一、教學(xué)目標(biāo)
1.會(huì)用圖形表示兩條直線(xiàn)異面，理解并掌握異面直線(xiàn)所成角的定義，熟記異面直線(xiàn)所成角的范圍.
2.會(huì)用平移轉(zhuǎn)換法求異面直線(xiàn)所成的角，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力、邏輯推理的能力，學(xué)生初步掌握將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想.

二、教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：異面直線(xiàn)的判定與異面直線(xiàn)所成的角的概念．
難點(diǎn)：求兩異面直線(xiàn)所成的角．

三、教學(xué)過(guò)程
（一）創(chuàng)設(shè)情境
觀看視頻，你能舉例出生活中可以抽象成異面直線(xiàn)的例子嗎？(學(xué)生舉例)
想一想：如何刻畫(huà)兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系呢？
師生活動(dòng)：教師展示生活中給我們異面直線(xiàn)的實(shí)例，讓學(xué)生也例舉生活中的實(shí)例. 之后提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考如何將其數(shù)學(xué)化，用數(shù)學(xué)的量來(lái)表示.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)直觀觀察，結(jié)合身邊的事物引出數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生會(huì)感到親切、生動(dòng)、真實(shí)、易于接受. 同時(shí)，能使他們體會(huì)到生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)就在我們身邊，我們生活在充滿(mǎn)數(shù)學(xué)信息的現(xiàn)實(shí)世界中. 能促進(jìn)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去觀察和認(rèn)識(shí)周?chē)氖挛铮行У拇龠M(jìn)知識(shí)的遷移.
（二）探究新知
任務(wù)1：請(qǐng)用結(jié)構(gòu)圖梳理空間中兩直線(xiàn)的位置關(guān)系.
合作探究：1.先獨(dú)立梳理結(jié)構(gòu)圖2分鐘
2.小組內(nèi)交流討論補(bǔ)全完善自己的結(jié)構(gòu)圖
3.以小組為單位進(jìn)行展示匯報(bào)
師生活動(dòng)：小組內(nèi)交流，并匯報(bào)展示.
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)之前知識(shí)的梳理，明確這節(jié)課要突破和學(xué)習(xí)的重點(diǎn)知識(shí)內(nèi)容.
任務(wù)2：探究異面直線(xiàn)所成的角的定義
探究：在正方體ABCD?A′B′C′D′中，E為BC的中點(diǎn)，直線(xiàn)A′C′、A′D′、C′E與直線(xiàn)AB的位置關(guān)系分別是什么？直線(xiàn)A′C′、A′D′、C′E相對(duì)于直線(xiàn)AB的位置相同嗎?如果不同，如何表示這種差異呢?
要求：以小組為單位進(jìn)行討論交流，并匯報(bào)
答：觀察圖形，不難判斷：直線(xiàn)A'C'、A'D'、C'E與直線(xiàn)AB均異面．
雖然直線(xiàn)A'C'、A'D'、C'E都與直線(xiàn)AB異面，但它們各自與直線(xiàn)AB的相對(duì)位置不同，這說(shuō)明，僅用“異面”不足以描述異面直線(xiàn)的相對(duì)位置．
我們知道，平面內(nèi)兩條直線(xiàn)相交形成4個(gè)角，其中不大于90°的角稱(chēng)為這兩條直線(xiàn)所成的角（或夾角），它刻畫(huà)了一條直線(xiàn)相對(duì)于另一條直線(xiàn)傾斜的程度．類(lèi)似地，我們也可以用“異面直線(xiàn)所成的角”來(lái)刻畫(huà)兩條異面直線(xiàn)的位置關(guān)系．
說(shuō)一說(shuō)：類(lèi)比兩相交直線(xiàn)所成的角，你能給出異面直線(xiàn)所成角的定義嗎？如何用圖形語(yǔ)言來(lái)表示異面直線(xiàn)所成的角？
如圖，已知兩條異面直線(xiàn)a，b，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O分別作直線(xiàn)a'∥a，b'∥b，我們把直線(xiàn)a'與b'所成的角叫做異面直線(xiàn)a與b所成的角（或夾角）．
思考：直線(xiàn)a，b所成角的大小與點(diǎn)O的位置有關(guān)嗎？
答：無(wú)關(guān)，因?yàn)槠揭撇桓淖儍蓷l直線(xiàn)所成的角．因此，求異面直線(xiàn)a，b所成的角時(shí)，為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)O常取在兩條異面直線(xiàn)中的一條上．例如：取在直線(xiàn)b上，然后經(jīng)過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)a'∥a，那么直線(xiàn)a'與b所成的角就是異面直線(xiàn)a與b所成的角．
思考：兩條異面直線(xiàn)a與b所成角的范圍是多少？異面直線(xiàn)所成的角有哪些特殊的角？空間任意兩條直線(xiàn)a，b所成的角的范圍是多少？
答：由異面直線(xiàn)的定義可得，異面直線(xiàn)a，b所成角的范圍是0°，90°]．90°.
若兩條異面直線(xiàn)a，b所成的角為直角，那么我們就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直．記作：a⊥b．空間任意兩條直線(xiàn)a，b的位置關(guān)系有：平行，相交，異面．當(dāng)直線(xiàn)a，b平行時(shí)，我們規(guī)定它們所成的角為0°；當(dāng)直線(xiàn)a，b相交或異面時(shí)，它們所成的角的范圍均為0°，90°]．
綜上可得，空間任意兩條直線(xiàn)a，b所成的角的范圍是[0°，90°]．
設(shè)計(jì)意圖：以長(zhǎng)方體為例，得出異面直線(xiàn)的判定定理，進(jìn)一步探究異面直線(xiàn)所成的角，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．
（三）應(yīng)用舉例
例1 如圖，已知正方體ABCD?A'B'C'D'．
（1）哪些棱所在的直線(xiàn)與直線(xiàn)AA'垂直？
（2）求直線(xiàn)BA'與CC'所成的角的大?。?br>（3）求直線(xiàn)BA'與AC所成的角的大小．
解：（1）棱AB，BC，CD，DA，A'B'，B'C'，C'D'，D'A'所在的直線(xiàn)分別與直線(xiàn)AA'垂直．
思考：空間兩條直線(xiàn)垂直，一定相交嗎？
答：不一定，也可能是異面垂直.
空間中，兩條直線(xiàn)垂直包括：相交垂直（共面），異面垂直，都記作a⊥b．
（2）因?yàn)锳BCD?A'B'C'D'是正方體，所以BB'//CC'，因此∠A'BB'為直線(xiàn)BA'與CC'所成的角．又因?yàn)椤螦'BB'=45°，所以直線(xiàn)BA'與CC'所成的角等于45°．
（3）如圖，連接A'C'．因?yàn)锳BCD?A'B'C'D'是正方體，所以AA'//CC'，AA'=CC'，從而四邊形AA'C'C是平行四邊形，所以AC//A'C'．于是∠BA'C'為異面直線(xiàn)BA'與AC所成的角．連接BC'，易知△A'BC'是等邊三角形，所以∠BA'C'=60°．從而異面直線(xiàn)BA'與AC所成的角等于60°．
【總結(jié)】異面直線(xiàn)所成角
求法：平移法
步驟：?平移作角,?求角
若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線(xiàn)所成的角；
若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角是所求異面直線(xiàn)所成的角．
例2 如圖（1），在正方體ABCD?A1B1C1D1中，O1為底面A1B1C1D1的中心．
求證AO1⊥BD．
提示：如何證明兩條異面直線(xiàn)垂直？要證兩條異面直線(xiàn)垂直即證所成的角為直角.
證明：如圖（2），連接B1D1．
∵ABCD?A1B1C1D1是正方體，∴BB1//DD1．∴四邊形BB1D1D是平行四邊形．
∴B1D1//BD．所以直線(xiàn)AO1與B1D1所成的角即為直線(xiàn)AO1與BD所成的角．
連接AB1，AD1，易證AB1=AD1．
又O1為底面A1B1C1D1的中心，∴O1為B1D1的中點(diǎn)，∴AO1⊥B1D1，∴AO1⊥BD．
例3已知三棱錐S?ABC中，SC=2 3，AB=2，E，F(xiàn)分別是SA，BC的中點(diǎn)，EF=1，則EF與AB所成的角大小為
解：取AC中點(diǎn)D，連接DE、DF，
因?yàn)镋，F(xiàn)分別是SA，BC的中點(diǎn)，
所以DESC，DFAB，
所以EF與AB所成的角的平面角為∠EFD(或其補(bǔ)角)，
由SC=2 3，AB=2，得DE= 3，DF=1，
又EF=1，
則cs∠EFD=DF2+EF2?DE22×DF×EF=1+1?32×1×1=?12，
所以∠EFD=2π3，
所以EF與AB所成的角大小為π3.
【總結(jié)】求兩條異面直線(xiàn)所成的角的一般步驟：
（1）構(gòu)造：根據(jù)異面直線(xiàn)的定義，用平移法(常用三角形中位線(xiàn)、平行四邊形性質(zhì)等)作出異面直線(xiàn)所成的角．
（2）證明：證明作出的角就是要求的角．
（3）計(jì)算：求角度，常放在三角形內(nèi)求解．
（4）結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線(xiàn)所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角就是所求異面直線(xiàn)所成的角．
總結(jié)：研究異面直線(xiàn)所成的角，就是通過(guò)平移，使得空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題．這種解決問(wèn)題的思想方法在后面解決問(wèn)題中很常用．
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題，熟悉異面直線(xiàn)的相關(guān)解題方法，并體會(huì)將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的思想．
（四）課堂練習(xí)
1.若空間中四條不同的直線(xiàn)l1，l2，l3，l4滿(mǎn)足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下面結(jié)論正確的是( )
A. l1⊥l4B. l1//l4
C. l1，l4既不垂直也不平行D. l1，l4的位置關(guān)系不確定
解：構(gòu)造如圖所示的正方體ABCD?A1B1C1D1，
取l1為AD,l2為AA1,l3為A1B1，
當(dāng)取l4為B1C1時(shí)，l1//l4，
當(dāng)取l4為BB1時(shí)，l1⊥l4，故排除A，B，C．
故選D．
2.如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)B1C與EF所成的角的大小為( )
A. 30°B. 45°
C. 60°D. 90°
解：如圖，連接DB，A1B，A1D，
∵E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，
∴DB//EF，
又A1D//B1C，
∴∠A1DB(或其補(bǔ)角)是異面直線(xiàn)B1C與EF所成的角，
∵△A1DB是等邊三角形，
∴∠A1DB=60°．
故選：C ．
3.直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=AA1，D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)C1D與B1E所成角的余弦值為( )
A. 33B. 55
C. 1010D. 3010
解：設(shè)AB=2，取A1B1的中點(diǎn)F，連接C1F，DF，
則DF//B1E，∠C1DF為異面直線(xiàn)C1D與B1E所成的角(或補(bǔ)角)．
易求DF=B1E= 5，C1F= 5，C1D= 6，
所以cs∠C1DF=12C1DDF= 62 5= 3010．
故選D．
4.如圖，長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2AB=2BC=2，則異面直線(xiàn)A1B與AD1所成角的余弦值為( )
A. 1010B. 35
C. 105D. 45
解：連接 A1B ， BC1 ， A1C1 ，
在長(zhǎng)方體 ABCD?A1B1C1D1 中，易知 AD1//BC1 ，
所以 ∠A1BC1 為異面直線(xiàn) A1B 與 AD1 所成角或其補(bǔ)角，
又在長(zhǎng)方體 ABCD?A1B1C1D1 中， AA1=2AB=2BC=2 ，
所以 A1B=BC1=5 ， A1C1=2 ，
在 △A1BC1 中，由余弦定理得 cs∠A1BC1=5+5?22×5×5=45 ．
因?yàn)楫惷嬷本€(xiàn)所成的角的取值范圍是 0,π2 ，
所以異面直線(xiàn) A1B 與 AD1 所成角的余弦值為 45 ．
故選：D．
5.正四棱錐P?ABCD中，PA=AB=4，E，F(xiàn)為棱PB，PD的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AE，BF所成角的余弦值為 ．
解：設(shè)M為線(xiàn)段PF的中點(diǎn)，故EM//BF，
故異面直線(xiàn)AE，BF所成角為∠AEM或其補(bǔ)角，
在△AEM中，AE=2 3,ME= 5,AM= 13，
則cs∠AEM=AE2+ME2?AM22AE?ME= 1515．
所以異面直線(xiàn)AE，BF所成角的余弦值為 1515．
故答案為： 1515．
設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)課堂練習(xí)，讓學(xué)生反復(fù)鞏固異面直線(xiàn)垂直和求異面直線(xiàn)所成角，能夠靈活運(yùn)用.
（五）歸納總結(jié)
回顧本節(jié)課的內(nèi)容，你都學(xué)到了什么？
1.研究異面直線(xiàn)所成的角，就是通過(guò)平移把異面直線(xiàn)轉(zhuǎn)化為相交直線(xiàn)．這是研究空間圖形的一種基本思路，即把空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題，體會(huì)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想．
2.類(lèi)比平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)所成的角的定義，對(duì)空間中兩條異面直線(xiàn)所成的角進(jìn)行定義，進(jìn)而得出空間兩條直線(xiàn)所成的角，理解了知識(shí)之間的相互聯(lián)系．
3.引入異面直線(xiàn)所成的角的概念后，空間中兩條直線(xiàn)垂直又可分為相交垂直、異面垂直．
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生回顧本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)，建立知識(shí)與知識(shí)之間的聯(lián)系，形成自己的知識(shí)體系，加深對(duì)新知識(shí)的理解與認(rèn)識(shí).

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

8.6 空間直線(xiàn)、平面的垂直

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