AD的中點(diǎn),則異面直線(xiàn)D1N 與MP所成角的大小是( )
A 90° B 60° C 45° D 30°

課堂練習(xí)
一、已知長(zhǎng)方體ABCD- A1B1C1D1,AB=1,AD=2, AA1=1則異面直線(xiàn)A1B1與AC1所 成 角 的 余 弦 值 為_(kāi)_______
二、已知點(diǎn)M、N分別為正方體ABCD-A’B’C’D’的棱A’B’與AA’的中點(diǎn),平面DNM與平面ABCD的交線(xiàn)記為l,則l與C’M所成角的大小為_(kāi)_____
三、在正方體ABCD-A’B’C’D’中,直線(xiàn)AC’與B’D’的夾角是多少?




探究異面直線(xiàn)夾角

















學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)一







學(xué)生獨(dú)立思考例一
































讓學(xué)生總結(jié)求異面直線(xiàn)夾角的步驟






學(xué)生獨(dú)立思考例二


























小組討論例三并給出答案


















做一做























































獨(dú)立完成練習(xí)




掌握異面直線(xiàn)所成角范圍

















段煉學(xué)生解決問(wèn)題能力,培養(yǎng)其空間想象能力






段煉學(xué)生空間想象能力
































段煉學(xué)生總結(jié)能力,有助有數(shù)學(xué)建模









加深對(duì)知識(shí)的掌握



























培養(yǎng)其邏輯推理能力













通過(guò)練習(xí)逐步培養(yǎng)學(xué)生將理論應(yīng)用實(shí)際的。






















































加深對(duì)本節(jié)新知的掌握






課堂小結(jié)
1 異面直線(xiàn)夾角
2 平面與平面平行性質(zhì)
3.求異面直線(xiàn)夾角
學(xué)生對(duì)本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)。
學(xué)生對(duì)于新知建立系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。
板書(shū)
目標(biāo)
1 異面直線(xiàn)夾角
2 平面與平面平行性質(zhì)
3. 求異面直線(xiàn)夾角
精講 習(xí)題
1 異面直線(xiàn)夾角
2 平面與平面平行性質(zhì)
3.求異面直線(xiàn)夾角







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8.6 空間直線(xiàn)、平面的垂直

版本: 人教A版 (2019)

年級(jí): 必修 第二冊(cè)

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